Mátrix (matematika)

A mátrix a matematikában mennyiségek téglalap alakú elrendezése (táblázata) (számoké, függvényeké, kifejezéseké, vagy egyéb elemeké, esetleg más mátrixoké; általánosan valamilyen gyűrű vagy vektortér elemeié).

A mátrixokra hasonló kalkulus („algebra”) építhető fel, mint az elemeikre, amelynek rendkívül sokféle alkalmazása lehetséges. Ennek tanulmányozása a lineáris algebra feladata. Mátrixokat szoktak használni lineáris egyenletek és lineáris, valamint bilineáris transzformációk leírására. A mátrixok - a lineáris algebra (egyik) leghasznosabb fogalmaként - a matematikának a gyakorlatban legtöbbször alkalmazott eszközei között vannak, a matematika számos más ága mellett pedig a fizikától és komputergrafikától kezdve a biológián át egészen a nyelvészetig, számtalan tudományágban használhatóak akár az elméleti leírás tömör megfogalmazására, akár a számítások megkönnyítésére vagy automatizálására.

A mátrix egyik kedvenc szava a sci-fi íróknak is ; azonban ezen használati módok legtöbbször még lazán sem kapcsolódnak a matematikai fogalomhoz.

Definíciók és jelölések

A mátrix vízszintes vonalban elhelyezkedő elemei sorokat, függőleges vonalban elhelyezkedő elemei oszlopokat alkotnak. Egy m sorból és n oszlopból álló mátrixot m-szer n mátrixnak neveznek (írva: m×n), az m és n pozitív egész számok a mátrix dimenziói. A mátrix dimenzióit mindig először a sorok számával, majd azt követően az oszlopok számával adják meg. Az A mátrix jelölése:

$A= \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}& &a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots&a_{3n}\\ \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\dots&a_{mn} \end{bmatrix}\mbox{ vagy } \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}& &a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots&a_{3n}\\ \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\dots&a_{mn} \end{pmatrix}$

A mátrixnak az i-edik sorában és j-edik oszlopában lévő elemét a mátrix i,j-edik elemének nevezik, jelölése A_i,j vagy A[i,j]. Mindig először a sorszám, majd az oszlopszám szerepel.

Az m × n méretű mátrixot gyakran így jelölik: $A:=(a_{i,j})_{m \times n}$, a mátrix minden A[i,j] elemét a_i,j-vel jelölik, ahol 1 ≤ i ≤ m és 1 ≤ j ≤ n. Konvenció, hogy a mátrixokat nagybetűvel, a mátrix elemeit pedig kisbetűvel jelölik. Szokás szerint a mátrix sorainak és oszlopainak számozása 1-gyel kezdődik – noha vannak számítógépes programok, melyek 0-val kezdenek. Azokat a mátrixokat, melyek egyik dimenziója 1, vektornak szokták nevezni. A sorvektornak csak egy sora van:

$\begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \end{bmatrix}$,

az oszlopvektornak pedig egyetlen oszlopa:

$\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ . \\ . \\ . \\ a_{m} \end{bmatrix}$

Az 1×1-es mátrixot skalárnak hívjuk.

Tisztán matematikai igényű definíció

Ha $\mathcal{T}$ gyűrű (általában kommutatív gyűrű vagy test), akkor az m × n-es mátrixok $\mathcal{T}^{m \times n}$ halmazán a

$A:\{1,2,...,m\}\times\{1,2,...,n\}\longrightarrow \mathcal{T}\quad\langle i,j\rangle\mapsto a_{ij}$

típusú, véges ($m \cdot n$ elemszámú) értelmezési tartományú, $\mathcal{T}$-be képező függvények halmazát értjük. Itt × a halmazok Descartes-szorzata, $\mbox{ }_{\langle i,j\rangle}$ rendezett pár.

Példák

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4&9&2 \\ 6&0&5\end{bmatrix}$

Az A mátrix egy 4×3-as mátrix. Az A[2,3], vagy a_2,3 elem a 7.

$R = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$

Az R mátrix egy 1×9-es mátrix, vagy 9 elemű sorvektor.

