Írásbeli osztás

Az írásbeli osztás egy algoritmus arra, hogy írásban elosszanak egy számot egy másikkal. Az algoritmus az egyszeregyre és az írásbeli kivonásra épül.

A számológépek elérhetősége óta az eljárás jelentősége csökkent; csak az oktatásban fontos tananyag a 4. osztálytól kezdve. Először még csak egyjegyű számokkal osztanak, majd 5. osztályban visszatérnek rá, és osztanak többjegyű számokkal, majd tizedestörtet tizedestörttel is. Egyes országokban vitatott, hogy helye van-e a közoktatásban.^[1]

Leírás

Bejövő adatok:

Az osztandó, a szám, amit elosztanak egy másikkal
Az osztó, amivel osztanak

Kimenet:

Maradékos osztás, bennfoglalás esetén a hányados és a maradék, melyek természetes számok
Nem maradékos osztás esetén a hányados, ami tizedestört alakban felírt racionális szám

Az eljárás:

Előkészítő lépések:

1. A papírra felírjuk a feladatot, osztandó : osztó alakban

2. Meghatározzuk az osztó jegyeinek számát, és leválasztunk ugyanennyi jegyet az osztandóból. Ha ez a leválasztott szám kisebb az osztónál, akkor hozzáveszünk még egy számjegyet. Alternatívan nem módosítunk a leválasztott számon.

3. Meghatározzuk, hány jegyből áll a hányados, vagy annak egészrésze. Ehhez megszámoljuk az osztandó többi jegyeit, és hozzáadunk egyet. Előkészítjük a helyet a hányados számára.

Általános lépések:

4. A leválasztott számot maradékosan osztjuk az osztóval. Ez azt jelenti, hogy megkeressük azt a legnagyobb egyjegyű számot, ami megvan a leválasztott számban; ez lesz a hányados következő jegye. Hogyha az osztó nagyobb, mint a leválasztott szám, akkor a következő jegy a nulla. Amennyiben az első lépésben nem módosítottunk a leválasztott számon, pedig az kisebb az osztónál, úgy a hányadost vezető nullával kapjuk.

5. Képezzük a maradékot is, amit megkapunk visszaszorzással és kivonással. A visszaszorzást leírhatjuk, a kivonást leírhatjuk, de a maradékot leírjuk a leválasztott szám alá úgy, hogy a megfelelő helyi értékek egymás alá kerüljenek.

6. Az így kapott maradékhoz hozzáírjuk az osztandó következő jegyét. A következő műveletben ez lesz a leválasztott szám.

Lezárás:

7. Ezeket az általános lépéseket ismételjük addig, amíg az osztandó (egészrésze) végére nem érünk. Ha maradékos osztást végzünk, akkor a kapott hányados lesz a hányados, a maradék pedig az utolsó maradék. Különben kitesszük a tizedesvesszőt, és folytatjuk az osztást, amihez felhasználjuk az osztandó tizedesjegyeit. Ha egész számot osztunk, vagy kifogytunk a tizedesjegyekből, akkor nullával egészítjük ki az aktuális maradékot. Az osztást folytathatjuk megadott pontosságig, vagy egy szakasz végéig.

Példák

Maradékos osztás egyjegyű osztóval

A 351-et osztjuk 4-gyel. A 351 az osztandó, a 4 az osztó. Maradékosan osztunk.

A 351 4-gyel való osztásának bemutatása
Lépés	Magyarázat
1	351 : 4 =
2	A 3-at leválasztjuk a 351-ről, marad 51.
3	A 4 legnagyobb szorzata, ami nem nagyobb, mint 3, a 0. A szorzótáblában a következő szorzat 4, ami több, mint 3.
4	A hányados első jegyeként leírjuk a nullát. A visszaszorzás eredménye 0, amit kivonunk 3-ból, marad a 3.
5	351 : 4 = 0 0 - 3
6	Az osztandónak még vannak fel nem használt jegyei, ezek alkotják az 51 számot. Az osztandó következő jegye 5, amivel kiegészítjük a maradékot, így kapjuk a 35-öt.
3	A szorzótáblában a legnagyobb 35-nél nem nagyobb szorzat a 32.
4	A szorzótáblában a 32-höz a 8 tényező tartozik. Hozzáírjuk a hányadoshoz, ami így 08.
5	Kivonjuk a 35-ből a 32-t, marad a 3.
6	Az osztandónak még van nem használt számjegye, ami az 1. Kiegészítjük a leválasztott számot, így kapjuk a 31-et.
3	A legnagyobb 31-nél nem nagyobb szorzat a szorzótáblában a 28.
4	A 28-hoz a 7 tartozik a szorzótáblában. A 7-et hozzáírjuk az eddigi hányadoshoz, kapjuk a 087-et.
5	A 31-ből kivonjuk a 28-at, marad 3.
6	Az osztandó jegyei elfogytak, így a maradékos osztás véget ér.
7	351 : 4 = 087 -0 - 35 -32 -- 31 -28 -- 3

Hányadosként 087-et kapunk, maradékként 3-at. A vezető nullákat el szokás hagyni, így a hányados 87, a maradék 3.

