Vita:Kváziaritmetikai közép

Ez a szócikk témája miatt a matematikai műhely érdeklődési körébe tartozik.
Bátran kapcsolódj be a szerkesztésébe! Besorolatlan Ezt a szócikket még nem sorolták be a kidolgozottsági skálán. Nem értékelt Ezt a szócikket még nem értékelték a műhely fontossági skáláján. Értékelő szerkesztő: ismeretlen

Untitled

Just a question. I think in definition of quasi-mean, f should be continuous (or has an other equivalent property). Let me describe my problem. Let f be the following function: 0≦x, and

f(x)=x, if 0≦x<1,

f(x)=x+1, if 1≦x.

f has an inverse function, but

f ^{-1( ( f(0.5)+f(1.5) )/2 )=f -1( (0.5+2.5)/2 )}

is not defined. Mozo 2006. július 21., 22:50 (CEST)

Jogos a felvetés. De azt sem értem, hogy mi az a A a definícióban, ami zárójelben része R-nek. Nem hiányzik itt még valami? És mire vonatkozik a bijektív szó? Mert az inverzhez elég lenne az injekció is, ezért nekem itt a bijekció azt sugallja, hogy az f értékkészletére van valami korlátozás. Péter ✎ 2006. július 21., 22:56 (CEST)

Például, hogy A (mondjuk az értékkészlet) egy összefüggő halmaz, az asszem elég lenne.Mozo 2006. július 21., 22:57 (CEST)

Igen, nekem is úgy tűnik. És akkor oda kéne írni, hogy A az f értékkészlete. Szerintem ez elég, kérdés, hogy nem sok-e, mármint abban az értelemben, hogy akarná valaki szélesebb körben használni, és kevesebbet feltéve is értelmes definícióhoz lehet jutni. Ezt nem tudom. Péter ✎ 2006. július 21., 23:02 (CEST)

Akkor már a definíció értelmes, de szegény értékkészlet lehet úgy összefüggő, hogy közben a közép nem közép, mert nem a min és max közé esik az A_{f. Pl.: f(x)}

[0,1)-ben x

[1,2)-ben x+1

[2,3)-ban x-1

[3,...)-ban x

Ekkor a 0,5 és az 1,5 átlaga 2,5. Mégiscsak kell az a folytonosság. Mozo 2006. július 21., 23:19 (CEST)

Igaz. Feltéve, hogy a középtől elvárjuk ezt a szemléletes dolgot, hogy a két érték közé essen. Péter ✎ 2006. július 21., 23:25 (CEST)

A "középérték-axiómák"-nál ez van. És a folytonosságos kikötésből szépen kijön az 1., a 2. (ez triviális), de a 3.-kal megint gondom van. 1,2,3 számtani közepe 2, azaz 2=A(1,2,3), de ekkor nem igaz 1=2=3. Mozo 2006. július 21., 23:36 (CEST)

Honnan vannak ezek az axiómák? Nekem nem rémlenek sehonnan. Az angolban f-ről annyit tesznek fel, hogy az értelmezési tartomány R egy összefüggő részhalmaza, a függvény pedig folytonos injektív. De ott se látom az axiomákat. Ez a harmadik nagyon gyanús nekem. Péter ✎ 2006. július 21., 23:45 (CEST)

A válasszal meg kell várnunk Gubbot, holnap reggel gondolom korrigál majd (hacsak el nem utazott Középföldére :) Mozo 2006. július 21., 23:51 (CEST)

A forrás ott van a lap alján (A "Források" c. szakasz). Folytonosságot tényleg ír, ezt kihagytam. Az angol cikk még nagyon kezdetleges állapotban van egyébként (mellesleg, a magyar is), ha nem ír valamit, az attól még lehet igaz. ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 22., 08:08 (CEST)

