Waring-probléma

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Waring-probléma az additív számelmélet egyik alapfeladata, azzal foglalkozik, hogy hány darab k-adik hatvány (nem negatív egész szám k-adik hatványa) szükséges egy tetszőleges pozitív egész összegként való előállításához. Itt k egynél nagyobb egész. Waring sejtése szerint minden k>1 számhoz van olyan g(k) szám, hogy minden természetes szám előáll g(k) k-adik hatvány összegeként. (Itt mindegy, hogy legfeljebb, vagy pontosan g(k) tagot követelünk, mert az összeget mindig kiegészíthetjük tetszőlegesen sok 0^k taggal). Hilbert 1909-ben igazolta, hogy g(k) létezik minden k-ra. Mára apró bizonytalanságtól eltekintve minden k-ra ismerjük g(k) értékét. Legkésőbb g(4)=19-t igazolták 1986-ban. Hilbert bizonyítási eljárásának jelentős leegyszerűsítése a magyar Kürschák József nevéhez fűződik.

Története, elnevezés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Edward Waring 1770-ben kiadott Meditationes Algebraicae című könyvében publikálta azt az észrevételét, hogy „Omnis integer numerus vel est cubus; vel e duobus, tribus, 4, 5, 6, 7, 8, vel novem cubus compositus: est etiam quadratoquadratus; vel e duobus, tribus etc. usque ad novemdecim compositus et sic deinceps.” azaz minden szám előáll kilenc köbszám, tizenkilenc negyedik hatvány stb. összegeként. A modern matematika ezt úgy fogalmazza meg, hogy minden k\geq 2 természetes számhoz megadható egy csak k-tól függő s(k) szám, hogy minden természetes szám előáll legfeljebb s(k) k-adik hatvány összegeként, azaz a k-adik hatványok sorozata bázist alkot. Hagyományosan g(k)-val jelölik s(k) legkisebb értékét.

Még 1770-ben igazolta Lagrange azt a régi sejtést, hogy minden természetes szám négy négyzetszám összege, azaz g(2)=4 (a négynégyzetszám-tétel).

Alsó becslés g(k)-ra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

g(k)\geq 2^k +\left\lfloor \left( \frac{3}{2}\right) ^k\right\rfloor -2

ahol \lfloor x\rfloor az x szám alsó egészrészét jelöli.

Ez a korlát úgy adódik, hogy mutatunk egy számot, aminek az előállításához legalább ennyi k-adik hatvány szükséges. Legyen

r=\left\lfloor \left( \frac{3}{2}\right) ^k\right\rfloor.

Ekkor az n=r\cdot 2^k-1 számot csak 1^k és 2^k tagokkal tudjuk előállítani, mivel n<r\cdot 2^k<\frac{3^k}{2^k}\cdot 2^k=3^k. De a tagok száma akkor a legkisebb, ha r-1 tag értéke 2^k és 2^k-1 értéke 1. Azaz a tagok száma 2^k+r-2.

g(4) létezik[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Liouville igazolta, hogy g(4) létezik, pontosabban, hogy minden természetes szám előáll 53 negyedik hatvány összegeként. Ehhez a

6(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)^2=\sum_{i<j}(x_i+x_j)^4+(x_i-x_j)^4

azonosságot használta fel. A jobb oldalon a negyedik hatványok száma 12. Ebből, Lagrange tételét használva, következik, hogy minden 6n^2 alakú szám felírható 12 negyedik hatvány összegeként. Ismét használva Lagrange eredményét, minden 6x alakú számot 6a^2+6b^2+6c^2+6d^2 alakban írhatunk és ez, az előbbiek szerint 48 negyedik hatvány összege. Végül egy tetszőleges számot egy 6x alakú szám és legfeljebb 5 egyes segítségével felírva adódik Liouville tétele.

g(3) értéke[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Először E. Maillet igazolta 1895-ben, hogy g(3) létezik, sőt g(3)\leq 21. Ezt sokak javítása után 1909-ben Arthur Wieferich javította a pontos g(3)=9 értékre (egy esetet, amit Wieferich elnézett, Kempner 1912-ben zárt le).

Azonosságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Számos egyéb konkrét esetre igazolták g(k) létezését, ehhez nem egy esetben a fentihez hasonló azonosságokat használtak.

