Értékréses logika

Értékréses logikán olyan logikai rendszert értünk, ami lemond arról az igényéről, hogy minden állításnak legyen jól meghatározott igazságértéke. Ezáltal kezelhetővé válik a hazug paradoxona is.

Ehhez látszólag egy új igazságértéket vezet be, ami valójában az igazságérték hiányát jelzi. Ezt nevezik értékrésnek. Több forrásból is eredhet. Az értékrés tovább öröklődik a logikai műveleteken, a kvantorokon és (az értékréses modális logikában) a modális operátorokon át.

Alapfogalmak

Individuum: mindazoknak a dolgoknak a halmaza, amikről csak szó lehet
Funktor: olyan értelmes kifejezés, ami nem individuumnév és nem mondat. Nyitott kifejezés, amibe be lehet helyettesíteni.
- Predikátum: olyan funktor, ami nevekből mondatot képez.
- Mondatfunktor: mondatokból összetett mondatokat képez
- Névfunktor: nevekből összetett neveket képez
Deskripció: határozott individuumleírás
Deskriptor: operátor, ami nyílt formulából nevet képez

Motiváció

Az individuumleírások (deskripciók) olyan kifejezések, melyek egy individuumot („alanyt”) egy kizárólag rá érvényes tulajdonsággal neveznek meg. A deskripciók két jelentősen különböző fajtája a határozott és a határozatlan individuumleírások.

Például: 'A Waverley szerzője' egy határozott individuumleírás, mert egyetlen individuumra utal, míg a 'A Principa Mathematica írója' határozatlan, mert Russell mellett szerzőtársára is utalhat.

A klasszikus logikában a határozatlan deskripciók – különösen, amelyek esetében nincs vagy nem dönthető el, hogy van-e olyan tárgy, amit megneveznek – gondot okoznak. Híres példa a „francia király” individuumleírás, amelynek van jelentése (bárki számára érthető), de nincs jelölete. Egy ilyen nevet mondatba foglalva: „A francia király kopasz”, számos nyelvfilozófus szerint olyan mondatokat kapunk, melyeket nem lehet kiértékelni – mások szerint az ilyen mondatot hamisnak kell kiértékelni. Ugyanúgy gondot jelentenek a többjelöletű deskripciók is, hiszen lehetséges olyan mondatokat találni, mely a benne szereplő individuumnév egyik jelöletére hamis, a másikra igaz. Pl. „A Principia Mathematica szerzőjének keresztneve Alfred” mondat igaz Whiteheadre, de hamis Russellre.

A kényelmetlen vita kényelmes, bár nem az egyedül lehetséges megoldásaként kínálkozik a deskripciók kiküszöbölése a formális nyelvekből. Ha viszont ezeket a leírásokat jól formált (nem kiküszöbölendő) terminusokként szeretnénk használni, akkor fel kell adnunk azt az elvet, hogy minden állításnak van igazságértéke. Ezáltal megjelenik az értékrés a logikában.

Elsőrendű értékréses logika felépítése

Egy értékréses logika felépítéséhez egy adott logikai rendszerhez hozzávesszük a következőket:

Új logikai konstansok: deskriptor (I), és igaz, hogy funktor (+)
Ha A formula, akkor +A is formula
Ha A formula, és x változó, akkor Ix(A) terminus
Speciális objektumok az értékrés jelzésére: a nullentitás, ami a deskripciók esetleges jelölethiányt jelzi, és egy új jel, ami az igazságérték hiányát jelzi.

Centrális szemantikai fogalmak

kielégíthetőség

Egy formula kielégíthető, ha van a változóknak olyan helyettesítése, amikre a formula értéke igaz.

kielégíthetetlenség

Egy formula kielégíthetetlen, ha nincs a változóknak olyan helyettesítése, amikre a formula értéke igaz.

következményreláció
cáfolhatatlanság

Egy formula cáfolhatatlan, ha sohasem hamis.

érvényesség

Egy formula érvényes, ha mindig igaz.

Az értékrés öröklődése

Ha a deskripció csak egy individuumra igaz, akkor a jelölet az adott individuum; egyébként a jelölet a nullentitás.
Ha egy atomi formula olyan terminust tartalmaz, aminek jelölete a nullentitás, akkor a formulának nincs igazságértéke (értékrés)
Ha egy formula igazságérték nélküli, akkor tagadása is igazságérték nélküli. Ha egy konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia egyik tagjának nincs igazságértéke, akkor az egésznek sincs igazságértéke.
Az igazságérték hiánya a kvantorokon át is továbböröklődik.
Ha egy állítást ellátunk a + funktorral, akkor az így kapott állítás igazságértéke igaz, ha az eredeti állítás igaz volt, és hamis, ha nem (hamis, vagy igazságérték nélküli).

A modális logika szemantikájában

Az értékréses modális logikában az értékrés tovább öröklődik a modális funktorokon át is.

Az értékréses modális logikai világaiban az értékrés figyelembe vételével néhány fontos formula jelentése módosul. Így $\lnot \Diamond \lnot A$ jelentése: A egy világban sem hamis. Hasonlóan, $\lnot \Box \lnot A$ jelentése: A néhány világban nem hamis.