1. A bijektivitás-injektivitás izét nem egészen értem, ezzel mi baj van? Biztos, hogy ha csak injektív a függvény, akkor létezik az inverze R⁺-n? (Gondolok itt Mozó függvényére). Ennek valóban létezik inverze, csakhogy nem R(+0)-n van értelmezve, ahová az [f(a)+f(b)]/2 értékei esnek. Vagyis: az R(+0)-n nem létezik az inverz függvény (az inverz reláció igen, de nem lesz megfelelő függvény, mert esetleg nincs értelmezve egy csomó helyen)! Egyébként nem azt írtam, hogy a bijektivitás az inverz létezéséhez szükséges, hanem azt, hogy az egyértelmű kiszámításához (ami, most már elismerem, félreérthető - ha már félreértettétek). Úgy gondolom, az angol "összefüggő értelmezési tartomány" követelménye helyett elég egyszerűen azt kell mondani, hogy "szürjektív" a függvény (ez többet követel). Persze lehet, hogy ez már túl sok, és elég lenne a kevesebb összefüggőség is. Ezt meg kellene nézni.
2. Az én forrásomban nem találtam olyat, hogy összefüggőnek kell lennie D(f)-nek. Lehet, hogy a monotonitás és folytonosság biztosítja (nem tudom, ezt érdemes lenne megnézni. A folytonosság szvsz definíció szerint biztosítja ezt). Az angol cikk feltételrendszere valószínűleg ekvivalens a jelenlegi cikkével; ha nem, az érdekes dolog lesz.

Javítottam. Remélem, most már jó lesz - noha a töréntek után nem vagyok róla meggyőződve. ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 22., 08:33 (CEST)

UI. Az axiómák teljesülését például nem ártana mégis csak ellenőrizni. Ezt tervezem, de nem tudom, mikor lesz rá időm. ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 22., 08:48 (CEST)

Kicsit átírtam, tessék ellenőrizni. A 3. axióma abban a formában egyszerűen nem volt igaz. A link pedig tegnap még élt, ma már nem. Mozo 2006. július 22., 10:33 (CEST)

MÁr csak azt nem értem, hogy a harmadik axióma most miért ilyen nyakatekerten van megfogalmazva. Nekem jobban tetszene az, hogy $A(x,x,\dots ,x)=x$. Ami most van az is ez, csak épp szerintem feleslegesen belekeverjük az m-et, és az M-et. Ha ezek egyenlők, akkor nyilván minden érték egyenlő. Péter ✎ 2006. július 22., 20:22 (CEST)

Igen, ez világos. Ellenben egy akkor és csak akkor mégis kell, mert amit említessz, az szintén egy triviális állítás. Most már értem, mit jelenthetett az előző verzióban az x. Ez a legkisebb érték akarna lenni (bár nem volt odaírva és ez zavart okozott). Nos, ha x a legkisebb, akkor OK.Mozo 2006. július 23., 01:53 (CEST)

Az a baj, hogy ez nem tetszés kérdése. Ekvivalensek ezek az állítások, a régi axiómarendszer az újabbal? Ellenkező esetben egy axiómát nem lehet csak úgy átírni (ha az axiómákat nem teljesítik a feltételek, akkor a feltételeket kell átírni - az axiómák ugyanis azok, amik: axiómák. Euklidész axiómáit sem lehet átírni, mert az átírt axiómarendszer már nem ugyanaz az axiómarendszer). Réffy egyébként a Kolmogorov-Nagumo axiómarendszerre hivatkozik, ami az 1. és 2. axióma mellett a folytonosságot és a szigorú monotonitást, azonkívül a reflexivitást tartalmazza, de az utóbbit olyan homályosan fogalmazza meg, hogy nem igazán tudok kiigazodni rajta (definiál egy nyakatekert "7." tulajdonságot, de erről nem derül ki, hogy csak egyszerű általánosítása-e a reflexivitásnak, amely nem része az axiómarendszernek, mert minbt megjegyzi "7. teljesítése nem szükségszerű, de a kváziaritmetikai közép reflexív"), vagy pedig hogy ez-e a reflexivitás n változóra.

Tudom, hogy mit jelent az axiómarendszer. Amit javasoltam triviálisan ekvivalens az eredetivel, hisz az egyik axiómát kicseréltem eg vele ekvivalensre. Ráadásul nem kell az acsa, mert az benne van az egyenlőségjelnben. (Az eredeti is csak burkoltan volt acsa, mert az egyik oldal két szélén lévő egyenlőség tartalmazta a másik oldalt. (Ha egyszer m=M, akkor trivi, hogy minden $x_{i}$ egyenlő)) Péter ✎ 2006. július 23., 11:36 (CEST)

Mellesleg, [1] vektorokra definiálva is szigorú monotonitást és "invertálhatóság"-ot követel (ami szerintetek injektivitás, szerintem bijektivitás, de az axiómák teljesítéséhez valószínűleg tényleg elég csak az injektivitás).