Fleck például (x^2_1+x^2_2+x^2_3+x^2_4)^3-öt ki tudta fejteni, mint

\frac{1}{60}\sum_{i<j<k}(x_i\pm x_j\pm x_k)^6+\frac{1}{30}\sum_{i<j}(x_i\pm x_j)^6+\frac{3}{5}\sum_{i}x^6_i

és ebből már levezethető g(6) létezése.

Hurwitz (x^2_1+x^2_2+x^2_3+x^2_4)^4-ra igazolta, hogy egyenlő a következővel:

\frac{1}{840}\sum (x_1\pm x_2\pm x_3\pm x_4)^8+\frac{1}{5040}\sum_{i<j<k}(2x_i\pm x_j\pm x_k)^8+
\frac{1}{84}\sum_{i<j}(x_i\pm x_j)^8+\frac{1}{840}\sum_{i}(2x_i)^8

Hurwitz kimondta azt az általános sejtést is, hogy minden k-ra van

(x^2_1+x^2_2+x^2_3+x^2_4)^k=
\sum^{M}_{i=1}a_i(b_{i,1}x_1+b_{i,2}x_2+b_{i,3}x_3+b_{i,4}x_4)^{2k}

alakú azonosság, ahol az a_i-k pozitív racionális számok, a b_{i,j}-k pedig egészek.

Waring sejtésének igazolása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Waring sejtését először Hilbert igazolta 1909-ben. Először is arra adott egzisztenciabizonyítást, hogy létezik, Hurwitz fenti sejtésében megfogalmazott típusú azonosság. Ezután számos egyéb azonosság létezését vezette le, majd k-ra indukcióval igazolta a tételt. Módszere alkalmatlan volt arra, hogy g(k)-ra bármilyen korlátot kapjon. Az 1920-as években Hardy és Littlewood a körmódszer segítségével számos új eredményt ért el, többek közt a g(k)=O(k2^k) becslést. Módszerük azon alapult, hogy analitikus eszközökkel becsléseket adtak az

x^k_1+\cdots+x^k_s=N

egyenlet megoldásszámára. Eredményeiket erősen megjavította Vinogradov. Ennek nyomán Dickson, Pillai, Rubugunday és Niven lényegében meghatározta g(k) értékét minden k\geq 6-ra. Tételük szerint, ha

3^k-2^k+2<(2^k-1)\left\lfloor\frac{3^k}{2^k}\right\rfloor

akkor

g(k)=2^k+\left\lfloor\frac{3^k}{2^k}\right\rfloor-2.

Ha viszont

3^k-2^k+2\geq(2^k-1)\left\lfloor\frac{3^k}{2^k}\right\rfloor

akkor legyen

N(k)=\left\lfloor\frac{3^k}{2^k}\right\rfloor\cdot
\left\lfloor\frac{4^k}{3^k}\right\rfloor +\left\lfloor\frac{4^k}{3^k}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{3^k}{2^k}\right\rfloor.

Ekkor, ha 2^k<N(k), akkor

g(k)=\left\lfloor\frac{3^k}{2^k}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{4^k}{3^k}\right\rfloor+2^k-3

ha pedig 2^k=N(k), akkor

g(k)=\left\lfloor\frac{3^k}{2^k}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{4^k}{3^k}\right\rfloor+2^k-2

Stemmler (1964) szerint az első feltétel, így az első képlet teljesül minden k\leq 200000 értékre és Mahler 1957-ben igazolta, hogy véges kivétellel minden k értékre. Sejtjük, hogy k minden értékére teljesül.

Linnyik 1943-ban egy teljesen elemi bizonyítást publikált Hilbert tételére.

