Általános Dirichlet-sor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Az általános Dirichlet-sor a matematikai analízisben egy

alakú sor, ahol és komplex számok, és pozitív számok szigorúan monoton növő sorozata, ami a végtelenbe tart.

Egy egyszerű megfigyelés szerint a közönséges Dirichlet-sor is általános Dirichlet-sor:

ahol .

A hatványsorok is speciális általános Dirichlet-sorok:

ahol .

Tulajdonságok[szerkesztés]

Ha a Dirichlet-sor konvergens -ban, akkor egyenletesen konvergens az

tartományban, és konvergens minden -ben, ahol .

Ha a sor nem mindenütt, csak a komplex sík egy részén konvergens, akkor létezik egy , hogy a sor -ben konvergens, és -ben divergens. A mindenütt divergens sorokra , és a mindenütt konvergens sorokra . Ez a konvergencia abszcisszája.

A konvergencia abszcisszája[szerkesztés]

A konvergencia abszcisszájának alternatív definíciója:

.

A egyenest a konvergencia egyenesének nevezik, a konvergencia félsíkja pedig

A Dirichlet-sorok konvergenciájában a konvergencia abszcisszája, egyenese és félsíkja rendre a hatványsorok konvergenciasugarának, határának és tartományának felel meg.

A hatványsorok határához hasonlóan a Dirichlet-sorok konvergenciaegyenesén is nyitott kérdés a konvergencia. Azonban, ha egy függőleges egyenes egyes pontjain a sor konvergál, és más pontjain divergál, akkor az az egyenes csak a konvergenciaegyenes lehet. A bizonyítás implicit adott a konvergencia abszcisszájának a definíciójában. Például, a

sor konvergens -ben, mert az alternáló harmonikus sort adja, és divergál -ban, mert a harmonikus sort adja, így a konvergencia egyenese.

Tegyük fel, hogy egy Dirichlet-sor nem konvergál -ban. Ekkor definíció szerint , és divergál. Másrészt, ha konvergál -ban, akkor és . Ezzel két képlet adódik számítására konvergenciájától függően, amit különböző konvergenciakritériumok segítenek belátni. Ezek a Cauchy-Hadamard-tétel képleteihez hasonlóak:

Ha divergens, vagyis , akkor -re:

Ha konvergens, vagyis , akkor -re:

Az abszolút konvergencia abszcisszája[szerkesztés]

Az abszolút konvergencia definíciója szerint egy Dirichlet-sor abszolút konvergens, ha

konvergens. Az abszolút konvergenciából következik a konvergencia, de ez fordítva már nem igaz.

Ha egy Dirichlet-sor abszolút konvergens -ban, akkor abszolút konvergens minden s -re, amire . Ha a sor csak a komplex számsík egy részén abszolút konvergens, akkor van olyan , hogy a sor abszolút konvergens minden -ra, és a sor vagy nem konvergál, vagy feltételesen konvergál, ha . Ez a az abszolút konvergencia abszcisszája.

Ekvivalensen, az abszolút konvergencia abszcisszája definálható, mint:

.

Az abszolút konvergencia egyenese, illetve félsíkja a közönséges konvergenciához hasonlóan definiálható. A sor konvergenciájától függően kétféleképpen számolható:

Ha divergens, akkor -ra:

Ha konvergens, akkor -ra:

Általában az abszolút konvergencia abszcisszája nem egyezik meg a konvergencia abszcisszájával, ezért van egy sáv, amiben a sor feltételesen konvergens. A sáv szélessége:

Ha a sáv szélessége 0, akkor

Mindezek a képletek használhatók a közönséges Dirichlet-sorra is, a helyettesítéssel.

Analitikus tulajdonság[szerkesztés]

Egy Dirichlet-sor által reprezentált függvény

analitikus a konvergencia félsíkján. Sőt, minden -ra:

További általánosítások[szerkesztés]

A Dirichlet-sor tovább általánosítható többváltozós esetre, ahol , k = 2, 3, 4,..., és komplex esetre, ahol , m = 1, 2, 3,...

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a General Dirichlet series című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Források[szerkesztés]

  • G. H. Hardy, and M. Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge University Press, first edition, 1915
  • E. C. Titchmarsh, The theory of functions, Oxford University Press, second edition, 1939
  • Tom Apostol, Modular functions and Dirichlet series in number theory, Springer, second edition, 1990
  • A.F. Leont'ev, Entire functions and series of exponentials (in Russian), Nauka, first edition, 1982
  • A.I. Markushevich, Theory of functions of a complex variables (translated from Russian), Chelsea Publishing Company, second edition, 1977
  • J.-P. Serre, A Course in Arithmetic, Springer-Verlag, fifth edition, 1973