Fura ügy ez, mert Réffy Júlia a BME analízistanára, kevéssé (volt eddig számomra) hihető, hogy nagy butaságokat írna egy cikkbe; a Polygon meg egy nagyon színvonalas folyóirat, nem gondoltam volna, hogy ekkora bizonytalanságokat és vitákat okoz egy cikke, és minden mondatát külön kell ellenőrizgetni (persze kicsit én is hubás vagyok, mert egyszerűen lefelejtettem az egyik definícióbeli feltételt a cikkbe írni, de az ilyen figyelmetlenség megesik, meg épp csak elkezdtem még írni a cikket); de megpróbálok máshonnan utánanézni. De nem az angol wikipédiából: azt lehetőleg ne tekintsétek vitaalapnak. ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 22., 23:22 (CEST)

Szerintem, most jó (értsd: ekvivalens azzal, ahogy értelmeztem az eredetit).Mozo 2006. július 23., 01:53 (CEST)

Mozo kiegészítése jó: a legtöbb idegen nyelvű forrás (felsoroltam őket a cikk alján) szerint a generátorfüggvény intervallumon értelmezett kell legyen.

A definíciót javítottam: az injektivitás helyett minden forrás szigorú monotonitást ír. Elnézést, ezt tényleg én rontottam el annak idején, biztos álmos voltam :-)). Valamiért így tartják jónak definiálni, szerintem ennek oka van, és kövessük. Ha mindenképp ragaszkodunk az injektivitáshoz, szerintem nyissunk egy külön szakaszt ("más definíciók)", amelyben bebizonyítjuk a feltételek ekvivalernciáját

A harmadik axiómát töröltem. Egyes angol források csak az első axiómát követelik meg egy középtől, és külön definiálják a szimmetrikus, a szigorú stb. közepeket [2]. Szerintem ezzel a Gordiuszi vágással a második komoly probléma is megoldódik (ezt is elcsesztem, de ebben kicsit Réffy Júliát is hibásnak érzem). ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 23., 08:38 (CEST)

Megjegyzem, ha egy valós-valós függvény intervallumon értelmezett és folytonos, akkor a szig. mon és az injektivitás egyenértékű. A definícióban inkább az injektivitás van kihasználva, a bzonyításokban inkább a szig mon. (Szerintem szebb az inj, mert az olyan, mintha többet mondana.) (Vö: Szilágyi Tivadar)Mozo 2006. július 23., 09:11 (CEST)

link

• On some relations between quasi-arithmetic means
• Generalized Kolmogorov-Nagumo theorem normált terekben (durva, érteni egy betűjét is?).
• DSP terminológiával ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 23., 09:22 (CEST)
• Ostasiewiczék: Az absztrakt átlagok, történetük

erről jó lenne több

J.-L. Marichal (2000), On an axiomatization of the quasi-arithmetic mean values without the symmetry axiom, Aequationes Mathematicae 59 (1-2) 74-83.

Kolmogoroff and Nagumo proved that the quasi-arithmetic means correspond exactly to the decomposable sequences of continuous, symmetric, strictly increasing in each variable and reflexive functions. We replace decomposability and symmetry in this characterization by a generalization of the decomposability.

Nyihahah! -itt van .- tök jó, egy csomó hasznos definíció éas tudománytörténeti ismeret van benne az átlag / közép (matematika) cikk megírásához. ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 23., 09:03 (CEST)

Különösen figyelemreméltó a harmadik középaxiómával kapcsolatos:

The concept of mean as an average is usually ascribed to Chisini [6], who gives in 1929 the following definition (p. 108): Let y = g(x₁, . . . , x_n) be a function of n independent variables x₁, . . . , x_n representing homogeneous quantities. A mean of x₁, . . . , x_n with respect to the function g is a number M such that, if each of x₁, ... , x_n is replaced by M, the function value is unchanged, that is, g(M, . . . ,M) = g(x₁, ... , x_n).

