Szupertér

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A szupertér a kvantumtérelméletben a Minkowski-tér további kiterjesztése egy vagy több további dimenzióval, koordinátával. Az új koordináták azonban nem a megszokott valós számok köréből kerülnek ki, mint a négyestér esetén, hanem antikommutáló, ún. Grassmann-szám komponensű spinorok. Ezen a kiterjesztett téren értelmezzük a szuperszimmetriát. A legegyszerűbb szupertér (x,\theta,\bar{\theta}), ahol x a Minkowski-tér, \theta \, és \bar{\theta} Grassmann-spinorok.

Grassmann-spinorok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Grassmann-spinor egy kétkomponensű Dirac-spinor, ahol azonban a komponensek komplex számok helyett antikommutáló Grassmann-számok. A Minkowski-tér vagy négyestér kiterjesztése spinorváltozókkal megőrzi a Lorentz-csoporttal ill. az eltolásokat is belevéve a Poincaré-csoporttal szembeni szimmetriát. A Lorentz-csoport – ami ekvivalens egy SU(2)×SU(2) csoporttal – spinorjainak megfelelően kétféle Grassmann-spinor van, amit a "normál" és "konjugált" (helyesen adjungált) spinorok helyett ezek lineáris kombinációinak, a \theta_a \, "balkezes" és a \bar{\theta}_\dot{a} "jobbkezes" spinoroknak szokás választani. A négyesskalárok két pontozatlan vagy két pontozott spinor indexösszeejtésével ("konvolúciójával") képezhetjük. A szokásos rövidített jelölést is megadva:

\theta^2 \equiv \theta^a\theta_a , \quad \bar{\theta}^2 \equiv \bar{\theta}_\dot{a}\bar{\theta}^\dot{a}

ahol számít, hogy az első vagy a második index van lent, mert egy csere a két komponens felcserélését jelenti, ami, mivel antikommutáló számokról van szó, előjelváltást jelent, azaz:

\theta^a\theta_a = -\theta_a\theta^a \,

Az index lehúzás és felhúzás a Levi-Civita-szimbólummal végezhető:

\theta_a = \epsilon_{ab}\theta^b , \quad \bar{\theta}_\dot{a} = \epsilon_{\dot{a}\dot{b}}\bar{\theta}^\dot{b}

A négyesspinorok általános tuljadonságainak megfelelően a \theta_a \bar{\theta}_\dot{a} szorzat úgy transzformálódik, mint egy Lorentz-vektor.

Szupereltolás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az (x,\theta,\bar{\theta}) szupertérben a szupertranszformációt a következőképpen vezethetjük be:

\theta \rightarrow \theta + \epsilon, \quad \bar{\theta} \rightarrow \bar{\theta} + \bar{\epsilon}
x_{\alpha\dot{\beta}} \rightarrow x_{\alpha\dot{\beta}} +2i\epsilon_\alpha\bar{\theta}_{\dot{\beta}} -2i\theta_\alpha\bar{\epsilon}_{\dot{\beta}}

Ez a négyestérbeli eltolásokat általánosítja a szupertérre.

Királis és antikirális szupertér[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szuperteret lehetséges úgy parametrizálni, hogy explicit módon ne tartalmazza \bar{\theta}-t – (x_L,\theta) \, királis szupertér – vagy \theta \,-t – (x_R,\bar{\theta}) antikirális szupertér, ahol:

(x_L)_{a\dot{a}} = x_{a\dot{a}} - 2i\theta_a\bar{\theta_\dot{a}}
(x_R)_{a\dot{a}} = x_{a\dot{a}} + 2i\theta_a\bar{\theta_\dot{a}}

Ezekkel a definíciókkal a szupertranszformáció a megfelelő szupertéren belül marad, azaz:

\theta \rightarrow \theta + \epsilon \,
\bar{\theta} \rightarrow \bar{\theta} + \bar{\epsilon}

esetén:

(x_L)_{a\dot{b}} \rightarrow x_{a\dot{b}} - 4i\theta_a\bar{\epsilon_\dot{b}}
(x_R)_{a\dot{b}} \rightarrow x_{a\dot{b}} + 4i\epsilon_a\bar{\theta_\dot{b}}

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]