Racionális szám

A matematikában racionális számnak (hányados- vagy vegyes-törtszámnak) nevezzük két tetszőleges egész szám hányadosát, amelyet többnyire az a/b alakban írunk fel, ahol b nem nulla.

Egy racionális számot végtelen sok alakban felírhatunk, például $\frac{3}{6} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . A legegyszerűbb, azaz tovább nem egyszerűsíthető alak akkor áll elő, amikor a és b relatív prím. Minden racionális számnak pontosan egy olyan tovább nem egyszerűsíthető alakja van, ahol a nevező pozitív.

A racionális számok tizedestört alakja véges vagy végtelen szakaszos (tehát a felírásban egy ponton túl a számsorozat periodikusan ismétlődik). Ez az állítás nem csak a tízes-, hanem tetszőleges, egynél nagyobb, egész alapú számrendszerben való felírásra igaz. A tétel fordítottja is igaz: ha egy szám felírható véges vagy végtelen szakaszos tizedestört alakban, akkor az racionális szám.

Azokat a valós számokat, amelyek nem racionálisak, irracionális számoknak nevezzük.

A racionális számok halmazát tipográfiailag kiemelt Q (vagy $\mathbb{Q}$ ) betűvel jelöljük (a latin quotiens (hányszor?), illetve az angol quotient (hányados) szóból). Halmazdefinícióként felírva:

$\mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0 \right\}$

Aritmetika [szerkesztés]

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

Két racionális szám, $\frac{a}{b}$ és $\frac{c}{d}$ egyenlők akkor és csak akkor, ha $ad = bc$

A racionális számoknak létezik additív és multiplikatív inverze:

$- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}$

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \mbox{ ha } a \neq 0$

Történetük [szerkesztés]

Egyiptomi törtek [szerkesztés]

Minden pozitív racionális szám felírható véges sok egész reciprokának összegeként. Például:

$\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21} = \frac{1}{2} + \frac{1}{7} + \frac{1}{14}$

Sőt, minden pozitív racionális számnak végtelen sok ilyen formájú, különböző felírása lehetséges. Ezt az alakot egyiptomi törtnek is nevezzük, mivel már az ókori Egyiptomban is használták, akik egyébként a diadikus törteket is a maitól eltérő alakban írták le.

Formális definíció [szerkesztés]

A racionális számok precízen egész számok rendezett párjaként definiálhatók: $\left(a, b\right)$ ahol b nem nulla. Az összeadást és szorzást ezeken a párokon a következőképp definiáljuk:

$\left(a, b\right) + \left(c, d\right) = \left(ad + bc, bd\right)$

$\left(a, b\right) \times \left(c, d\right) = \left(ac, bd\right)$

Annak érdekében, hogy teljesüljön az elvárt $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ tulajdonság, definiálni kell egy ekvivalenciarelációt is ( $\sim$ ) a következőképpen:

$\left(a, b\right) \sim \left(c, d\right) \Leftrightarrow ad = bc$

Ez az ekvivalenciareláció kompatibilis a fent definiált összeadással és szorzással. Legyen ezután Q az ekvivalenciaosztályok halmaza, más szóval azonosnak tekintjük az (a, b) és a (c, d) párt, ha ekvivalensek. (Ez a konstrukció elvégezhető minden integritási tartomány esetében, lásd hányadostest.)

Az így kapott számok halmazán a teljes rendezés is definiálható:

$\left(a, b\right) \le \left(c, d\right) \Leftrightarrow (bd>0 \wedge ad \le bc) \vee (bd<0 \wedge ad \ge bc)$

Tulajdonságok [szerkesztés]

A racionális számok halmaza ( $\mathbb{Q}$ ), az összeadás és a szorzás műveletével kiegészítve testet alkotnak. Ez a test az egész számok ( $\mathbb{Z}$ ) hányadosteste.

A racionális számok halmaza a legszűkebb 0 karakterisztikájú test. Minden egyéb 0 karakterisztikájú test tartalmazza a racionális számok egy izomorf képét.

A racionális számok algebrai lezártja (azaz a racionális együtthatós polinomok gyökeit is tartalmazó legszűkebb test) az algebrai számok halmaza.

A racionális számok halmaza megszámlálható, vagyis sorozatba rendezhető. Mivel a valós számok számossága ennél nagyobb, így mondhatjuk, hogy a valós számok túlnyomó többsége irracionális.

A racionális számok halmazának Lebesgue-mértéke nulla.

A racionális számok sűrűn rendezett halmazt alkotnak: bármely két racionális szám között van egy harmadik, (és így végtelen sok). A rendezett halmazok között pontosan a racionális számok halmaza (meg a vele izomorfak) azok, amelyek megszámlálhatóak, sűrűn rendezettek és nincs legkisebb vagy legnagyobb elemük (Georg Cantor tétele).

Valós számok [szerkesztés]

A racionális számok a valós számok halmazának sűrű részhalmazát alkotják, azaz minden valós számhoz tetszőlegesen közel vannak racionális számok. Ugyancsak igaz, hogy a racionális számok pontosan a véges lánctört formájában írható valós számok.

Mivel rendezett halmazt alkotnak, a racionális számokat elláthatjuk a rendezéstopológiával. Ez azonos a valós számok rendezéstopológiájának altértopológiájával, továbbá egyben metrikus tér is, a következő metrikával: $d\left(x, y\right) = |x - y|$ .

E topologikus tér a műveletekkel topologikus testet alkot. A racionális számok topológiája nem lokálisan kompakt. Ez a tér úgy is jellemezhető, hogy az egyetlen megszámlálható metrikus tér, amiben nincsenek izolált pontok. A tér továbbá teljesen széteső. A racionális számok tere nem teljes, teljes lezártja a valós számok tere.

p-adikus számok [szerkesztés]

A fent említett, a szokásos abszolút értékből definiált metrikán kívül vannak más, nem kevésbé fontos metrikák is, amelyek $\mathbb{Q}$ -t topologikus testté szervezik:

legyen $p$ tetszőleges prímszám, definiáljuk minden nemnulla egész $a$ esetén $\vert a \vert _p = p^{-n}$ -t, ahol $n$ $p$ legnagyobb hatványának kitevője, ami osztja $a$ -t; legyen továbbá $\vert 0 \vert_p = 0$ . Tetszőleges $\frac{a}{b}$ racionális szám esetén legyen $\left|\frac{a}{b}\right|_p = \frac{\vert a \vert _p}{|b|_p}$ .

Ekkor $d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p$ metrikus teret definiál $\mathbb{Q}$ -n. Ez a tér, $\left(\mathbb{Q}, d_p\right)$ nem lesz teljes, teljes burka a p-adikus számok $\mathbb{Q}_p$ teste lesz.