Összefüggőség (topológia)

Az $\mathbb {R} ^{2}$ néhány összefüggő és nemösszefüggő részhalmaza: az A, B, C, és D jelölésű részhalmazok összefüggőek, a zöld terület nem összefüggő, de az azt alkotó E₁, E₂, E₃ és E₄ részhalmazok külön-külön összefüggőek. Továbbá, A és B egyszeresen összefüggő, C és D viszont nem.

Topológiában és a matematika egyéb részterületein összefüggőnek nevezünk egy topologikus teret, ha az nem fejezhető ki két vagy több diszjunkt, nemüres nyílt halmaz uniójaként. Egy tér összefüggősége topologikus invariáns, tehát egy olyan tulajdonság, amely topologikus tereket megkülönböztet egymástól.

Léteznek az összefüggőséghez hasonló, de annál szigorúbb (tehát az összefüggőség következik belőlük) feltételek is, mint például az útszerű összefüggőség és az egyszeres vagy többszörös összefüggőség. A lokális összefüggőség szintúgy hasonló feltétel, azonban nem következik belőle az összefüggőség és az összefüggésből sem következik a lokális összefüggőség.

Definíciók

Legyen $X$ egy topologikus tér. Akkor nevezzük $X$-et összefüggőnek, ha az alábbi ekvivalens feltételek valamelyike teljesül:

• $X$ nem bontható fel nemüres diszjunkt nyílt halmazok uniójaként
• $X$-nek pontosan két olyan részhalmaza van, amely egyszerre nyílt és zárt: az üres halmaz és maga $X$
• $X$-nek pontosan két olyan részhalmaza van, melyek határa az üres halmaz: az üres halmaz és maga $X$
• $X$ nem bontható fel nemüres szeparált (olyan halmaz, mely diszjunkt a másik halmaz lezárjával) uniójáként
• Bármely folytonos függvény $X$ és a $\{0,1\}$ diszkrét topológiával ellátott halmaz között konstans

Az összefüggőség fogalmai egymástól függetlenül jelentek meg N. J. Lennes, Riesz Frigyes és Felix Hausdorff munkáiban a 20. század elején.

Egy $X$ topologikus tér részhalmazát akkor hívjuk összefüggőnek, ha az az altér-topológiában összefüggő.

Összefüggő komponensek

Legyen $x$ egy $X$ topologikus tér tetszőleges pontja. $X$ olyan összefüggő részhalmazainak az uniója, amelyek tartalmazzák $x$-et, szintúgy összefüggő. Ezt az uniót $x$ összefüggő komponensének hívjuk $X$-ben. Ez a halmaz a legnagyobb olyan összefüggő részhalmaza $X$-nek, amely $x$-et tartalmazza, továbbá minden $x$ összefüggő komponense zárt $X$-ben. Bármely két pont összefüggő komponense vagy megegyezik, vagy diszjunkt. Ennek következtében a pontok összefüggő komponensei $X$ egy partícióját alkotják, amelyek $X$ maximális összefüggő részhalmazaiból, azaz a komponenseiből áll.

Ha egy topologikus térnek véges számú komponense van, akkor ezek a komponensek nyílt halmazok egyaránt. Azonban ha a komponensek száma végtelen, akkor ez az állítás nem feltétlenül teljesül. A racionális számok halmazának végtelen egy pontból komponense van, az egypontú halmazok pedig nem nyíltak.

Legyen $C_{x}$ az $x$ pont összefüggő komponense $X$-ben, továbbá jelölje $C'_{x}$ az összes egyszerre nyílt és zárt halmaz metszetét, amelyek $x$-et tartalmazzák. Ekkor $C'_{x}$-et $x$ kvázikomponensének hívjuk, és $C_{x}\subset C'_{x}$ teljesül. Ha $X$ egy kompakt Hausdorff-tér, vagy ha $X$ lokálisan összefüggő, akkor $C_{x}=C'_{x}$.

Totálisan összefüggéstelen terek

Azokat a topologikus tereket, amelyeknek az összes összefüggő komponense egypontú, totálisan összefüggéstelennek hívjuk. A racionális számok halmaza, bármely tetszőleges diszkrét tér és a Cantor-halmaz is totálisan összefüggéstelen.

Globális összefüggőség-fogalmak

Útszerű összefüggőség

$\mathbb {R} ^{2}$ ezen részhalmaza útszerűen összefüggő, mivel bármely két pontját egy út összekötheti.

${\bar {G}}$, amely összefüggő, de nem útszerűen összefüggő.

