Teichmüller–Tukey-lemma

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Teichmüller–Tukey-lemma a halmazelmélet egyik tétele, ami azt állítja, hogy ha T véges jellegű tulajdonság, akkor tetszőleges halmaz T tulajdonságú halmazai között van maximális. Itt véges jellegű tulajdonságon azt értjük, hogy az adott tulajdonság akkor és csak akkor teljesül egy halmazra, ha annak minden véges részhalmazára teljesül.

Lemma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen H egy tetszőleges halmaz valamely részhalmazaiból álló halmazrendszer, amire teljesül, hogy A\in H pontosan akkor, ha A minden véges részhalmaza eleme H-nak. Ekkor minden A\in H esetén van maximális A\subseteq B\in H elem.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az állítást a Zorn-lemma felhasználásával fogjuk bizonyítani. Vegyük a (P,\subseteq) részbenrendezett halmazt, ahol P az A-t (részhalmazként) tartalmazó H-beli halmazokból áll. Ez nemüres, mert például A eleme. Azt kell belátnunk, hogy minden P-beli L láncnak van felső korlátja. Legyen tehát L lánc. Vegyük az összes L-beli halmaz K egyesítését. Elég belátnunk, hogy K\in H, hiszen nyilvánvalóan tartalmazza L minden elemét. H végességi tulajdonsága miatt elég látni, hogy K minden véges része H-beli. Legyen tehát \{x_1,\dots,x_n\}\subseteq K. K definíciója miatt vannak A_1,\dots,A_n L-beli halmazok, hogy x_1\in A_1,\dots,x_n\in A_n. Mivel L lánc, ezek valamelyike, mondjuk A_n tartalmazza a többit. De ekkor \{x_1,\dots,x_n\}\subseteq A_n, azaz véges részhalmaza egy H-beli halmaznak, tehát H végességi tulajdonsága miatt maga is H-beli.

Alkalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Teichmüller–Tukey-lemmát akkor a legcélszerűbb alkalmazni, amikor egy könnyen láthatóan véges jellegű tulajdonságot vizsgálunk. Így azonnal kapjuk, hogy minden vektortérben van bázis (maximális független vektorhalmaz), minden gráfnak van feszítő erdője, minden testben van transzcendencia-bázis (maximális algebrailag független részhalmaz), illetve hasonló egyszerű következményként adódik a Hausdorff–Birkhoff-tétel is.

Ekvivalens állítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Teichmüller–Tukey-lemma ekvivalens a következő állításokkal:

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ezt a tételt először Teichmüller publikálta.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Tankönyvkiadó, 1983.
  • Rédei, László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
  • Teichmüller, O.: Braucht der Algebraiker das Auswahlaxiom?, Deutsche Math. 4. 1939
  • Tukey, J. W.: Convergence and uniformity in topology, Annals of Math. Studies, 1940