Valószínűségi tömegfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűség-számítás elméletében és a statisztikában a valószínűség tömegfüggvény annak a valószínűségét adja meg, hogy valamely diszkrét valószínűségi változó egy pontosan határozott értéket vesz fel.[1] A valószínűség tömegfüggvény gyakran a diszkrét valószínűség-eloszlás meghatározásának az elsődleges módszere.

A valószínűség tömegfüggvény abban különbözik a sűrűségfüggvénytől, hogy ez utóbbi inkább folytonos eloszlások jellemzője, mint a diszkrét eloszlásoké.

Tömegfüggvény: minden érték nemnegatív és összegük=1

Formális meghatározás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Dobókocka tömegfüggvénye

Az ábrán egy dobókocka valószínűség tömegfüggvénye látható. Minden számnak egyenlő esélye van, és határozott értéke van.

Tegyük fel, hogy X: SA (A \subseteq R) egy diszkrét valószínűségi változó, mely az S mintatérben van. Ekkor a valószínűség tömegfüggvény fX: A → [0, 1] ahol X:[2][3]

f_X(x) = \Pr(X = x) = \Pr(\{s \in S: X(s) = x\}).

Jegyezzük meg: fX valós szám, fX(x) = 0 minden x \notin X(S)-re. Lényegében hasonló meghatározás érvényes a diszkrét valószínűségi vektorokra is: X: SAn, ahol a skalár értékeket vektorra cseréljük. A teljes valószínűség minden X-re 1-gyel egyenlő.

\sum_{x\in A} f_X(x) = 1

Mivel a X ábrázolása megszámlálható mennyiség, a valószínűség tömegfüggvény fX(x) mindenhol zéró , kivéve az x megszámlálható értékeire. A valószínűség tömegfüggvény diszkontinuitása azért van, mert egy diszkrét valószínűségi változó kumulatív eloszlásfüggvénye is diszkontinuit, azaz nem folytonos. Ahol differenciálható, a deriváltja zéró, pont úgy, ahogy a valószínűség tömegfüggvény is zéró minden ilyen ponton.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tegyük fel, hogy egy érem minden dobásnál egy S térben van, és X a valószínűségi változó, mely 0, ha ’írás’, és 1, ha ’fej’. Mivel az érem szabályos, a valószínűség tömegfüggvény:

f_X(x) = \begin{cases}\frac{1}{2}, &x \in \{0, 1\},\\0, &x \notin \{0, 1\}.\end{cases}

Ez a binomiális eloszlás egy speciális esete.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A: Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). (hely nélkül): Wiley. 1993. ISBN 0471548979  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]