Walrasi egyenletek

Léon Walras az 1874-ben megjelent Élements d'économie politique pure; ou théorie de la richesse sociale (A tiszta politikai gazdaságtan elemei, avagy a társadalmi gazdagság elmélete) című művében egy – négy csoportba sorolt – egyenletekből álló egyenletrendszert vázolt fel, amiket walrasi egyenleteknek hívunk. Az egyenletekkel, amelyek a gazdaságban jelen lévő javak árát és mennyiségét határozzák meg „a tökéletesen szabad verseny hipotetikus feltételei között”, Walras megteremtette az általános egyensúlyelmélet alapjait.

A fogyasztásicikk-keresleti és a tényezőkínálati egyenletek

Walras modelljében a háztartásoknak kettős gazdasági szerepük van: egyrészt a fogyasztási cikkek potenciális vevőiként, másrészt a termelési tényezők (munkaerő, tőke stb.) eladóiként jelennek meg a piacon.

Walras elsőként egyetlen háztartást vizsgált. Feltételezte, hogy a rendelkezésre álló (eladható) tényezőmennyiségek rögzítettek, ezeket jelölje q_t, q_p, q_k, és így tovább. A vásárolt fogyasztási javak mennyiségei legyenek d_a, d_b, d_c stb., az eladott tényezőmennyiségek pedig o_t, o_p, o_k, és így tovább. Legyen az a jószág az ármérce (numéraire), vagyis mérjük a többi jószág árát a egységében. Ekkor értelemszerűen $p_{a}=1\,$. (Ezzel Walras kiiktatta a pénzt az egyenletekből.) Minden jószágnak létezik hasznossága (mai szóval határhaszna, amit Walras $\Phi \,$-vel jelöl), ami a háztartás számára végül rendelkezésre álló mennyiség monoton csökkenő függvénye (más javak fogyasztásától azonban nem függ). Ha a háztartás optimálisan osztja meg a jövedelmét a különböző javak között, teljesülnek a következő egyenletek:

${\begin{matrix}\Phi (d_{a})=p_{a}\cdot \Phi (d_{a})\\\Phi (d_{b})=p_{b}\cdot \Phi (d_{a})\\\Phi (d_{c})=p_{c}\cdot \Phi (d_{a})\\...\end{matrix}}$

Az első egyenlet $p_{a}=1\,$ miatt valójában azonosság, elhagyható. Ha a fogyasztási cikkek száma m, akkor m ‒ 1 egyenletünk van. De hasonlóak a termelési tényezőkre is felírhatók:

${\begin{matrix}\Phi (q_{t}-o_{t})=p_{t}\cdot \Phi (d_{a})\\\Phi (q_{p}-o_{p})=p_{p}\cdot \Phi (d_{a})\\\Phi (q_{k}-o_{k})=p_{k}\cdot \Phi (d_{a})\\...\end{matrix}}$

Ha a tényezők száma n, akkor ez ugyanennyi egyenletet jelent.

A fentebb leírt egyenletekben közös a $\Phi (d_{a})\,$ tag, ezért akár ilyen alakra is hozhatók:

${\frac {\Phi (d_{b})}{p_{b}}}={\frac {\Phi (d_{c})}{p_{c}}}=...={\frac {\Phi (q_{t}-o_{t})}{p_{t}}}={\frac {\Phi (q_{p}-o_{p})}{p_{p}}}={\frac {\Phi (q_{k}-o_{k})}{p_{k}}}=...=\Phi (d_{a})$,

amivel lényegében Gossen II. törvényét írtuk fel.

Még egy egyenlet létezik, ami annak a feltevésnek felel meg, hogy a háztartás összes (tényezőeladásból származó) jövedelmének egyenlőnek kell lennie az összes (fogyasztásicikk-vásárlásra fordított) kiadásával. Eszerint:

$p_{t}\cdot o_{t}+p_{p}\cdot o_{p}+p_{k}\cdot o_{k}+...=d_{a}+p_{b}\cdot d_{b}+p_{c}\cdot d_{c}+...\,$