Megjegyzések

A hányados a 87, a maradék 3 nem egy szám, és nem is egyenlőség. A 438 : 5 hányadosa is 87 és maradéka is 3, de az eredmény nem ugyanaz a racionális szám.

A számolások azt mutatják, hogy mindkét osztásban marad egy 3 maradékként. Az első esetben 4-gyel osztottunk, a másodikban 5-el; így a maradék 3 kifejezésnek az előbbi esetben 3/4, a másodikban 3/5 felel meg. Az $351:4=87+{\tfrac {3}{4}}$ és $438:5=87+{\tfrac {3}{5}}$ számolások mutatják a különbséget. A maradékos osztás eredményeként a következő egyenlőségek írhatók fel törtekkel való számolás nélkül:

351 = 4 · …

A fenti algoritmus eredményeként kapjuk, hogy:

351 = 4 · 87 + 3

A második példa:

438 = 5 · 87 + 3

Így az általános iskolában tanult maradékos osztás összhangba kerül a számelmélettel és a magasabb matematika más területeivel.

Többjegyű osztó

Ha az osztó 10-nél nagyobb, akkor a szorzótábla már nem elégséges a következő jegy kiszámítására, így vagy segédtáblázatot készítünk, vagy pedig meg kell becsülnünk a következő jegyet. Ha a szorzat nagyobb, mint a leválasztott szám, akkor a becsült jegyet csökkentenünk kell. Ha a különbség nagyobb, mint az osztó, akkor a becsült jegyet növelni kell. A következő példa mellőzi ezeket a becslési hibákat.

 13063:32 = 4…
-128
 ---
   26            -- marad 2; a maradékhoz hozzávett 6-ossal 26-ot kapunk; 26:32 eredménye 0:

13063:32 = 40…

Elvégezzük a 0·32=0 szorzást, és a számolást ezzel folytatjuk:

A gyakorlott számoló látja, hogy a 26 nem változik, emiatt nem írja le ezt a kivonást, hanem rögtön hozzáveszi a következő jegyet:

 13063:32 = 40…
-128
 ---
   263            -- 263:32 = 8, 32×8 = 256
  -256

A végén egy 7-es maradék képződik, így a teljes számolás így néz ki:

 13063:32 = 408, marad 7
-128
 ---
   263
  -256
   ---
     7

vagy $13063:32=408{\tfrac {7}{32}}$ , illetve $13.063=32\cdot 408+7$ , ahogy fent megmagyaráztuk.

Maradék nélküli osztás

Az eljárással nemcsak maradékos osztás végezhető, hanem a hányadost megkaphatjuk tizedestört alakban is. Ekkor az osztandó egyeseinek felhasználása után kitesszük a tizedesvesszőt, és folytatjuk a számolást. Ha az osztandó egész, illetve elfogytak a tizedesjegyek, akkor nullákkal egészítjük ki:

 950 : 4 = 237,5
-8
 -
 15
-12
 --
  30
 -28
  --
   20 -- marad 2; azonban ezt nem írjuk fel maradéknak, hanem kitesszük a tizedesvesszőt; az osztandó következő jegyeként a 0-t használjuk fel.
  -20                                                                                         - 20:4 geht 5-mal…
   --
    0 -- …maradék nincs, úgyhogy az osztás véget ér.

Tizedestört osztandó

Az egész számok osztásától a tizedestörtek osztása annyiban tér el, hogy az egyesek elfogyása és a tizedesvessző kitétele után először a tizedesjegyeket használjuk fel, mielőtt még elkezdenénk nullákat írni. Ha az egészrész kisebb, mint az osztó, akkor a hányados egészrészébe nullát írunk, és elkezdjük felhasználni a tizedesjegyeket. Ezután osztunk a fentiek szerint.

