Theorema egregium

A Theorema Egregium (magyarul: „Nevezetes Tétel”) a differenciálgeometria fontos tétele, amely kimondja, hogy egy felület Gauss-görbülete csak a felület első alapmennyiségeitől függ. Más szavakkal: a felület Gauss-görbületét meghatározza a felület metrikája (azaz, hogy a felületen hogyan mérünk szöget illetve távolságot), és ez független a felület térbeli alakjától (amit a második alapmennyiségek írnak le). Ez messze nem nyilvánvaló, hiszen a felület főnormálgörbületei függenek a második alapmennyiségektől. Mivel az első alapmennyiségek izometriával szemben invariánsak, ezért a tétel értelmében a Gauss-görbület is.

Bizonyítás

A Theorema Egregiumot először Carl Friedrich Gauss bizonyította. Az alább közölt bizonyítás Szőkefalvi-Nagy Gyula könyvében található. Legyen a felület paraméterezése $\mathbf r(u,v)$. Ekkor a szokásos jelölésekkel a felület Gauss-görbülete:

$\mathcal K=\frac{ln-m^2}{EG-F^2}$

.

Ezek szerint elég lenne belátnunk, hogy az $ln-m^2$ mennyiség kifejezhető az $E, F, G$ függvényekkel és azok parciális deriváltjaival.

A Gauss-féle egyenletek szerint:

$\mathbf r''_{uu}=\Gamma^1_{11}\mathbf r'_u+\Gamma^2_{11}\mathbf r'_v+l\mathbf N$

$~$

$\mathbf r''_{uv}=\mathbf r''_{vu}=\Gamma^1_{12}\mathbf r'_u+\Gamma^2_{12}\mathbf r'_v+m\mathbf N$

$~$

$\mathbf r''_{vv}=\Gamma^1_{22}\mathbf r'_u+\Gamma^2_{22}\mathbf r'_v+n\mathbf N,$

ahol a $\Gamma^i_{jk}$ együtthatók a Christoffel-szimbólumok, $\mathbf N$ pedig a felület normálvektora.

Ebből

$\mathbf r''_{uu}\mathbf r''_{vv}-(\mathbf r''_{uv})^2=ln-m^2+\mathcal R_1,$

ahol $\mathcal R_1$ csak az első alapmennyiségektől és azok parciális deriváltjaitól függ, hiszen a Christoffel-szimbólumok is csak ezektől függenek. Most fejezzük ki az $\mathbf r''_{uu}\mathbf r''_{vv}-(\mathbf r''_{uv})^2$ mennyiséget $E, F, G$ parciális deriváltjaival. Az első alapmennyiségeket definiáló egyenleteket deriválva kapjuk:

$E''_{vv}=2\mathbf r'''_{uvv}\mathbf r'_u+2(\mathbf r''_{uv})^2$

$~$

$F''_{uv}=\mathbf r'''_{uuv}\mathbf r'_v+\mathbf r''_{uu}\mathbf r''_{vv}+\mathbf r'_u\mathbf r'''_{uvv}+(\mathbf r''_{uv})^2$

$~$

$G''_{uu}=2\mathbf r'''_{uuv}\mathbf r'_v+2(\mathbf r''_{uv})^2$

Ebből

$\mathbf r''_{uu}\mathbf r_{vv}-(\mathbf r_{uv})^2=F''_{uv}-\frac12(E''_{vv}-G''_{uu})=:\mathcal R_2$

Ezt összevetve az előbbi eredményünkkel, kapjuk, hogy

$ln-m^2=\mathcal R_2-\mathcal R_1$

Mivel $\mathcal R_1$ és $\mathcal R_2$ csak az első alapmennyiségektől és azok parciális deriváltjaitól függ, ezért $ln-m^2$ is. Ezt akartuk belátni.

Egyszerű alkalmazások

Egy R sugarú gömbfelület és egy sík Gauss-görbülete is állandó, $R^{-2}$ illetve $0$. Így a tétel szerint a két felület nem képezhető izometrikusan (torzításmentesen) egymásra. Ennek nyilvánvaló a térképészeti jelentősége: nem lehet torzításmentes térképet készíteni.

Hivatkozás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Theorema Egregium című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. A fordítás eredetijének szerzőit az eredeti cikk laptörténete sorolja fel.

Forrás

Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria, ISBN 963-10-2925-5