A tökéletes verseny feltételezéséből az is következik, hogy minden egyes háztartás árelfogadó, vagyis nem képes (vagy úgy véli, hogy nem képes) befolyásolni a piacon kialakult árakat. Ezért az árak most – a kiinduló tényezőmennyiségekhez hasonlóan – paraméterként jelennek meg, csak a keresett, illetve kínált mennyiségek ismeretlenek. m + n darab egyenletünk van, és ugyanennyi ismeretlen. Walras feltételezte, hogy ez elegendő az egyenletrendszer megoldhatóságához és a megoldás egyértelműségéhez, így a háztartás meg tudja határozni az általa vásárolni, illetve eladni kívánt jószágmennyiségeket. Írjuk fel ezeket az árak függvényében:

${\begin{matrix}d_{a}=f_{a}(p_{b},p_{c},...,p_{t},p_{p},p_{k},...)\\d_{b}=f_{b}(p_{b},p_{c},...,p_{t},p_{p},p_{k},...)\\d_{c}=f_{c}(p_{b},p_{c},...,p_{t},p_{p},p_{k},...)\\...\\o_{t}=f_{t}(p_{b},p_{c},...,p_{t},p_{p},p_{k},...)\\o_{p}=f_{p}(p_{b},p_{c},...,p_{t},p_{p},p_{k},...)\\o_{k}=f_{k}(p_{b},p_{c},...,p_{t},p_{p},p_{k},...)\\...\end{matrix}}$

Látható, hogy bármely jószág keresletét, illetve kínálatát minden más jószág ára befolyásolja.

Walras ezt követően áttért a háztartások összességének vizsgálatára. Az egyes fogyasztási cikkek kereslete és a tényezők kínálata a háztartások keresleteinek, illetve kínálatainak összege, így maga is az árak függvénye:

${\begin{matrix}D_{a}=\sum d_{a}=F_{a}(p_{b},p_{c},...,p_{t},p_{p},p_{k},...)\\D_{b}=\sum d_{b}=F_{b}(p_{b},p_{c},...,p_{t},p_{p},p_{k},...)\\D_{c}=\sum d_{c}=F_{c}(p_{b},p_{c},...,p_{t},p_{p},p_{k},...)\\...\\O_{t}=\sum o_{t}=F_{t}(p_{b},p_{c},...,p_{t},p_{p},p_{k},...)\\O_{p}=\sum o_{p}=F_{p}(p_{b},p_{c},...,p_{t},p_{p},p_{k},...)\\O_{k}=\sum o_{k}=F_{k}(p_{b},p_{c},...,p_{t},p_{p},p_{k},...)\\...\end{matrix}}$

Mivel minden egyes háztartás kínálatának értéke egyenlő volt a keresletével, ezért az aggregált kínálat is azonos lesz az aggregált kereslettel. Ez az összefüggés Walras törvényeként is ismert.

A tényezőpiaci egyenletek

Az általános egyensúly elengedhetetlen feltétele, hogy minden termelési tényező összpiaci kereslete egyenlő legyen a kínálatával:

${\begin{matrix}D_{t}=O_{t}\\D_{p}=O_{p}\\D_{k}=O_{k}\\...\end{matrix}}$

A termelési tényezők kereslete ugyanakkor az általuk előállított javak keresletéből származtatható. Az ezt leíró összefüggést Walras lineárisnak feltételezte. A javak keresleteinek együtthatóit technikai koefficienseknek nevezzük. Behelyettesítve a tényezőkeresletek helyére:

${\begin{matrix}a_{t}\cdot D_{a}+b_{t}\cdot D_{b}+c_{t}\cdot D_{c}+...=O_{t}\\a_{p}\cdot D_{a}+b_{p}\cdot D_{b}+c_{p}\cdot D_{c}+...=O_{p}\\a_{k}\cdot D_{a}+b_{k}\cdot D_{b}+c_{k}\cdot D_{c}+...=O_{k}\\...\end{matrix}}$

Walras kezdetben úgy vélte, hogy a technikai koefficiensek merevek, kizárólag a technológia függvényei. Az Élements harmadik kiadásában felülbírálta álláspontját. Erről részletesebben lásd: A technikai koefficiensek problémája.

Az ár-költség egyenletek

Az egyenletek negyedik csoportja a fogyasztási cikkek árának és átlagos termelési költségeinek azonosságát írja le. A költségek az előállításhoz szükséges tényezők árának az előző pontban megismert technikai koefficiensekkel súlyozott értékei.