Például:

 1,8:5 = ?? ----- 1:5 nullaszor van meg – tehát az egészrész 0,... és felhasználjuk a tizedeket:

 1,8:5 = 0,?? ----- 18:5 megvan 3-szor:
 1 5

 1,8:5 = 0,3? ----- A maradék 3 — következő tizedesjegyként 0- t használunk fel.
 1 5
 ---
   30 ----- 30:5 megvan 6-szor, és maradék nélkül; ezért a számítás véget ér:

 1,8:5 = 0,36
 1 5
 ---
   30
  -30
   --
    0

Tizedestört osztó

Ha az osztó tizedestört, akkor az osztót és az osztandót is felszorozzuk a tíz megfelelő hatványával úgy, hogy az osztó egész szám legyen. Ez azt jelenti, hogy megszámoljuk az osztó tizedesjegyeit, elmozdítjuk a tizedesvesszőt ugyanennyi jeggyel az osztóban és az osztandóban is. Ha az osztandónak kevesebb tizedesjegye van, akkor nullákat írunk utána. Ezután úgy osztunk, ahogy fent már leírtuk:

 4 : 1,6 =
 40 : 16 = 2,5
-32
 --
  80
 -80
  --
   0

Osztás periódusig

Racionális számok hányadosa racionális. Ha az osztó egész, és prímtényezős szorzatában szerepel a 2-től és az 5-től különböző prím, akkor végtelen szakaszos tizedes törtet kapunk. Példánkban 1307-et osztunk 15-tel.

 1307 : 15 = 8 -- 13:15 megvan nullaszor; 130:15 becslése 8; visszaszorzással 5·8=40, 1·8=8, hozzáadjuk a 4 átvitelt is, az eredmény 12:
-120           -- A becslés helyes, a maradék 10; a 7-et kivonjuk:
 ---
 107          -- Mivel 120=8·15, azért a 15 a 107-ben 7-szer lehet meg; a 7·15-öt úgy számoljuk ki, mint az előbb;

ezzel az eddigi számolás:

 1307 : 15 = 87
-120
 ---
  107
 -105
  ---
    2

Az osztandó végére értünk, így kitesszük a tizedesvesszőt, a maradékot 0-val egészítjük ki, és számolunk tovább. 20:15 megvan 1-szer, a maradék 5:

 1307 : 15 = 87,1
-120
 ---
  107
 -105
  ---
    20
   -15
    --
     5

Hozzáfűzzük a 0-t, kapunk 50-et. 50 osztva 15-tel 3, marad 5.

 1307 : 15 = 87,13
-120
 ---
  107
 -105
 ---
    20
   -15
    --
     50
    -45
     --
      5

Megkaptunk egy olyan maradékot, ami már szerepelt. Mivel mindig a 0 jeggyel egészítjük ki, azért a hányados és a maradék is ugyanaz lesz, mint korábban. Ez azt jelenti, hogy egy szakasz végére értünk. Az eredményként kapott végtelen szakaszos tizedestört:

1307 : 15 = 87,1333…

Írásmódja rendszerint $1307:15=87,1{\overline {3}}.$ , vagy pedig felülvonás helyett pontot használunk.

Fejlettebb számolás

Az emlékezetet jobban megterheli, de helyet spórol, ha a visszaszorzás eredményét és annak kivonását nem írjuk le, csak a különbséget. A kompaktabb írásmódot fenti példáink közül kettőn mutatjuk be.

Egyjegyű osztó

Az első példánk a tömörebb írásmóddal és kommentárokkal:

351 : 4 =

Induláskor annyi jegyet választunk le, amennyiben már megvan legalább egyszer az osztó, ezzel elkerüljük a vezető nullákat:

35'1 : 4 =       ((Az aposztróf segít látni 
                   a leválasztott számot.))

A 4 8-szor van meg a 35-ben.

35'1 : 4 = 8     A hozzá tartozó szöveg: Mert 8-szor 4 az 32, leírom a 8-at, marad a 3.
                 A visszaszorzást és a kivonást fejben végezzük, csak a hányadost és a maradékot írjuk le:

35'1 : 4 = 8
 3

Érkezik a következő jegy:

35'1 : 4 = 8
 3 1

A 4 7-szer van meg a 31-ben,

35'1 : 4 = 87    mert 7-szer 4 az 28, leírom a 7-et, marad a 3.
 3 1
   3 - ez a maradék

Többjegyű osztó

A rövidített írásmód többjegyű osztóval is használható. A visszaszorzást és a kivonást fejben végezzük, csak a hányados következő jegyét és a maradékot írjuk le. Ha az osztó túl hosszú, akkor ezeket a műveleteket nem lehet már fejben elvégezni, hanem valahová le kell írni. A kivonás végezhető a szorzással párhuzamosan is, ekkor nem adjuk össze az egyes részszorzatokat, hanem egyenként vonjuk ki őket. A fenti második példában:

13063:32 =

vagy az aposztróffal:

130'63:32 = 4…

Most ki kell számolnunk a 4·32 szorzatot, és ki kell vonni a 130-ból:

