Szorzatszabály

A matematikában a szorzatszabály alkalmazásával két, vagy több függvény szorzatának a deriváltját lehet kiszámítani.

Egy lehetséges jelöléssel:

$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g' \,\!$

vagy a Leibniz-féle jelöléssel:

$\dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u\cdot \dfrac{dv}{dx}+v\cdot \dfrac{du}{dx}$.

továbbá:

$d(uv)=u\,dv+v\,du$.

A három függvény szorzatának deriváltja:

$\dfrac{d}{dx}(u\cdot v \cdot w)=\dfrac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \dfrac{dv}{dx} \cdot w + u\cdot v\cdot \dfrac{dw}{dx}$.

Leibniz felfedezése

A szorzatszabály felfedezését Gottfried Leibniznek tulajdonítják, bár Child (2008) szerint Isaac Barrow nevéhez fűződik a felfedezés. Leibnitz érvelése: Legyen u(x) és v(x) x két differenciálható függvénye. Ekkor uv differenciálja:

$\begin{align} y + d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) \\ d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\ & {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv. \end{align}$

Mivel du•dv kifejezések (du-hoz és dv-hez képest) „elhanyagolhatók”, Leibnitz arra a megállapításra jutott, hogy:

$d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,\!$

és ez valóban a szorzatszabály differenciál alakja. Ha végig osztunk dx-szel, kapjuk:

$\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot \frac{dv}{dx} \,\!$

mely ilyen alakba is írható:

$(u\cdot v)' = v\cdot u' + u\cdot v'. \,\!$

Példák

• Tegyük fel, hogy differenciálni akarjuk a ƒ(x) = x² sin(x) függvényt. A szorzatszabályt alkalmazva kapjuk:

ƒ '(x) = 2x sin(x) + x²cos(x) (mivel x² deriváltja: 2x, és sin(x) deriváltja: cos(x)).

• Speciális eset az úgynevezett „konstans szorzási szabály”, mely azt állítja: ha van egy c valós számunk, és egy ƒ(x) differenciálható függvény, akkor cƒ(x) is differenciálható, és a derivált: (c × ƒ)'(x) = c × ƒ '(x). Ez a szorzatszabályból következik, mivel egy konstans deriváltja zéró. Ezt kombinálva a deriváltak szumma-szabályával, mutatja, hogy a differenciálás lineáris.
• A részenkénti integrálás szabálya levezethető a szorzatszabályból, mivel ez a hányadosszabály (annak gyenge változata). Azért „gyenge” változat, mert nem igazolja, hogy a hányados differenciálható, csak azt mondja, egy van egy deriváltja, ha az differenciálható.

Általános hiba

Egy általánosan előforduló hiba, ha feltételezzük, hogy (uv) deriváltja egyenlő (u ′)(v ′).

Kezdetben, Leibnitz maga is elkövette ezt a hibát annak ellenére, hogy világos ellenpéldák léteznek.

Tekintsük ƒ(x) függvényt, melynek deriváltja: ƒ '(x). Ezt úgy is felírhatjuk, hogy ƒ(x) • 1, mivel az 1 neutrális elem a szorzást tekintve.

Ha fenti téves koncepció igaz lenne, akkor (u′)(v′) zérus lenne. Ez azért igaz, mert egy konstans deriváltja mindig zéró, és így a szorzat is zéró lenne.

A szorzat-szabály bizonyítása

Egy precíz bizonyítás adható a deriváltak 'Newton-féle differenciahányados határérték elmélet'ére alapozva.

Ha

$h(x) = f(x)g(x),\,$

és ƒ és g differenciálható egy fix x számnál, akkor

$h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)$

Ekkor a különbség

$f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2)$

azaz a nagy téglalap területe mínusz a kis téglalap területe (a lenti ábra szerint).