Azzaz, ha jól értem: az F=f(x₁, ... , f(x_n) függvény akkor átlaga változóinak a g(x₁, ... , f(x_n) (generátor/súly)függvényre nézve, ha g minden változóját az F-fel helyettesítve, ugyanazt az értéket kapjuk, mint F. ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 23., 09:12 (CEST)

M definíciója

Most ez szerepel a cikkben: $M:\cup _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$. Nem értem mi ez az unió, mert az i index sehol nem szerepel a unió alatti részt leszámítva. M nem simán az n dimenziós valós vektorokon értelmezett? Péter ✎ 2006. július 23., 11:41 (CEST)

Nem, ha arra gondolsz, hogy rögzítve van egy i=n szám, és M ezen van értelmezve; akkor (az én értelmezésem szerint nem). Egyesek szerint M i-dimenziós valós vektorokon értelmezett függvények végtelen sorozata. A cikk az M: T*->T jelölsét használja, és korábban (4. = 340. old) írja: A mean M of a multiset A is defined as a mapping M : T->T where T* denotes either the family of all finite multisets or it is defined as follows: T* = unió 1-től végtelenig Tⁿ, pár bekezdéssel feljeb (A multiset A of the set T is defined ...) írja, hogy egy multiset lényegében egy véges sorozat. Ha elolvasod a Megjegyzés: a Kolmogorov-Nagumo-de Finetti axiómarendszer nem egyértelmű kezdetű bekezdést, léátod, hogy a különbség lényeges.

Vagy arról van szó, hogy n helyén felül i van, és egyből az összes valós vektorra, dimenziótól függetlenül értelmezzük így M-et? Ez így jól hangzik, csak akkor n-et le kéne csrélni i-re. Péter ✎ 2006. július 23., 11:51 (CEST)

Most még azt is látom, hogy T-t sem használja a def máshol, csak a szöveg elején. Annak akkor mi a szerepe? Oda képez az M? Vagy mi akar az lenni? Péter ✎

Javítottam. De legközelebb, ha ilyen kacifántosakat kérdezel, rád hagyom a kérdés megoldáasát :-)). ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 23., 12:06 (CEST)

Tudod, hogy nem veled akarok kekeckedni. Ha eddig nem tűnt volna fel, nagyon nagyra értékelem a munkádat, ahogy Mozoét is. Attól függetlenül, hogy olykor meg kell vitatnunk dolgokat.

Bevallom nem sokat tudtam eddig erről a fogalomról, így lényegében a nulláról indulva próbáltam megérteni, ahogy egy mezei olvasó. És ezek a dolgok megzavartak. Még egy kérdésem mindig maradt. Most ez a helyzet a szövegben: $M:\cup _{i=1}^{\infty }T^{i}\rightarrow T$. Az unió hatóköre nem világos számomra. A sözveges magyarázatod alapján, amit itt a vityalapon írtál, úgy értelmezem, hogy ennek kéne lennie: $M:\cup _{i=1}^{\infty }\left(T^{i}\rightarrow T\right)$. De ez a mostani nekem azt jelenti, hogy $M:\cup _{i=1}^{\infty }\left(T^{i}\right)\rightarrow T$. Ha ez utóbbit jelenti, akkor jó így, mert a zárójel elhagyásával tudjuk, hogy automatikusan a legszűkebb értelmes argumentumot kell venni, de ha nem, akkor ki kéne tenni, vagy szóban elmagyarázni. (Ne bízd rám a dolgot, mert nem értek hozzá, és most irodalmam sincs.) Péter ✎ 2006. július 23., 12:51 (CEST)

Én is a 0-ról indulva próbáltam megérteni. Természetesen csak vicceltem. Szerintem fölösleges zárójelezni, épp azért, amit mondtál. De ha egyértelműbb zárójellel, akkor inkább teszek azt is a cikkbe. ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 23., 15:05 (CEST)

Akkor ne zárójelezzük, ha csak az értelmezési tartományra vonatkozik az unió, mert ha nincs zárójel, akkor úgy értjük. Péter ✎ 2006. július 23., 15:10 (CEST)

Persze hogy úgy, hisz máshogy nincs semmi értelme, nem? ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 23., 15:36 (CEST)

