Tridiagonális mátrix

A matematika lineáris algebra nevű ágában tridiagonális mátrix a neve az olyan mátrixnak, amelyben csak a főátlón és a mellette található két átló mentén vannak nullától különböző elemek.

Például, a következő mátrix tridiagonális:

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix}.$

Tulajdonságok

A tridiagonális mátrix voltaképpen egy felső és alsó Hessenberg mátrix.

Determináns

Egy n dimenziós T mátrix determinánsát

$f_n = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & a_2 & b_2 \\ & c_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ & & & c_{n-1} & a_n \end{vmatrix}$

a következő rekurzív képlet segítségével lehet kiszámítani:

$f_n = a_n f_{n-1} - c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2}$

ahol f₀ = 1 és f_-1 = 0.

Inverz

Egy adott T, nem szinguláris mátrix

$T = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & a_2 & b_2 \\ & c_2 & \ddots & \ddots \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ & & & c_{n-1} & a_n \end{pmatrix}$

inverzét a következő képpen lehet kiszámolni:

$(T^{-1})_{ij} = \begin{cases} (-1)^{i+j}b_i \cdots b_{j-1} \theta_{i-1} \phi_{j+1}/\theta_n & \text{ ha } i \leq j\\ (-1)^{i+j}c_j \cdots c_{i-1} \theta_{j-1} \phi_{i+1}/\theta_n & \text{ ha } i > j\\ \end{cases}$

ahol θ_i teljesíti az alábbi rekurzív feltételt:

$\theta_i = a_i \theta_{i-1} - b_{i-1}c_{i-1}\theta_{i-2} \quad \text{ , } i=2,3,\ldots,n$

θ₀ = 1, θ₁ = a₁ kezdőállapottal. ϕ_i pedig teljesíti a

$\phi_i = a_i \phi_{i+1} - b_i c_i \phi_{i+2} \quad \text{ , } i=n-1,\ldots,1$

feltételt ϕ_n+1 = 1 és ϕ_n = a_n kezdőállapottal.