Szorzatszabály bizonyítása

A nagy és a kis téglalap közötti terület kettő téglalapra osztható, ennek a területnek a szummája

$f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3)$

mert:

$\Bigg( f(w) - f(x) + f(x) \Bigg)\Bigg( g(w) - g(x) + g(x) \Bigg) - f(x)g(x) =$

$f(w)g(w) - f(w)g(x) + f(w)g(x) - f(x)g(w) + f(x)g(x) - f(x)g(x) + f(x)g(w) - f(x)g(x) + f(x)g(x) - f(x)g(x) =$

$f(w)g(w) - f(x)g(w) - f(x)g(x) + f(x)g(w) + f(x)g(x) =$

$f(x)\Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg) + f(x)g(x)$

Ezért az (1)-es kifejezés egyenlő:

$\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)$

Feltéve, hogy az összes használt határérték létezik, (4) egyenlő:

$\left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right) + \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right). \qquad\qquad(5)$

és most

$\lim_{w\to x}f(x) = f(x)$

ez igaz, mert f(x) konstans marad, ha  w → x

$\lim_{w\to x} g(w) = g(x)\,$

Ez igaz, mert a differenciálható függvény folytonos (g-ről feltételezve, hogy differenciálható), tehát:

$\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x)$    and    $\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x)$

mert f és g',' x-nél differenciálható; Ennek következtében az (5) kifejezés egyenlő:

$f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,$

Általánosítás

Több mint két tényező szorzata

A szorzat-szabályt általánosítani lehet több, mint két tényezőre. Például három tényezőre:

$\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}\,\!$.

$f_1, \dots, f_k$ függvényekre:

$\frac{d}{dx} \left [ \prod_{i=1}^k f_i(x) \right ] = \sum_{i=1}^k \left(\frac{d}{dx} f_i(x) \prod_{j\ne i} f_j(x) \right) = \left( \prod_{i=1}^k f_i(x) \right) \left( \sum_{i=1}^k \frac{f'_i(x)}{f_i(x)} \right).$

Magasabb fokú deriváltak

A Leibniz-szabály szerint általánosítható a két tényezős szorzat-szabály n-ik deriváltjára:

$(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).$

Lásd még a Binomiális együttható , és a formálisan teljesen hasonló binomiális tétel.

Magasabb fokú parciális deriváltak

Parciális deriváltakra:

${\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv) = \sum_S {\partial^{|S|} u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-|S|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}$

ahol az S index végig fut a {1, ..., n}, 2ⁿ alhalmazán. Ha például n=3, akkor:

$\begin{align} &{}\quad {\partial^3 \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv) \\ \\ &{}= u \cdot{\partial^3 v \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_1}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_2}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_3}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_2} \\ \\ &{}\qquad + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_2}\cdot{\partial v \over \partial x_3} + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_2} + {\partial^2 u \over \partial x_2\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_1} + {\partial^3 u \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3}\cdot v. \end{align}$

Alkalmazások

A szorzat-szabály alkalmazásai között egy bizonyíték:

${d \over dx} x^n = nx^{n-1}\,\!$

ahol n pozitív integer. (A szabály akkor is érvényes, ha n nem pozitív, vagy nem integer, de akkor a bizonyítás más módszerrel történik). A teljes indukció bizonyítása n-ik kitevőre. Ha n = 0, akkor xⁿ konstans, és nx^n – 1 = 0. A szabály bármely n kitevőre érvényes, és így a következő n + 1-re is:

$\begin{align} {d \over dx}x^{n+1} &{}= {d \over dx}\left( x^n\cdot x\right) \\[12pt] &{}= x{d \over dx} x^n + x^n{d \over dx}x \qquad\mbox{(itt használtuk a szorzat-szabályt)} \\[10pt] &{}= x\left(nx^{n-1}\right) + x^n\cdot 1\qquad\mbox{(az indukciós hipotézis)} \\[12pt] &{}= (n + 1)x^n. \end{align}$

Ha a tétel igaz n-re, akkor n + 1-re is igaz.

Tangenstér definíciója

A szorzat-szabály felhasználható az absztrakt tangenstér definiálásra is. Az a tényt használható itt, hogy egy geometria alakzat p pontján definiálni lehet valós értékű függvények deriváltjait a szorzat-szabállyal, és minden ilyen deriválás lineáris teret (vektor tér) alkot, mely a kívánt tangenstér.

Irodalom

• Freud Róbert: Lineáris algebra. ELTE Eötvös Kiadó. 2004.
• Fried Ervin: 'Algebra I., Elemi és lineáris algebra'év=2000. Nemzeti Tankönyvkiadó.
• Kuros, A. G: Felsőbb algebra. Tankönyvkiadó, Bp. 1975.

Kapcsolódó szócikkek

• Binomiális együttható
• Részenkénti integrálás
• binomiális tétel
• Hányadosszabály
• Tangenstér
• Vektortér
• Parciális derivált
• Derivált