A mostani jelentés azt jelenti, hogy M minden valós vektorhoz (dimenziótól függetlnül) hozzárendel egy valós számot. De fent valami függvények sorozatról is beszéltél, mint M jelentése, aminek a másik zárójeles megoldás lehetne valami konvencionális jelölése. Csak ezt akartam tisztázni. Péter ✎ 2006. július 23., 15:43 (CEST)

Igen, igen. A mostani cikkben egy R* (az R összes vektorai) ért. tart.-ú függvényről van szó. Kolmogorov és Nagumov azonban máshogy definiálták M-et, mégpedig egy végtelen függvénysorozatként, az i-edik tag Rⁱ-n van értelmezve. A két dolog ugyanaz, alig-alig más szavakkal (hiszen minden i-re létezik M leszűkítve Rⁱ, a sorozat i-edik tagja, fordítva pedig, unionálva a sorozat tagjait, kapjuk a nagy függvényt). Valamiért az előző mód joban tetszett Olowiewiczéknek vagy hogy hívják őket. ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 23., 15:52 (CEST)

OK. Akkor ez így jó lesz. Péter ✎ 2006. július 23., 15:58 (CEST)

Intervallumon értelmezett

Mit gondoltok, a Példák esetében mi legyen az I nyílt intervallum, amiről a definíció beszél? Legyen (0, +∞)? De sok forrás feltételezi I zártságát (kell az?). Ha nem az, akkor viszont mi legyen? ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 23., 22:28 (CEST)

Mellesleg, szerintetek a források mit értenek azon, hogy egy intervallum "összefüggő" (bounded) és non-void? Van nem összefüggő intervallum is? ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 23., 22:29 (CEST)

Szerintem nem kell a zártság (persze az absztrakt részenél bizotos kell, de az úgyse számít). A bounded a korlátos, a non-viod, szerintem vagy a nemüres, vagy a nemelfajuló (nemegypontú) (hát ez a kettő persze ugynanaz).

Nem tom mér vettétek ki azt a tulajdonságot, hogy min=A_f(x_1,x_2, ...) acsa, ha x_1=x_2=x_3=..., mert ez egy érdekes és nemtriviális tulajdonság. Lényegében minden közép-egyenlőtlenségnél használva van. Mozo 2006. július 23., 22:35 (CEST)

Bocs, rossz helyen volt rossz időben. Forrás nélküli volt és a cikk akkori szerkezetébe nem illeszkedett (mivel nem volt középérték-axióma). De szerintem az "egyéb tulajdonságok" szakaszba beleillik, teljesen igazad van abban, hogy a cikkben helye van. ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 23., 22:46 (CEST)

Nem tudom, Mozo, bizonyítottam, de számomra egy n-re vonatkozó leszálló indukció minden, csak nem triviális. Szerintem (főképp ha tudsz az enyéménél tiriválisabbat) nem ártana a bizonyítást odapöttyinteni (ráadásul, ha mint itt írod, nem gondolod triviálisnak, akkor ne írd a cikkbe, hogy "ez triviális"). Megjegyzem: ilyesféle tulajdonságot én soha használtam még közepes egyenlőtlenség bizonyításánál, de ez nem jelent semmit, életemben kb. 6 db. közepes egyenlőtlenséget bizonyítottam) ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 23., 23:47 (CEST)

Bocs, a triviális jelző még akkori, amikor tényleg az volt az állítás. Most íram egy bizonyítást.Mozo 2006. július 24., 00:53 (CEST)

Nyílt/zárt

• Daróczy Zoltán, Maksa Gyula, Páles Zsolt nyíltat ír: [3] Szerintem tökmindegy, hogy nyílt-e vagy zárt.
• Jean-Luc Marichal [4]

semmit nem ír a nyíltságról vagy zártságról, és azt is yírja, tökmindegy, hogy korlátos-e az intervallum (finite or infinite). ♥♥♥: Gubb  ✍    2006. július 24., 09:54 (CEST)

Szerintem is: nyílt, zárt, vagy nyílt-zárt (clopen) mindegy, mert minden állítás pusztán az intervallumon értelmezett, folytonos és injektív tulajdonságból következik (az általánosítás meg úgy is olyan bonyi, hogy nem érdemes példát kreálni hozzá - vagy mégis?) Mozo 2006. július 27., 01:27 (CEST)