Valós számok

A racionális számok és az irracionális számok együtt alkotják a valós számok halmazát. A valós számok halmaza és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A valós számok halmaza végtelen, hisz tartalmazza a szintén végtelen számú természetes, egész és tört számokat, tehát összességében a racionális számok halmazát, valamint az irracionális számok halmazát. Nincs olyan szám, amely egyszerre racionális és irracionális lenne, és a két halmaz elemein kívül más nem tartozik a valós számokhoz.

A számhalmaz létrehozásában alapvető volt a görögök felfedezése, miszerint kettőnek a négyzetgyöke (a négyzetátló hosszának mérőszáma) nem racionális szám, bár pontos, matematikaliag kielégítő definícióra a 19. századig kellett várni.

A valós számok halmazának matematikai jele $\mathbb{R}$ (a latin realis szóból, ami valósat, valóságosat jelent).

Valós számok bevezetése

Axiomatikus megközelítés

A valós számok egy modelljének nevezzük azt az R halmazt, amely tartalmaz két elemet (0 és 1), értelmezünk rajta két bináris operátort (+ és *, összeadás és szorzás) és egy bináris relációt (≤), valamint ezek kielégítik a következő tulajdonságokat:

1. $(\mathbb{R}, +, \cdot)$ testet alkot, azaz $\forall x, y, z \in \mathbb{R}$:
   • Asszociativitás: $x + (y + z) = (x + y) + z$ és $x\cdot(y\cdot z) = (x\cdot y)\cdot z$
   • Kommutativitás: $x + y = y + x$ és $x\cdot y = y\cdot x$
   • A szorzás disztributív az összeadásra nézve: $x\cdot(y + z) = (x\cdot y) + (x\cdot z)$
   • Additiv semleges elem, a nullelem létezése: $x + 0 = x$
   • Multiplikatív semleges elem, az egységelem létezése: $x\cdot 1 = x$
   • Additív inverz létezése: $x + (-x) = 0$
   • Multiplikatív inverz létezése: ha $x \neq 0$, akkor $x\cdot x^{-1} = 1$
   • $0 \neq 1$
2. R-en teljes rendezés ≤, azaz minden $\forall x, y, z \in \mathbb{R}$:
   • Reflexivitás: x ≤ x
   • Antiszimmetria: ha x ≤ y és y ≤ x, akkor x = y
   • Tranzitivitás: ha x ≤ y és y ≤ z, akkor x ≤ z
   • Teljesség: x ≤ y vagy y ≤ x
3. Az összeadás és a szorzás kompatibilis a rendezéssel, azaz minden x, y, z-re az R-ből:
   • Ha x ≤ y, akkor x + z ≤ y + z
   • Ha 0 ≤ x és 0 ≤ y, akkor 0 ≤ x*y
4. Minden nem üres részhalmazának ha van felső korlátja R-ben, akkor van legkisebb felső korlátja (szuprémuma) is R-ben.

Az utolsó tulajdonság fontos, mivel az különbözteti meg például a racionális számok halmazától, mivel az a halmaz, amelynek az elemeinek négyzete kisebb kettőnél, rendelkezik racionális felső korláttal (2 például ilyen), de a legkisebb felső korlátja (a gyök kettő) nem eleme a halmaznak.

A valós számok egy ekvivalens axiómarendszere a ha van felső korlát, akkor szuprémum is van helyett az arkhimédeszi axiómát és a Cantor-axiómát választja. Ezzel egyes tételek bizonyítása könnyebb:

1. Arkhimédeszi axióma: minden valós számhoz van nála nagyobb valós szám
2. Cantor-axióma: egymásba skatulyázott zárt intervallumoknak van közös pontja.

Ezekkel a tulajdonságokkal kimutatható, hogy bármely két modell ami ezeket kielégíti, izomorf.

Az axiómarendszerek közvetlen következményei

• A két axiómarendszer ekvivalenciája
• Alulról korlátos halmaznak van infimuma, azaz legnagyobb alsó korlátja
• Ha egy sorozat monoton nő és felülről korlátos, akkor konvergens. Hasonlóan, egy alulról korlátos monoton csökkenő sorozat is konvergens. A kettőt összetéve kapjuk, hogy ha egy monoton sorozat korlátos, akkor konvergens
• konvergens sorozat határértéke egyértelmű

Források

• George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano: Thomas-féle Kalkulus I. kötet ISBN 978-963-279-011-4
• Császár Ákos: Valós analízis I.