Szimbolikus integrálás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában, a szimbolikus integrálás az az eljárás, amikor meg kell megtalálni egy adott f(x) függvény antideriváltját vagy más néven a határozatlan integrálját, azaz megtalálni azt a differenciálható F(x) függvényt, melyre igaz:

\frac{dF}{dx} = f(x).

ez kifejezhető a következő egyenlettel is:

F(x) = \int f(x) \, dx.

A “szimbolikus” kifejezést azért használják, hogy meg lehessen különböztetni a numerikus integrálástól[1], ahol F konkrét értékét keresik egy adott bemeneti paraméter(ek) esetén, szemben attól, amikor F-re egy általános kifejezést keresnek.

A határozatlan integrálás teljes általánosságban, algoritmussal megoldhatatlan probléma. Tehát csak arra van lehetőség, hogy minél nagyobb algoritmussal megoldható részt keressünk.

Már jóval a digitális számítógépek megjelenése előtt is, mindkét problémának megvolt a gyakorlati és elméleti jelentősége is, azonban jelenleg már általánosan számítógépeket használnak az ilyen problémák megoldására.

Egy kifejezés deriváltjának kiszámítása egyszerű folyamat, könnyű megoldó algoritmust készíteni. A fordított eset – integrált számítani -, jóval nehezebb probléma.

Sok, viszonylag egyszerű kifejezésnek nincs olyan integrálja, melyet zárt formában lehet leírni. (Lásd még: antiderivált).

A Risch-algoritmus segítségével meg lehet határozni egy integrált, és annak fordítottját, több fajta kifejezésre. Egy ilyen algoritmus állandóan bővíthető.

A Risch-algoritmus határozatlan integrálokra vonatkozik, viszont a legtöbb integrál, melyekre a fizikusoknak, elméleti kémikusoknak és a mérnököknek van szükségük, határozott integrál, és általában kapcsolódik a Laplace-transzformációhoz[2], a Fourier-transzformációhoz és a Mellin transzformációhoz.

A Risch-algoritmus egyik alternatívája a komputeralgebra rendszerek, minta-összehasonlítás, és speciális funkciók kombinációja, különösen az inkomplett gamma függvény[3]

Ez a módszer inkább heurisztikus, mint algoritmikus, mindazonáltal ez egy hatékony módszer határozott integrálok megoldására, különösen gyakorlati műszaki alkalmazásoknál.

Ezt a módszert a Macsyma, Reduce és Axiom nevű komputeralgebra rendszerek fejlesztői dolgozták ki először. Azóta számos más komputeralgebra rendszer van forgalomban.

Ezt a közelítést a kísérleti matematika alkalmazza.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C

ez az egyenlet példa egy határozatlan integrál szimbolikus megoldására (C egy Integrálási állandó).

\int_{-1}^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1= \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3}=\frac{2}{3}

egy határozott integrál szimbolikus megoldása, és

\int_{-1}^1 x^2\,dx \approx 0.6667

ugyanennek az integrál numerikus megoldása

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Bronstein, Manuel: Symbolic Integration 1 (transcendental functions) (2 ed.). (hely nélkül): Springer-Verlag. 2007. ISBN 3540605215  
  • K.O. Geddes and T.C. Scott: Recipes for Classes of Definite Integrals Involving Exponentials and Logarithms, Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics conference, (held at MIT June 12, 1989), edited by E. Kaltofen and S.M. Watt. (hely nélkül): Springer-Verlag, New-York. 1989.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. http://www.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_matelem/2010/pasztor_nikolett.pdf
  2. http://ftp.rit.bme.hu/pub/oktatas/2054/gyakorlatianyagok/Laplace.pdf
  3. K.O Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149–165, [1]