Az $X$ topologikus térben útnak hívunk egy $f:[0,1]\to X$ folytonos leképezést. Az $X$ topologikus teret akkor hívjuk útszerűen összefüggőnek, ha bármely $x,y\in X$ pontra létezik egy $f$ út, melyre teljesül, hogy $f(0)=x$ és $f(1)=y$.

Útszerűen összefüggő terek mindig összefüggőek, azonban ennek a fordítottja nem igaz általánosságban. Egy klasszikus ellenpélda a következő: legyen

$G=\{\left(x,\sin \left({\frac {1}{x}}\right)\right):x\in ]0,1]\},$

ezt a topológusok szinuszgörbéjének képének is hívjuk. Mivel egy intervallumon vett folytonos függvény képe, ezért útszerűen összefüggő, tehát összefüggő $\mathbb {R} ^{2}$-ben (ha az az Euklideszi topológiával van ellátva). Viszont ha a $G$ halmaznak vesszük a lezártját, pontosabban ${\bar {G}}=G\cup (\{0\}\times [-1,1])$, akkor ${\bar {G}}$ egy összefüggő halmaz lezártjaként összefüggő, azonban nem útszerűen összefüggő, mivel nem létezik olyan út, amely az y tengely bármely pontját folytonosan összekötné a függvénygörbe bármelyik pontjával.

Egy olyan topologikus térben, melynek az alaphalmaza véges, az összefüggőség és az útszerű összefüggőség fogalma egybeesik.

Egyszeres összefüggőség

Egy olyan utat, melynek kezdő- és végpontja ugyanaz, huroknak nevezzük. Intuitív fogalmazásban, egy topologikus teret akkor hívunk egyszeresen összefüggőnek, ha útszerűen összefüggő és a térben bármely hurok összehúzható egy pontba a téren belül. Például, a felső ábrán a C-vel jelölt tér nem egyszeresen összefüggő, mivel egy fehér terület körülvevő hurok nem húzható össze a színes területen belül egy pontba.

Pontosabban, egy topologikus tér $X$ akkor egyszeresen összefüggő, ha útszerűen összefüggő, és a következő ekvivalens tulajdonságok valamelyikével rendelkezik:

• Minden $f:[0,1]\to X$ hurok nullhomotóp
• $X$ bármely $x$ pontban vett fundamentális csoportja triviális
• Minden $f:S^{1}\to X$ folytonos leképezés kiterjeszthető $D^{2}$-re, ahol $S^{1}$ a kört, $D^{2}$ pedig a körlapot jelöli
• Ha $f$ és $g$ utak és $f(0)=g(0)$, $f(1)=g(1)$, akkor $f$ és $g$ homotóp.

Többszörös összefüggőség

Az útszerű összefüggőséget és az egyszeresen összefüggőséget a következőképp lehet általánosítani: legyen $n$ egy nemnegatív egész szám. Egy topologikus tér $X$ akkor $n$-szeresen összefüggő, ha minden $0\leq k\leq n$ egész számra a $k$-adik homotópiacsoport ($\pi _{k}(X,x)$) triviális bármely $x\in X$-re.

Mivel a fundamentális csoport az első homotópiacsoport, ezért az $n$-szeresen összefüggő topologikus tér fogalma $n=1$ esetén egybeesik a feljebb definiált egyszeresen összefüggőséggel. A nulladik homotópia„csoport” (mivel matematikai értelemben nem csoport) $X$ útszerűen összefüggő komponenseit tartalmazza, tehát $n=0$ esetén a definíció pontosan az útszerűen összefüggő topologikus terek fogalma.

Lokális összefüggőség-fogalmak

Fésű, amely összefüggő, de nem lokálisan összefüggő

Az összefüggőség-fogalmakat lehetséges lokálisan is definiálni, tehát a tér pontjainak környezeteire vonatkoztatni.

Lokális összefüggőség

Egy topologikus tér $X$ lokálisan összefüggő, ha egy egy $x$ pontjának bármely $U$ környezetére létezik egy $V$, amely összefüggő, környezete $x$-nek és $V\subseteq U$. Másképp megfogalmazva, egy topologikus tér lokálisan összefüggő, ha bármely pontjának létezik egy nyílt összefüggő halmazokból álló környezetbázisa. Egy topologikus tér akkor és csak akkor lokálisan összefüggő, ha minden nyílt halmaz minden (összefüggő) komponense nyílt. Ennek az ekvivalenciának következménye, hogy egy lokálisan összefüggő tér komponensei egyszerre nyíltak és zártak, továbbá ha a tér kompakt is, akkor véges számú komponense van.

