Theorema egregium

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Theorema Egregium (magyarul: „Nevezetes Tétel”) a differenciálgeometria fontos tétele, amely kimondja, hogy egy felület Gauss-görbülete csak a felület első alapmennyiségeitől függ. Más szavakkal: a felület Gauss-görbületét meghatározza a felület metrikája (azaz, hogy a felületen hogyan mérünk szöget illetve távolságot), és ez független a felület térbeli alakjától (amit a második alapmennyiségek írnak le). Ez messze nem nyilvánvaló, hiszen a felület főnormálgörbületei függenek a második alapmennyiségektől. Mivel az első alapmennyiségek izometriával szemben invariánsak, ezért a tétel értelmében a Gauss-görbület is.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Theorema Egregiumot először Carl Friedrich Gauss bizonyította. Az alább közölt bizonyítás Szőkefalvi-Nagy Gyula könyvében található. Legyen a felület paraméterezése \mathbf r(u,v). Ekkor a szokásos jelölésekkel a felület Gauss-görbülete:

\mathcal K=\frac{ln-m^2}{EG-F^2}

.

Ezek szerint elég lenne belátnunk, hogy az ln-m^2 mennyiség kifejezhető az E, F, G függvényekkel és azok parciális deriváltjaival.

A Gauss-féle egyenletek szerint:

\mathbf r''_{uu}=\Gamma^1_{11}\mathbf r'_u+\Gamma^2_{11}\mathbf r'_v+l\mathbf N

~

\mathbf r''_{uv}=\mathbf r''_{vu}=\Gamma^1_{12}\mathbf r'_u+\Gamma^2_{12}\mathbf r'_v+m\mathbf N

~

\mathbf r''_{vv}=\Gamma^1_{22}\mathbf r'_u+\Gamma^2_{22}\mathbf r'_v+n\mathbf N,

ahol a \Gamma^i_{jk} együtthatók a Christoffel-szimbólumok, \mathbf N pedig a felület normálvektora.

Ebből

\mathbf r''_{uu}\mathbf r''_{vv}-(\mathbf r''_{uv})^2=ln-m^2+\mathcal R_1,

ahol \mathcal R_1 csak az első alapmennyiségektől és azok parciális deriváltjaitól függ, hiszen a Christoffel-szimbólumok is csak ezektől függenek. Most fejezzük ki az \mathbf r''_{uu}\mathbf r''_{vv}-(\mathbf r''_{uv})^2 mennyiséget E, F, G parciális deriváltjaival. Az első alapmennyiségeket definiáló egyenleteket deriválva kapjuk:

E''_{vv}=2\mathbf r'''_{uvv}\mathbf r'_u+2(\mathbf r''_{uv})^2

~

F''_{uv}=\mathbf r'''_{uuv}\mathbf r'_v+\mathbf r''_{uu}\mathbf r''_{vv}+\mathbf r'_u\mathbf r'''_{uvv}+(\mathbf r''_{uv})^2

~

G''_{uu}=2\mathbf r'''_{uuv}\mathbf r'_v+2(\mathbf r''_{uv})^2

Ebből

\mathbf r''_{uu}\mathbf r_{vv}-(\mathbf r_{uv})^2=F''_{uv}-\frac12(E''_{vv}-G''_{uu})=:\mathcal R_2

Ezt összevetve az előbbi eredményünkkel, kapjuk, hogy

ln-m^2=\mathcal R_2-\mathcal R_1

Mivel \mathcal R_1 és \mathcal R_2 csak az első alapmennyiségektől és azok parciális deriváltjaitól függ, ezért ln-m^2 is. Ezt akartuk belátni.

Egyszerű alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy R sugarú gömbfelület és egy sík Gauss-görbülete is állandó, R^{-2} illetve 0. Így a tétel szerint a két felület nem képezhető izometrikusan (torzításmentesen) egymásra. Ennek nyilvánvaló a térképészeti jelentősége: nem lehet torzításmentes térképet készíteni.

Hivatkozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Theorema Egregium című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria, ISBN 963-10-2925-5