Üres összeg

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A matematikában az üres összeg, tagok nélküli összeg vagy nulláris összeg a tagok nélküli összeadás végeredménye. Megegyezés alapján az üres összeg értéke 0, avagy az additív egységelem, hasonlóan ahhoz, ahogy az üres szorzat értéke megegyezik a multiplikatív egységelemmel (azaz 1-gyel).[1][2][3]

Tekintsük az a1, a2, a3 ... számsorozatot, és legyen

a sorozat első m tagjának összege. Ekkor

minden m = 1,2,... számra, ha megegyezünk abban, hogy és . Más szavakkal tehát az egytagú „összeg” értéke megegyezik az egyetlen taggal, míg a tagok nélküli „összeg” értéke 0. A nulla vagy egy tagú „összeg” megengedése számos matematikai képletben lecsökkenti az esetek számát, amivel foglalkozni kell. Az ilyen összegek természetes kiindulási pontjai számos teljes indukciós bizonyításnak és algoritmusnak. Emiatt az „üres összeg értéke 0” elterjedt konvenció a matematikában és a számítógép-programozásban, hasonlóan az „üres szorzat értéke 1” konvencióhoz.

Az „üres összeg” a számokon kívül más halmazokon is definiálható, például vektorok, mátrixok, polinomok esetében, általában valamely Abel-csoportban az üres összeg értéke a csoport zéruseleme.

Az üres összeg definíciójának értelme[szerkesztés]

Az üres összeg koncepciójának hasznossága koncepcionálisan a 0 és az üres halmaz hasznosságához hasonlítható: bár önmagukban nem túl érdekes fogalmak, létezésük sok matematikai fogalom egyszerűbb kezelését teszi lehetővé.

Példa: üres lineáris kombinációk[szerkesztés]

A lineáris algebra területén egy V vektortér bázisa egy olyan lineárisan független B részhalmaz, melyre V minden eleme előállítható B-beli lineáris kombinációval. Az üres összeg-konvenció miatt a nulla dimenziós V={0} vektortérnek is van bázisa, méghozzá az üres halmaz.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Jaroslav Nešetřil, Jiří Matoušek. Invitation to Discrete Mathematics. Oxford University Press, 12. o. (1998). ISBN 0-19-850207-9 
  2. A.E. Ingham and R C Vaughan. The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press, 1. o. (1990). ISBN 0-521-39789-8 
  3. Page 9 of Lang, Serge (2002), Algebra, vol. 211 (Revised third ed.), Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4