Egy lokálisan összefüggő topologikus tér nem feltétlenül összefüggő, ilyen esetekre példa a $]0,1[\cap ]2,3[$. A „fésű”, amely a $\{0\}\times [0,1]$, $[0,1]\times \{0\}$ és a $[0,1]\times \{1/n\}$ (ahol $n\in \mathbb {N}$) intervallumok uniója, összefüggő, viszont az $(1,0)$ pont bármelyik kis környezetében végtelen sok nem összefüggő intervallum található, így nem lokálisan összefüggő.

Lokális útszerű összefüggőség

A varsói kör: összefüggő, útszerűen összefüggő de nem lokálisan útszerűen összefüggő

Egy topologikus teret akkor nevezünk lokálisan útszerűen összefüggőnek, ha bármely pontjának van egy útszerűen összefüggő halmazokból álló környezetbázisa. A varsói kör egy olyan topologikus tér, amely összefüggő, útszerűen összefüggő, de nem lokálisan útszerűen összefüggő. Ha a korábban definiált ${\bar {G}}$ szinuszgörbéjét egy adott ponttól nem folytatnánk, hanem helyette egy folytonos vonallal meghosszabbítva összekötnénk a ${0}\times [-1,1]$ intervallummal, akkor pontosan egy varsói kört alkottunk.

Lokális egyszeres összefüggőség

Egy topologikus teret akkor hívunk lokálisan egyszeresen összefüggőnek, ha létezik egy olyan bázisa, amelyet egyszeresen összefüggő halmazok alkotnak. Bármely lokálisan egyszeresen összefüggő topologikus tér lokálisan útszerűen összefüggő és lokálisan összefüggő.

Kapcsolat az összefüggőség-fogalmak között

• Minden útszerűen összefüggő tér összefüggő.
• Minden lokálisan egyszeresen összefüggő tér lokálisan útszerűen összefüggő.
• Minden lokálisan útszerűen összefüggő tér lokálisan összefüggő.
• Egy lokálisan útszerűen összefüggő tér akkor és csak akkor útszerűen összefüggő, ha összefüggő.

Általános példák

• $\mathbb {R}$ és annak bármely intervalluma összefüggő.
• $\mathbb {R} ^{n}$ konvex részhalmazai útszerűen összefüggőek, továbbá $\mathbb {R} ^{n}$ egy tetszőleges nyílt részhalmaza (akkor és) csak akkor összefüggő, ha útszerűen összefüggő.
• Ha egy pontot eltávolítunk $\mathbb {R}$-ből, akkor a megmaradó halmaz nem összefüggő. Azonban ha $\mathbb {R} ^{n}$-ből (ha $n\geq 2$) akár megszámlálhatóan végtelen pontot eltávolítunk, összefüggő marad.
• A $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ általános lineáris csoport nem összefüggő, viszont van két összefüggő komponense: az egyiket a pozitív, a másikat a negatív determinánsú mátrixok alkotják. A $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ csoport viszont összefüggő.
• Minden sokaság lokálisan útszerűen összefüggő és lokálisan egyszerűen összefüggő.
• Minden CW-komplexus lokálisan egyszerűen összefüggő.
• Bármely összefüggő számtest felett definiált topologikus vektortér egyszeresen összefüggő.

Tételek

• Legyenek $X$ és $Y$ topologikus terek, $f:X\to Y$ pedig egy folytonos leképezés. Ha $X$ (útszerűen) összefüggő, akkor a képe, $f(X)$ is (útszerűen) összefüggő. Ez a tétel tekinthető a Bolzano-tétel általánosításának is. A tétel következménye, hogy az összefüggőség egy topologikus tulajdonság (invariáns), ugyanis a tulajdonság nem változik egymással homeomorf terekben. Ugyanez az állítás teljesül útszerűen összefüggő terekre is, tehát ha $X$ útszerűen összefüggő, akkor a folytonos képe ($f(X)$) is útszerűen összefüggő.
• Legyen $A$ összefüggő részhalmaz, akkor a lezártja, ${\bar {A}}$ és minden $A\subset B\subset {\bar {A}}$ is összefüggő.
• Összefüggő halmazok metszete és összefüggő halmazok uniója nem feltétlenül összefüggő. Azonban, ha az összefüggő halmazoknak van közös pontja (vagy páronkénti metszetük nem üres), akkor az uniójuk összefüggő.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Connected space című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Zusammenhängende Räume című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Szűcs András. Topológia (magyar nyelven) (2018) 
• Günther Hörmann. Grundbegriffe der Topologie (német nyelven) (2023) 
• Stephen Willard. General Topology. Dover Publications (2004). ISBN 9780486434797 

Kapcsolódó szócikkek

• Fundamentális csoport
• Nyílt-zárt halmaz