Vonalfelület

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A geometriában az a felület vonalfelület, amelynek minden pontján át húzhatunk egy olyan egyenest, ami az adott felületen halad végig.

Ilyen például a sík, a hengerpalást vagy a kúpfelület.

A vonalfelületet úgy képzelhetjük el, mint egy egyenes térben való mozgatásának lenyomatát. Például ezzel a módszerrel a kúpfelületet úgy kapjuk meg, hogy rögzítjük az egyenes egy pontját, egy másikat pedig körbevezetjük egy körön (a pont nincs a kör síkjában).

Kétszer vonalazott felület[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kétszer vonalazott a felület, ha minden pontján át két különböző rajta fekvő egyenes húzható.

Ilyen például a sík (ez az egyetlen n-szeresen vonalazott felület, ha n >= 3), a hiperbolikus paraboloid (nyeregfelület), vagy a hiperboloid.

Paraméterezés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A mozgó egyenes leírható az

S(t,u) = p(t) + u r(t)\

egyenlettel, ahol S(t,u) a felület általános pontja, p(t) a görbén végigfutó pont, r(t) az egységgömbön, ami végigköveti a görbét.

Például, ha


\begin{align}
p(t) &= (\cos(2t), \sin(2t), 0)\\
r(t) &= ( \cos t \cos 2 t , \cos t \sin 2 t, \sin t )
\end{align}
,

akkor olyan felületet kapunk, ami tartalmazza a Möbius-szalagot.

A vonalfelület paraméterezhető úgy is, hogy S(t,u) = (1-u) p(t) + u q(t), ahol p és q a felület két, egymást nem metsző görbéje. Például, ha p(t) és q(t) két kitérő egyenesen fut végig konstans sebességgel, akkor hiperbolikus paraboloidot, vagy egyköpenyű hiperboloidot kapunk.

Síkba teríthető felület[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy felület síkba teríthető, ha nyújtás vagy összenyomás nélkül síkba teríthető. Ha egy síkba teríthető felület teljes tér a háromdimenziós térben, akkor vonalfelület, így például a gömb nem teríthető síkba. Fordítva viszont nem áll a dolog. A henger- és kúpfelület például síkba teríthető, de az egyköpenyű hiperboloid már nem. Általánosabban, ha a háromdimenziós térben egy felület síkba teríthető, akkor van olyan vonalfelület, ami tartalmazza. Négy dimenzióban viszont léteznek olyan síkba teríthető felületek, amik nem vonalfelületek.[1]

Algebrai geometria[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az z=xy egyenletű hiperbolikus paraboloid

Az algebrai geometriában a vonalfelületeket olyan projektív felületekből származtatják, amik minden pontjára illeszkedik egy egyenes, ami teljes egészében a felület része. Ez a feltétel definícióként is szolgál.

Az építészetben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kétszeresen vonalazott felületek lehetőséget adnak arra, hogy egyenes építőelemekből görbült felszínt hozzanak létre. Így épülnek hiperbolikus paraboloid alakú nyeregtetők, egyköpenyű hiperboloid alakú hűtőtornyok és szeméttárolók.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Hilbert & Cohn-Vossen 1952, pp. 341-342.
  • Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlin, MR2030225, ISBN 978-3-540-00832-3
  • Beauville, Arnaud (1996), Complex algebraic surfaces, London Mathematical Society Student Texts, 34 (2nd ed.), Cambridge University Press, MR1406314, ISBN 978-0-521-49510-3; 978-0-521-49842-5
  • Edge, W. L. (1931), The Theory of Ruled Surfaces, Cambridge, University Press . Review: Bull. Amer. Math. Soc. 37 (1931), 791-793, doi:10.1090/S0002-9904-1931-05248-4
  • Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8 .
  • Iskovskikh, V.A. (2001), "Ruled surface", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104