Teichmüller–Tukey-lemma

A Teichmüller–Tukey-lemma a halmazelmélet egyik tétele, ami azt állítja, hogy ha T véges jellegű tulajdonság, akkor tetszőleges halmaz T tulajdonságú halmazai között van maximális. Itt véges jellegű tulajdonságon azt értjük, hogy az adott tulajdonság akkor és csak akkor teljesül egy halmazra, ha annak minden véges részhalmazára teljesül.

Lemma

Legyen $H$ egy tetszőleges halmaz valamely részhalmazaiból álló halmazrendszer, amire teljesül, hogy $A\in H$ pontosan akkor, ha $A$ minden véges részhalmaza eleme $H$-nak. Ekkor minden $A\in H$ esetén van maximális $A\subseteq B\in H$ elem.

Bizonyítás

Az állítást a Zorn-lemma felhasználásával fogjuk bizonyítani. Vegyük a $(P,\subseteq)$ részbenrendezett halmazt, ahol $P$ az $A$-t (részhalmazként) tartalmazó $H$-beli halmazokból áll. Ez nemüres, mert például $A$ eleme. Azt kell belátnunk, hogy minden $P$-beli $L$ láncnak van felső korlátja. Legyen tehát $L$ lánc. Vegyük az összes $L$-beli halmaz $K$ egyesítését. Elég belátnunk, hogy $K\in H$, hiszen nyilvánvalóan tartalmazza $L$ minden elemét. $H$ végességi tulajdonsága miatt elég látni, hogy $K$ minden véges része $H$-beli. Legyen tehát $\{x_1,\dots,x_n\}\subseteq K$. $K$ definíciója miatt vannak $A_1,\dots,A_n$ $L$-beli halmazok, hogy $x_1\in A_1,\dots,x_n\in A_n$. Mivel $L$ lánc, ezek valamelyike, mondjuk $A_n$ tartalmazza a többit. De ekkor $\{x_1,\dots,x_n\}\subseteq A_n$, azaz véges részhalmaza egy $H$-beli halmaznak, tehát $H$ végességi tulajdonsága miatt maga is $H$-beli.

Alkalmazásai

A Teichmüller–Tukey-lemmát akkor a legcélszerűbb alkalmazni, amikor egy könnyen láthatóan véges jellegű tulajdonságot vizsgálunk. Így azonnal kapjuk, hogy minden vektortérben van bázis (maximális független vektorhalmaz), minden gráfnak van feszítő erdője, minden testben van transzcendencia-bázis (maximális algebrailag független részhalmaz), illetve hasonló egyszerű következményként adódik a Hausdorff–Birkhoff-tétel is.

Ekvivalens állítások

A Teichmüller–Tukey-lemma ekvivalens a következő állításokkal:

• kiválasztási axióma
• Zorn-lemma
• Hausdorff–Birkhoff-tétel
• jólrendezési tétel
• Tyihonov-tétel

Története

Ezt a tételt először Teichmüller publikálta.

Hivatkozások

• Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Tankönyvkiadó, 1983.
• Rédei, László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
• Teichmüller, O.: Braucht der Algebraiker das Auswahlaxiom?, Deutsche Math. 4. 1939
• Tukey, J. W.: Convergence and uniformity in topology, Annals of Math. Studies, 1940