Szorzatszabály

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a szorzatszabály alkalmazásával két, vagy több függvény szorzatának a deriváltját lehet kiszámítani.

Egy lehetséges jelöléssel:

(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g' \,\!

vagy a Leibniz-féle jelöléssel:

\dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u\cdot \dfrac{dv}{dx}+v\cdot \dfrac{du}{dx}.

továbbá:

 d(uv)=u\,dv+v\,du.

A három függvény szorzatának deriváltja:

\dfrac{d}{dx}(u\cdot v \cdot w)=\dfrac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \dfrac{dv}{dx} \cdot w + u\cdot v\cdot \dfrac{dw}{dx}.

Leibniz felfedezése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szorzatszabály felfedezését Gottfried Wilhelm Leibniznek tulajdonítják, bár Child (2008) szerint Isaac Barrow nevéhez fűződik a felfedezés. Leibniz érvelése: Legyen u(x) és v(x) x két differenciálható függvénye. Ekkor uv differenciálja:


\begin{align}
y + d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) \\
d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\
& {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv.
\end{align}

Mivel dudv kifejezések (du-hoz és dv-hez képest) „elhanyagolhatók”, Leibniz arra a megállapításra jutott, hogy:

d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,\!

és ez valóban a szorzatszabály differenciál alakja. Ha végig osztunk dx-szel, kapjuk:

\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot \frac{dv}{dx} \,\!

mely ilyen alakba is írható:

(u\cdot v)' = v\cdot u' + u\cdot v'. \,\!

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Tegyük fel, hogy differenciálni akarjuk a ƒ(x) = x² sin(x) függvényt. A szorzatszabályt alkalmazva kapjuk:

ƒ '(x) = 2x sin(x) + x²cos(x) (mivel x² deriváltja: 2x, és sin(x) deriváltja: cos(x)).

  • Speciális eset az úgynevezett „konstans szorzási szabály”, mely azt állítja: ha van egy c valós számunk, és egy ƒ(x) differenciálható függvény, akkor (x) is differenciálható, és a derivált: (c × ƒ)'(x) = c × ƒ '(x). Ez a szorzatszabályból következik, mivel egy konstans deriváltja zéró. Ezt kombinálva a deriváltak szumma-szabályával, mutatja, hogy a differenciálás lineáris.
  • A részenkénti integrálás szabálya levezethető a szorzatszabályból, mivel ez a hányadosszabály (annak gyenge változata). Azért „gyenge” változat, mert nem igazolja, hogy a hányados differenciálható, csak azt mondja, egy van egy deriváltja, ha az differenciálható.

Általános hiba[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy általánosan előforduló hiba, ha feltételezzük, hogy (uv) deriváltja egyenlő (u ′)(v ′).

Kezdetben, Leibniz maga is elkövette ezt a hibát [1] annak ellenére, hogy világos ellenpéldák léteznek.

Tekintsük ƒ(x) függvényt, melynek deriváltja: ƒ '(x). Ezt úgy is felírhatjuk, hogy ƒ(x) • 1, mivel az 1 neutrális elem a szorzást tekintve.

Ha fenti téves koncepció igaz lenne, akkor (u′)(v′) zérus lenne. Ez azért igaz, mert egy konstans deriváltja mindig zéró, és így a szorzat is zéró lenne.

A szorzat-szabály bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy precíz bizonyítás adható a deriváltak 'Newton-féle differenciahányados határérték elméletére alapozva.

Ha

 h(x) = f(x)g(x),\,

és ƒ és g differenciálható egy fix x számnál, akkor

h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)

Ekkor a különbség

 f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2)

azaz a nagy téglalap területe mínusz a kis téglalap területe (a lenti ábra szerint).

Szorzatszabály bizonyítása

A nagy és a kis téglalap közötti terület kettő téglalapra osztható, ennek a területnek a szummája[2]

 f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3)

mert:

 \Bigg( f(w) - f(x) + f(x) \Bigg)\Bigg( g(w) - g(x) + g(x) \Bigg) - f(x)g(x) =


 f(w)g(w) - f(w)g(x) + f(w)g(x) - f(x)g(w) + f(x)g(x) - f(x)g(x) + f(x)g(w) - f(x)g(x) + f(x)g(x) - f(x)g(x) =


 f(w)g(w) - f(x)g(w) - f(x)g(x) + f(x)g(w) + f(x)g(x) =


 f(x)\Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg) + f(x)g(x)