A g(4) = 19 egyenlőséget 1986-ban igazolta Balasubramanian, Dress, és Jean-Marc Deshouillers,[1][2] g(5) = 37-et 1964-ben Chen Jingrun, végül g(6) = 73-at 1940-ben Subbayya Sivasankaranarayana Pillai.[3]

G(k)[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1909-ben Landau publikálta azt a meglepő eredményt, hogy minden elegendő nagy szám már 8 köbszám összegeként is felírható. 1939-ben L. E. Dickson ezt úgy pontosította, hogy csak 23 és 239 a kivételek. Linnyik 1943-ban azt is igazolta, hogy minden elég nagy szám legfeljebb 7 köbszám összege. Minden jel szerint minden elég nagy szám már 4 köbszámmal is előállítható, sőt azt sejtik,[4] hogy 7373170279850 a legnagyobb szám, ami nem írható fel 4 köbszám összegeként. Négy köbszám biztosan szükséges végtelen sok számhoz: mivel a 3-mal nem osztható számok köbe 9-cel osztva \pm 1-et ad maradékul, ilyenek azok a számok, amelyek 9-cel vett maradéka 4 vagy 5. Mindenesetre Davenport igazolta, hogy a négy köbszámmal nem előállítható számok száma x-ig O(x^{29/30+\varepsilon}) és ezt Brüdern O(x^{37/42+\varepsilon})-ra javította.

E jelenségek vizsgálatára vezette be Hardy és Littlewood a G(k) értéket, ami a legkisebb olyan m számot jelenti, hogy minden elég nagy természetes szám előáll m darab k-adik hatvány összegeként. Ennek hátterében egyrészt az áll, hogy, mint a fenti példán is láttuk, k>2-re csak kis számokhoz szükséges g(k) k-adik hatvány, később ez leesik egy jóval kisebb értékre, másrészt az analitikus eljárásokkal kapott becslések csak igen nagy számokra adnak jó eredményeket. Tudjuk tehát, hogy G(2)=4, mert, mint könnyen látható, végtelen sok szám (a 4^x(8y+7) alakú számok) nem állíthatóak elő három négyzetszám összegeként.

G(k) pontos értéke a legtöbb esetben ismeretlen. A fentiek szerint G(3)-ról csak annyit tudunk hogy: 4 \leq G(3) \leq 7. Könnyen látható, hogy G(k)\geq k+1 minden k>1-re, ugyanis a k darab k-adik hatvány összegeként felírható számok sorozatának felső sűrűsége legfeljebb 1/k!. Továbbá G(2^k)\geq 2^{k+2}, ha k\geq 3, ugyanis a (2^{k+3}-1)(2^{k+2})^n alakú számokhoz legalább ennyi 2^k-adik hatvány kell. De ekkor G(3\cdot2^k)\geq 2^{k+2}-nek is teljesülnie kell, hiszen minden 3\cdot2^k-adik hatvány egyben 2^k-adik hatvány is. Sejthető, hogy k>2-re a fenti korlátok adják meg G(k) pontos értékét.

G(4) értékét pontosan megadja Davenport egy tétele,[5] ami szerint minden elég nagy szám, ha 16-tal osztva nem 14 vagy 15 maradékot ad, felírható 14 negyedik hatvány összegeként. Ebből következik, hogy G(4)=16 és tizenhat negyedik hatványra csak a 16^kA alakú számok felírására van szükség, ahol A egy véges halmaz eleme.

Hardy és Littlewood igazolta, hogy G(k)\leq 2^k+1. Ezt Vinogradov a G(k)\leq 6k\log{k}+k\log 216 becslésre javította. A legjobb eredmény T. D. Wooleytól származik: G(k)\le k\log k+k\log\log k+O(k). (Lásd például Vaughan könyvében.[6])

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. R. Balasubramanian, J.-M. Deshouillers, F. Dress: Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solution., Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Sér. I Math., 303(1986), 85-88.
  2. R. Balasubramanian, J.-M. Deshouillers, F. Dress: Problème de Waring pour les bicarrés. II. Résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Sér. I Math., 303(1986), 161-163.
  3. S. S. Pillai: On Waring's problem g(6)=73, Proc. Indian Acad. Sci., 12A,(1940)) 30-40.
  4. Jean-Marc Deshouillers, François Hennecart, Bernard Landreau, 7373170279850, Mathematics of Computation, 69(2000) 421-439, elérhető itt: http://www.ams.org/mcom/2000-69-229/S0025-5718-99-01116-3/S0025-5718-99-01116-3.pdf
  5. H. Davenport: On Waring's problem for fourth powers, Annals of Mathematics, 40(1939), 731-737.
  6. R. C. Vaughan: The Hardy-Littlewood method, 2nd ed., Cambridge Tracts in Mathematics, CUP, 1997