Vetülettan

A vetülettan a Föld felszínén levő pontoknak a sík térképekre történő vetítéséhez szükséges vetületek létrehozásának, alkalmazásának tudománya. Foglalkozik a vetületek megalkotásával, csoportosításával, torzulásaik kiszámításával, illetve a vetületek egymás közötti átszámításával. A vetülettan alapvető fontosságú geodéziai és térképészeti munkák során. A vetületekhez 3 alapvető dolog szükséges: az alapfelület, vagyis aminek a pontjait szeretnénk leképezni, a képfelület, vagyis ahová pontokat képezni akarjuk, illetve a leképezés szabálya. A vetülettanban az alapfelület általában a Föld valódi felületének egy közelítése. Az esetek túlnyomó többségében gömb vagy forgási ellipszoid, nagyon ritkán geoid. A képfelület szinte mindig a sík, vagy síkba fejthető felület (henger, kúp), hiszen a térképeink papírlapra nyomtatódnak. Ritkán gömb, például földgömbök esetén. A szabály pedig nagyon sokféle lehet, ennek megfelelően a vetülettan nagyon sok vetületet ismer, és tárgyal.

A vetületek csoportosítása

A kép felület szerint

A térképek kép felülete szükségszerűen egy sík vagy síkba fejthető felület kell, hogy legyen. Ennek megfelelően 3 alapvető vetület csoportot különböztetünk meg.

Síkvetületek

Valódi síkvetület (gnomonikus vetület)

A valódi sikvetületek képfelülete a gömböt érintő sík.Fontos jellemzői a következők:

• Az érintési ponton - azaz a vetületi kezdőpontban, amelyet általában az ábrázolandó terület középpontja - az átmenő legnagyobb gömbi körök képei olyan sugársort alkotnak, amelyek sugarai ugyanazokat a szögeket zárják be egymással, mint a megfelelő gömbi körök az alapfelületen. Ez biztosítja, hogy az ábrázolás nem szenved szögtorzulást azaz szögtartó.
• A pólustól egyenlő távolságban lévő alapfelületi pontok képei egyenlő távolságra fekszenek a vetületi kezdőpont képétől.
• A földrajzi fokhálózat vonalai merőlegesen metszik egymást, ahogy a Földön a hosszúsági és szélességi körök.

A síkvetületek az vetítési alap felület (a Föld) és a kép felület (a térkép) egymáshoz viszonyított helyzete szerint lehet

• Poláris síkvetület
• Transzverzális síkvetület
• Meridionális síkvetület

Gyakran használt esetei:

• A sztereografikus vetület. Ez valódi, perspektív síkvetület. A vetítési központ a vetületi kezdőpontnak ellenlábas pontja. általában szívesen alkalmazták csillagászati térképekhez.
• A gnomonikus vetület vagy (gömbközépponti vetület). A gnomikus vetületet már a VI. században Thalész is ismerte. A vetítési középpont a gömb középpontjában van.

Kúpvetületek

Kúpvetület

A valódi kúpvetületek képfelülete a gömböt érintő, metsző vagy a gömb felett lebegő kúppalást.

Jellemző tulajdonságaik a következők:

• A hosszúsági körök képei egyenes vonalak, amelyek egy pontban metszik egymást. Ez a pont azonban nem mindig a pólus képe
• A hosszúsági körök (meridiánok) képei a térképen (képfelületen) mindig kisebb szöget zárnak be egymással, mint az alapfelületen, azaz a kúpvetületek nem szögtartó vetületek
• A szélességi körök (paralelkörök) a térképen koncentrikus körívek
• A hosszúsági körök és szélességi körök képei derékszögben metszik egymást
• A torzulások a szélességi körök mentén egyenlő értékűek

A legelterjedtebben használt kúpvetületek:

• Lambert-féle területtartó kúpvetület
• Lambert-Gauss-féle szögtartó kúpvetület
• ekvidisztáns kúpvetület
• polikónikus vetületek

Hengervetületek

Hengervetület (ferdetengelyű Mercator vetület)

Nagyon gyakran használ vetület fajta. Esetében a gömbnek hengerre történő vetítésénél a henger az egyenlítő mentén vagy valamely más gömbi főkör mentén érinti, metszi a gömböt, vagy lebeg a gömb felett.

A valódi hengervetületeket négy dolog jellemzi:

• a hosszúsági körök a (meridiánok) képei egymással párhuzamos egyenes vonalak
• a szélességi körök a (paralelkörök) képei ugyancsak egymással párhuzamos egyenes vonalak
• a hosszúsági és szélességi körök képei derékszögben metszik egymást
• érintő hengernél az egyenlítő (vagy az érintési legnagyobb gömbi kör), metsző hengernél a két metsző kör hossztartó

Ezt a hengervetületet a geodézia is szívesen alkalmazza közvetlen felmérés alapján készített nagy méretarányú térképek vetületéül. Ilyen célra azonban ferde, (transzverzális) elhelyezkedésben szerkesztik. Fenti tulajdonságuk az ami lehetővé teszi, hogy transzformáiók alakalmazása nélkül közvetlenül felhasználhatók a pozíciós térképeknél. Magyarországon az állami földmérés 1908-ban vezette be az ország térképezéséhez a ferdetengelyű szögtartó hengervetületet,

Legismertebb fajtái:

• Mercator-vetület
• Transzverzális Mercator-vetület
• Ferdetengelyű szögtartó hengervetület (Oblique Mercator-vetület)
• Területtartó hengervetület
• Ekvidisztáns hengervetület

Tulajdonság megtartás szerint

Másik nem kevésbé fontos felosztási szempontja a térképeknek az adott vetület által a leképezés során megörzött tulajdonság szerinti csoportosítás.

Ilyen tulajdonság lehet:

• iránytartó vetület
• szögtartó vetület
• területtartó vetület
• távolság megörző ekvidisztans vetület
• két pont közötti legrövidebb utat megörző gnomonikus vetület

Fontos tudni, hogy a gömb geometriája miatt bizonyítottan lehetetlen olyan vetületet létrehozni amelyik egyidőben szögtartó és területtartó

Források

• Belényesi Márta – Kristóf Dániel – Magyari Julianna: TÉRINFORMATIKA ELMÉLETI JEGYZET (Egyetemi jegyzet); SZENT ISTVÁN EGYETEM GÖDÖLLŐ, 2008
• Wolfram demonstration projekt
• Wolfram Mathworld