Tridiagonális mátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematika lineáris algebra nevű ágában tridiagonális mátrix a neve az olyan négyzetes mátrixnak, amelyben csak a főátlón és a mellette található két átló mentén vannak nullától különböző elemek.

Például, a következő mátrix tridiagonális:

\begin{pmatrix}
1 & 4 & 0 & 0 \\
3 & 4 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tridiagonális mátrix voltaképpen egy felső és alsó Hessenberg mátrix.[1]

Determináns[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy n dimenziós tridiagonális T mátrix determinánsát

f_n = \begin{vmatrix}
a_1 & b_1 \\
c_1 & a_2 & b_2 \\
& c_2 & \ddots & \ddots \\
& & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\
& & & c_{n-1} & a_n
\end{vmatrix}

a következő rekurzív képlet segítségével lehet kiszámítani:

f_n = a_n f_{n-1} - c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2}

ahol f0 = 1 és f-1 = 0.

Inverz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy adott T, nem szinguláris tridiagonális mátrix

T = \begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
c_1 & a_2 & b_2 \\
& c_2 & \ddots & \ddots \\
& & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\
& & & c_{n-1} & a_n
\end{pmatrix}

inverzét a következőképpen lehet kiszámolni:

(T^{-1})_{ij} = \begin{cases}
(-1)^{i+j}b_i \cdots b_{j-1} \theta_{i-1} \phi_{j+1}/\theta_n & \text{ ha } i \leq j\\
(-1)^{i+j}c_j \cdots c_{i-1} \theta_{j-1} \phi_{i+1}/\theta_n & \text{ ha } i > j\\
\end{cases}

ahol θi teljesíti az alábbi rekurzív feltételt:

\theta_i = a_i \theta_{i-1} - b_{i-1}c_{i-1}\theta_{i-2} \quad \text{ , } i=2,3,\ldots,n

θ0 = 1, θ1 = a1 kezdőállapottal. ϕi pedig teljesíti a

\phi_i = a_i \phi_{i+1} - b_i c_i \phi_{i+2} \quad \text{ , } i=n-1,\ldots,1

feltételt ϕn+1 = 1 és ϕn = an kezdőállapottal.[2][3]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Matrix Analysis. Cambridge University Press (1985). ISBN 0521386322 
  2. doi:10.1016/j.cam.2005.08.047
    This citation will be automatically completed in the next few minutes. You can jump the queue or expand by hand
  3. doi:10.1016/0024-3795(94)90414-6
    This citation will be automatically completed in the next few minutes. You can jump the queue or expand by hand