130'63:32 = 4…
  2   -   1 kölcsönvéve

A visszaszorzás 4·3 = 12; ehhez még hozzáadjuk a kölcsönvett 1-et, így kapjuk a 13-at. Ehhez még hozzá kell adni 0-t, így a végösszeg 13. Ezt a nullát nem írjuk le, hanem egyszerűen csak hozzávesszük a következő jegyet a leválasztott számhoz, ami példánkban a 6. A hányadoshoz beírjuk a 0-t, majd a leválasztott számhoz hozzávesszük az osztandó következő jegyét is, ami példánkban a 3. Ekkor a papíron ez látszik:

130'63:32 = 40
  2 63

Mivel 263:32 8-at ad eredményül, azért 8-cal szorzunk vissza. Kiszámoljuk a 8·32-t, ami 256; ezt le is vonjuk a 263-ból:
8·2=16, 16 plusz 7 =23. Leírjuk a 7-et, és kölcsönveszünk 2-t:

130'63:32 = 408
  2 63
     7

A visszaszorzás 8·3 = 24-et ad, amihez hozzávesszük a kölcsönvett 2-t, így jutunk a 26-hoz; ehhez még hozzáadunk 0-t, a végeredmény 26. A 0-t nem írjuk le. A maradékos osztás itt véget is ért:

13063:32 = 408
  263
    7

Alternatív algoritmusok

Angol nyelvterületen qaz általános iskolákban tanítják a nagy hetes osztást, angol néven a Big 7 Divisiont, ami a Scaffolding algoritmust hívja segítségül. Ezt a módszert gyakrabban is használják, és megemlítik, hogy az írásbeli osztás elvégezhető egyszerű tízes lépésekben vagy az osztó tetszőleges többszöröseivel és az ismételt kivonás elvét érthetőbbé teszi. A Big 7 elnevezés az elválasztó vonalak formájára utal.^[2]

Példaként tekintsük a 4720:36 osztást:

  ┌────────────┐
36│ 4720       │
   −3600       │ 100
   =1120       │
   − 360       │  10
   = 760       │
   − 360       │  10
   = 400       │
   − 360       │  10
   =  40       │
   −  36       │   1
  ----------------------
   =   4         131  R4/36  (a 36 a fenti osztó, R4 a bal oszlopban kivont eredmény, 131 a hozzáadott jobb oszlop)

A 100-as, 10-es és 1-es helyi értékek hozzáadódnak, az eredmény: a hányados 131, maradék 4; a maradékból képzett tört alak 4/36, ahol a maradék kerül a számlálóba, a nevezőbe pedig az osztót kell írni. Az érthetőség kedvéért a tört alakot számláló per nevező alakba kell átírni. A hányados vegyes tört alakja megkapható a hányados + maradék/osztó alakban. A tört egyszerűsíthető vagy tizedestörtre átváltható.

A maradék itt 4 a 36-tal való osztás szerint, és a fenti módszerrel kiszámítható ugyanúgy, mint az egészrész, amihez egyszerűen csak további nullákat kell felhasználni, ami úgy néz ki, mintha a megfelelő számú nullával szoroznánk fel az osztandót. Ez azt jelenti, hogy ha például három tizedesjegy pontosságot szeretnénk, akkor nem a 4720:36 osztást, hanem a 4720000:36 osztást végezzük el.

Így az első lépésben kivont többszörös nem 3600, hanem 3600000, és a jobb oszlopba ennek megfelelően a 100000 számot írjuk, mivel ezzel megszorozva a 36-ot kapunk 3600000-et. A végén a maradék ignorálható.

Opcionálisan használhatók az osztó más többszörösei is. Ez a Big 7 Division előnye, mivel így a jobb becslés felgyorsíthatja az algoritmust. Ehhez a módszerhez is szükség van a visszaszorzásra és a kivonásra.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Schriftliche Division című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

↑ Siehe zum Beispiel Peter Bender, Uni Paderborn (PDF; 87 kB) - mit weiteren Literaturangaben
↑ "Algorithms for Multiplying and Dividing Whole Numbers" (PDF) (angol nyelven). {{cite web}}: Cite has empty unknown parameter: |hrsg= (súgó); Unknown parameter |datum= ignored (|date= suggested) (súgó); Unknown parameter |zugriff= ignored (|access-date= suggested) (súgó)

[1] Siehe zum Beispiel Peter Bender, Uni Paderborn (PDF; 87 kB) - mit weiteren Literaturangaben

[2] "Algorithms for Multiplying and Dividing Whole Numbers" (PDF) (angol nyelven). {{cite web}}: Cite has empty unknown parameter: |hrsg= (súgó); Unknown parameter |datum= ignored (|date= suggested) (súgó); Unknown parameter |zugriff= ignored (|access-date= suggested) (súgó)

[1]

[2]