Ezért az (1)-es kifejezés egyenlő:

\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)

Feltéve, hogy az összes használt határérték létezik, (4) egyenlő:

 \left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right)
+ \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right).
\qquad\qquad(5)

és most

\lim_{w\to x}f(x) = f(x)

ez igaz, mert f(x) konstans marad, ha  w → x

\lim_{w\to x} g(w) = g(x)\,

Ez igaz, mert a differenciálható függvény folytonos (g-ről feltételezve, hogy differenciálható), tehát:

 \lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x)    and     \lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x)

mert f és g',' x-nél differenciálható; Ennek következtében az (5) kifejezés egyenlő:

 f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,

Általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Több mint két tényező szorzata[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szorzat-szabályt általánosítani lehet több, mint két tényezőre. Például három tényezőre:

\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}\,\! .

f_1, \dots, f_k függvényekre:

\frac{d}{dx} \left[ \prod_{i=1}^k f_i(x) \right]
= \sum_{i=1}^k \left(\frac{d}{dx} f_i(x) \prod_{j\ne i} f_j(x) \right)
= \left( \prod_{i=1}^k f_i(x) \right) \left( \sum_{i=1}^k \frac{f'_i(x)}{f_i(x)} \right).

Magasabb fokú deriváltak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Leibniz-szabály szerint általánosítható a két tényezős szorzat-szabály n-edik deriváltjára:

(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).

Lásd még a Binomiális együttható , és a formálisan teljesen hasonló binomiális tétel.

Magasabb fokú parciális deriváltak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Parciális deriváltakra:

{\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv)
= \sum_S {\partial^{|S|} u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-|S|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}

ahol az S index végig fut a {1, ..., n}, 2n alhalmazán. Ha például n=3, akkor:

\begin{align} &{}\quad {\partial^3 \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv) \\ \\
&{}= u \cdot{\partial^3 v \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_1}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_2}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_3}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_2} \\ \\
&{}\qquad + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_2}\cdot{\partial v \over \partial x_3}
+ {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_2}
+ {\partial^2 u \over \partial x_2\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_1}
+ {\partial^3 u \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3}\cdot v. \end{align}

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szorzat-szabály alkalmazásai között egy bizonyíték:

 {d \over dx} x^n = nx^{n-1}\,\!

ahol n pozitív egész. (A szabály akkor is érvényes, ha n nem pozitív, vagy nem egész, de akkor a bizonyítás más módszerrel történik). A teljes indukció bizonyítása n-edik kitevőre. Ha n = 0, akkor xn konstans, és nxn – 1 = 0. A szabály bármely n kitevőre érvényes, és így a következő n + 1-re is:

\begin{align}
{d \over dx}x^{n+1} &{}= {d \over dx}\left( x^n\cdot x\right) \\[12pt]
&{}= x{d \over dx} x^n + x^n{d \over dx}x \qquad\mbox{(itt használtuk a szorzat-szabályt)} \\[10pt]
&{}= x\left(nx^{n-1}\right) + x^n\cdot 1\qquad\mbox{(az indukciós hipotézis)} \\[12pt]
&{}= (n + 1)x^n.
\end{align}

Ha a tétel igaz n-re, akkor n + 1-re is igaz.

Tangenstér definíciója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szorzat-szabály felhasználható az absztrakt tangenstér definiálásra is. Az a tényt használható itt, hogy egy geometria alakzat p pontján definiálni lehet valós értékű függvények deriváltjait a szorzat-szabállyal, és minden ilyen deriválás lineáris teret (vektor tér) alkot, mely a kívánt tangenstér.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Freud Róbert: Lineáris algebra. (hely nélkül): ELTE Eötvös Kiadó. 2004. 
  • Fried Ervin: 'Algebra I., Elemi és lineáris algebra'év=2000. (hely nélkül): Nemzeti Tankönyvkiadó. 
  • Kuros, A. G: Felsőbb algebra. (hely nélkül): Tankönyvkiadó, Bp. 1975. 

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Michelle Cirillo (2007. August). „Humanizing Calculus”. The Mathematics Teacher 101 (1), 23–27. o.  
  2. The illustration disagrees with some special cases, since – in actuality – ƒ(w) need not be greater than ƒ(x) and g(w) need not be greater than g(x). Nonetheless, the equality of (2) and (3) is easily checked by algebra.