Vizing-tétel

A Vizing-tétel alsó és felső korlátot ad egy egyszerű gráf élkromatikus számára. A tételt Vagyim Georgijevics Vizing 1964-ben bizonyította be.

A tétel szerint egy egyszerű gráf élkromatikus száma legfeljebb eggyel nagyobb a maximális fokszámánál, azaz ha a gráf minden csúcsában k-nál kevesebb él találkozik, akkor ki tudjuk színezni az éleit legfeljebb k színnel. Képlettel:

$\Delta(G)\leq \chi_e(G) \leq \Delta(G) + 1$

Bizonyítás [szerkesztés]

A bizonyításban megmutatjuk, hogy minden esetben ki tudjuk színezni a gráf éleit $\Delta(G)+1$ színnel. Kezdjük el színezni a gráfot, és tegyük fel, hogy egy $x$ és $y_1$ pontok közötti élet még nem színeztünk ki. A gráf minden $v$ csúcsához rendeljünk egy $c(v)$ színt úgy, hogy $c(v)$ azt a színt jelölje ami még nem szerepel az egyik $v$ -ből kiinduló élen sem. Ilyen azért lesz mindig, mert egy csúcsból legfeljebb $\Delta(G)$ él indulhat ki. Ha $c(x)$ = $c(y_1)$ akkor ezzel a $c(x)$ színnel kiszínezhetjük az $x$ és $y_1$ között futó élet.

Tegyük fel, hogy $c(x)$ $\neq$ $c(y_1)$ . Ekkor, ha $x$ -ből nem indul ki $c(y_1)$ színű él, akkor az $x$ és $y_1$ között futó élet kiszínezhetjük ezzel a színnel. Egyébként, tegyük fel, hogy $x$ és $x$ egy $y_2$ szomszédja között futó él színe $c(y_1)$ . Most, ha $x$ -bol nem indul ki $c(y_2)$ színű él, akkor ezzel a színnel színezzük az ${x,y_2}$ élet, és ekkor már nem indul ki $x$ -ből $c(y_1)$ színű él. Egyébként feltehetjük, hogy $x$ és egy $y_3$ csúcs közötti él színe $c(y_2)$ , és folytatjuk az előző módon az algoritmust az $y_4$ , $y_5$ , stb. pontokkal.

Csak egy esetben nem tudjuk folytatni az algoritmust: ha találunk egy olyan $n$ -t, hogy az $x$ és $y_n$ közötti él színe $c(y_{n-1})$ , de egy $j$ (1 $\leq$ $j$ < $n$ ) indexre $c(y_n)$ = $c(y_j)$ . Ebben az esetben tekintsük $G$ -nek azt a részgráfját, melyben pontosan azok az élek szerepelnek, melyek $G$ -ben $c(x)$ vagy $c(y_n)$ színűek. Ebben a gráfban $\Delta$ = 2, $x$ -ből nem indul ki $c(x)$ színű él, és $y_n$ és $y_j$ -ből pedig nem indul ki $c(y_n)$ színű él. Ez azt jelenti, hogy ennek a három pontnak a fokszáma maximum 1, és $x$ $y_j$ vagy $y_n$ -től különböző komponensben van (mivel hogy a gráf izolált pontokból, utakból és körökből állhat a maximális fokszám miatt). Cseréljük fel az élek színét abban a komponensben, melyben $x$ nem található, viszont $y_j$ vagy $y_n$ igen. Ha például $y_j$ volt más komponensben, akkor elértük hogy $c(y_j)$ = $c(x)$ . Most már az $x$ és $y_j$ közötti élet színezhetjük $c(x)$ -szel, az ${x, y_{j-1}}$ él színét $c(y_{j-1})-el$ , és így tovább amíg a végén ${x,y_1}$ -et $c(y_1)$ -el színezzük. Ezzel egy jó színezést kaptunk, és bebizonyítottuk az állítást.