Tömegkiszolgálási modellek

A tömegkiszolgálási, vagy sorbanállási modellek sztochasztikus modellek, amiknek állapota csak a rendszerben fennálló igényektől függ. A születési-halálozási modellek egy fajtája. Bár az állapotot egyetlen szám jellemzi, a rendszer leírásához számos paramétert kell megadni, így a kiszolgáló egységek száma, a rendszer befogadóképessége, a beérkező igények és a kiszolgálás folyamatának a leírása, valamint a kiszolgálás protokollja. Többnyire felteszik, hogy az egyes igények közötti idők azonos eloszlásúak, és hogy függetlenek mind egymástól, mind a kiszolgálási folyamattól.

Jelölésük

A tömegkiszolgálási rendszerek a Kendall-féle jelöléssel így jelölhetők:

A/B/m/k/n/P

ahol:

• A az egymást követő igények között eltelt idő eloszlása: D, ha konstans, M, ha exponenciális, G, ha semmit nem tudunk az eloszlásról
• B a kiszolgálási idő eloszlása: D, ha konstans, M, ha exponenciális, G, ha semmit nem tudunk az eloszlásról
• m a kiszolgáló egységek száma
• k a rendszer befogadóképessége; ez jelzi, hogy legfeljebb hány igény lehet jelen. Alapértelmezett értéke végtelen
• n az igényforrások száma. Alapértelmezett értéke végtelen
• P a kiszolgálási protokoll. Lehet sor, verem, elsőbbségi sor alapú, vagy véletlenszerű.

Példák

A Little-formula szerint a rendszerben levő igények átlagos száma megegyezik az igények intenzitásának és a rendszerben töltött átlagos idő szorzatával.

Az M/M/1 rendszer

Az M/M/1 rendszerben eltöltött idő várható értéke:

$E(T)={\frac {1}{\mu -\lambda }},$

ahol μ a kiszolgálás, λ az igények érkezésének intenzitása, és μ>λ; különben a várakozási sor a végtelenségig nő, és a rendszer összeomlik.

A rendszerben várakozó igények számának várható értéke:

$E(N_{w})={\frac {\lambda ^{2}}{\mu }}{\frac {1}{\mu -\lambda }}$

A rendszerben lévő igények számának várható értéke:

$E(N)={\frac {\lambda }{\mu -\lambda }}$

A várakozással eltöltött idő várható értéke:

$E(T_{w})={\frac {\lambda }{\mu }}{\frac {1}{\mu -\lambda }}$

Források

• Harmati: Sztochasztikus folyamatok