${\begin{matrix}p_{a}=a_{t}\cdot p_{t}+a_{p}\cdot p_{p}+a_{k}\cdot p_{k}+...\\p_{b}=b_{t}\cdot p_{t}+b_{p}\cdot p_{p}+b_{k}\cdot p_{k}+...\\p_{c}=c_{t}\cdot p_{t}+c_{p}\cdot p_{p}+c_{k}\cdot p_{k}+...\\...\end{matrix}}$

Walras ezzel feltételezte, hogy a vállalatok (amelyek a tényezők fogyasztási cikkekké való transzformálását végzik) profitja az egyensúlyban 0.

A technikai koefficiensek problémája

Az Élements harmadik kiadásában Walras elvetette korábbi véleményét, miszerint a technikai koefficiensek csak a technológiától függnének, a vállalat döntésétől egyáltalán nem. Ezáltal Walras elismerte, hogy a tényezők bizonyos keretek között helyettesíthetők egymással akkor is, ha a vállalat ugyanazt a jószágot állítja elő.

Ha a technikai koefficiensek paraméterből ismeretlenné válnak, a modellben mn darab új ismeretlen lép fel. Csakhogy ugyanennyi egyenlet is keletkezik azáltal, hogy a vállalatok profitjuk maximalizálása érdekében mind az n tényező határtermék-bevételét egyenlővé teszik ezen tényezők árával; és ugyanezt megismétlik mind az m jószág gyártása folyamán.

Az egyenletek megoldhatósága

Összefoglalva a négy egyenletcsoportot:

Egyenletcsoport	Az egyenletek általános alakja	Az egyenletek száma
Fogyasztásicikk-keresleti egyenletek	$D_{i}=F_{i}(p_{b},p_{c},...,p_{t},p_{p},p_{k},...)\,$	n
Tényezőkínálati egyenletek	$O_{j}=F_{j}(p_{b},p_{c},...,p_{t},p_{p},p_{k},...)\,$	m
Tényezőpiaci egyenletek	$a_{j}\cdot D_{a}+b_{j}\cdot D_{b}+c_{j}\cdot D_{c}+...=O_{j}$	m
Ár-költség egyenletek	$p_{i}=i_{t}\cdot p_{t}+i_{p}\cdot p_{p}+i_{k}\cdot p_{k}+...$	n

Ismeretlen m + n ‒ 1 jószág ára (mivel $p_{a}=1\,$ – másképpen fogalmazva, m + n ‒ 1 jószágnak az a-hoz viszonyított árarányát keressük), valamint a javak egyensúlyi mennyiségei (általánosan felírva: D_i és O_j). Az ismeretlenek száma tehát 2m + 2n ‒ 1, ami látszólag eggyel alacsonyabb az egyenletek számánál. Valójában azonban nem, mert a 3. és 4. csoportba tartozó egyenletekből levezethető Walras törvénye, amit már az 1. és 2. csoportból is levezettünk. Úgy is mondhatjuk, hogy az egyenletrendszer szabadságfoka 2m + 2n ‒ 1, egy tetszőlegesen kiválasztott egyenlet nem hordoz pluszinformációt a többihez képest, így elhagyható.

Walras úgy gondolta, hogy az egyenletek és az ismeretlenek számának egyezősége (ami, mint már említettük, változtatható technikai koefficiensek esetén is fennáll) elegendő ahhoz, hogy kijelentsük: az egyenletrendszer megoldható és a kapott gyökök egyértelműek. Valójában ez nincs így. 1954-ben ugyanakkor Kenneth Arrow és Gerard Debreu Nobel-díjas közgazdászok megmutatták, hogy akkor és csak akkor, ha egyetlen fogyasztási cikk gyártásának mérethozadéka sem növekvő, nincsenek kapcsolt termékek és externáliák, a walrasi egyenletrendszernek egyetlen, közgazdasági szempontból értelmes megoldása van.

Kapcsolódó szócikkek

• Általános egyensúlyelmélet
• Léon Walras

Irodalom

• Bekker Zsuzsa (szerk.): Alapművek, alapirányzatok. Aula Kiadó, 2002. ISBN 963-9345-33-4.
• Mátyás Antal: A modern közgazdaságtan története. Aula Kiadó, 1996. ISBN 963-503-0673.