A nulladrendű értékréses modális logikát Q-rendszernek is nevezik.

Bármely modális kalkulus szerint felépíthető elsőrendű értékréses modális rendszer.

Az értékrés forrásai

Az igazságérték hiányának több oka lehet. Az egyik a jelölet nélküli nevek esete; a másik pedig az, hogy bizonyos világokban nem minden predikátum alkalmazható minden individuumra. Például az emberek halmazán nem alkalmazhatók matematikai predikátumok, vagy a számok halmazán színpredikátumok.

Az értékréses modális világokban nincs világ értékrés nélkül. Például az „Ez a mondat hamis.” állításnak egy világban sem lehet igazságértéke.

Felépítése

A változók halmaza ugyanaz, mint egyébként.
A deskriptív konstansok halmaza névkonstansokat és predikátumokat tartalmaz.
A változók és a névkonstansok terminusok.
Ha A formula, és x változó, akkor Ix(A) terminus.
Ha egy predikátumba terminusokat helyettesítünk, akkor formulát kapunk.
Ha t₁ és t₂ terminus, akkor t₁ = t₂ formula.
Ha $A$ formula, akkor $\lnot A$ , $+A$ , $\Diamond A$ formula
Ha $A$ és $B$ formula, akkor $A\Rightarrow B$ is formula.
Ha A formula, és x változó, akkor $\exists xA$ formula.
Modalizált formulák:
- Ha A formula, akkor $+A$ , $\Diamond A$ modalizált formula
- Ha A modalizált formula, akkor $\lnot A$ , $\exists xA$ , és $A\Rightarrow B$ is modalizált formula.

Az itt nem szereplő egyéb funktorokat definícióval vezetik be.

A változókat és a névkonstansokat merev terminusoknak nevezik. Ezek értéke minden világban ugyanaz, vagy eltűnik. A deskripciók nem merev terminusok; szintén nem merevek azok a terminusok, amik deskripciót tartalmaznak.

Helyettesíthetőség szempontjából a modalizált formulákra a következőket kell kikötni: ha a formulában x-nek van szabad modalizált előfordulása, akkor x helyére csak merev terminus helyettesíthető.

Interpretáció

Egy interpretáció kielégíti a következőket:

W a lehetséges világok nem üres halmaza.
R láthatósági reláció.
U az individuumok halmaza.
$\Theta$ nullentitás, ami nem eleme az individuumok halmazának.
d a W halmazon értelmezett függvény, ami megmondja, hogy egy világban milyen individuumok fordulnak elő.
$\varphi$ a deskriptív konstansok halmazán definiált interpretálófüggvény. Névkonstansokra alkalmazva individuumot ad vissza. Egy adott világban predikátumnak az adott világban létező individuumot, vagy nullentitást feleltet meg. Ha P mondatparaméter, akkor igazságértéket ad vissza, ami csak a világtól függ.

Az R láthatósági relációra különböző kikötéseket lehet tenni, ezzel különböző értékréses modális rendszerekhez lehet jutni.

Kvantifikáció

Az értékréses modális rendszerekben kétféle univerzális kvantor használható.

Gyenge univerzális kvantor

Definíció: $\lnot \exists x\lnot A$

Ezt a kvantort azért nevezik gyengének, mert ha d(w) üres, akkor értéke igaz a w világban.

Erős univerzális kvantor

Degenerálja az állítást, ha d(w) üres. Ez jobban megfelel az értékréses szemléletnek.

Definiálásához egy új fogalom kell, ami szintén csak értékréses logikában létezhet.

Jelölje $\uparrow$ a következő formulát:

\exists y(

I

(x=y)=y)

Elfajulása az individuumtartomány ürességét jelzi.

Ezzel az erős univerzális kvantor így fejezhető ki:

\forall xA=\uparrow \Rightarrow \lnot \exists x\lnot A

Néhány logikai törvény

A modus ponens szabálya nem örökíti a cáfolhatatlanságot, de az igazságot és vele az érvényességet igen.
Azok a sémák, amik a nulladrendű logikában érvényesek, nem mind érvényesek az értékréses rendszerekben. Viszont cáfolhatatlanságuk megmarad.
Ha A cáfolhatatlan, akkor erős vagy gyenge univerzális kvantorral ellátva is cáfolhatatlan.
Modális törvények
- Ha A cáfolhatatlan, akkor $\lnot \Diamond \lnot A$ érvényes.
- Ha A érvényes, akkor $\Box A$ is érvényes.
- $\Box (A\Rightarrow B)\Rightarrow \Box A\Rightarrow \Box B$ érvényes, ha $\Box$ erős szükségszerűséget jelent; ha $\Box$ gyenge szükségszerűséget jelöl, akkor cáfolható.
- Ha $A\Rightarrow B$ érvényes, akkor $\Diamond A\Rightarrow \Diamond B$ és $\Box A\Rightarrow \Box B$ is érvényes.