Műveletek mátrixokkal

Transzponálás

A transzponálás egy argumentumú művelet. Egy mátrix transzponálása sorainak és oszlopainak a felcserélését jelenti. Egy m × n-es típusú mátrix transzponáltja n × m-es típusú. Kétszer végrehajtva visszakapjuk az eredeti mátrixot. A transzponálás jele $A^T$ vagy A'.

Egy mátrix szimmetrikus, ha transzponáltja önmaga, azaz $A^T = A$. Szimmetrikus mátrix csak négyzetes mátrix (lásd alább) lehet.

Példa

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ 4&9&2 \\ 6&0&5\end{bmatrix}, A^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 & 6\\ 2 & 2 & 9 & 0 \\ 3 & 7 & 2 & 5\end{bmatrix}$

Összeadás

Csak azonos dimenziójú mátrixok adhatók össze. Legyen A és B két azonos dimenziójú, m × n-es méretű mátrix. Az A + B összeget úgy képezzük, hogy az azonos helyen lévő elemeket összegezzük (vagyis (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ).

Példa

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

Tulajdonságai

• Kommutatív: A + B = B + A.
• Asszociatív: (A + B) + C = A + (B + C).

Skalárral való szorzás

Adott az A mátrix egy c skalárral való cA szorzatát úgy számítjuk, hogy a c számmal A minden elemét megszorozzuk (vagyis (cA)[i, j] = cA[i, j] ).

Ha a skalárt 1×1-es mátrixnak tekintjük, akkor a skalárral való szorzás speciális Kronecker-szorzat.

Példa

$2\cdot \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot (-3) \\ 2\cdot 4 & 2\cdot (-2) & 2\cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

Tulajdonságai

• aM = Ma. (Bármelyik oldalról szorozhatunk a skalárral.)
• (a + b)M = aM + bM.
• a(bM) = (ab)M = (ba)M = b(aM).

Az összeadás viszonyában teljesül, hogy:

• a(M + N) = aM + aN.

Mátrixszorzás

Két mátrix szorzata akkor definiált, ha a bal oldali mátrix oszlopainak száma megegyezik a jobb oldali mátrix sorainak számával. Ha A egy m-szer n mátrix és B egy n-szer p mátrix, mátrixszorzatuk egy m-szer p méretű (m sorból, p oszlopból álló)AB mátrix lesz, melynek elemei így számíthatók:

$(AB)[i,j] = A[i,1] B[1,j] + A[i,2] B[2,j] + ... + A[i,n] B[n,j] \!\$

minden i-re és j-re.

Példa

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0) \\ ((-1) \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1) & ((-1) \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix},$

illetve a megfelelő sort a megfelelő oszloppal történő szorzást kidomborítandó:

$\begin{matrix} & \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\\\\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix} \end{matrix},$

ahol például az eredménymátrix 5-ös elemét úgy kaptuk, hogy a sorában lévő (1,0,2) elemeket páronként összeszoroztuk az oszlopában lévő (3,2,1) elemekkel, majd összeadtuk őket.

Tulajdonságai

• asszociativitás: (AB)C = A(BC) minden k-szor m méretű A mátrixra, m × n-es méretű B mátrixra és n-szer p méretű C mátrixra.
• jobb oldali disztributivitás: (A + B)C = AC + BC minden m × n-es méretű A és B mátrixra valamint n-szer k méretű C mátrixra.
• bal oldali disztributivitás: C(A + B) = CA + CB minden m-szer n méretű A és B valamint k-szor m méretű C mátrixra.

Fontos tudni, hogy a kommutativitás általában nem teljesül; vagyis adott A és B összeszorozható mátrixra általában igaz, hogy AB ≠ BA.

Diadikus szorzás

Az n dimenziós valós vektortér a és b vektorainak diadikus szorzatán értjük és a o b -vel jelöljük azt a tenzort, mely a vektortérbe tartozó minden egyes r vektorhoz az a (b r) vektort rendeli.

Invertálás

Speciálisan vektorok esetén további műveletek is léteznek.

Mátrix rangja

Az A n×k-as mátrix rangja a mátrix lineárisan független oszlopainak maximális száma. Igazolható, hogy ez egy jól definiált természetes szám és megegyezik a mátrix lineárisan független sorainak maximális számával (a sorrang tehát egyenlő az oszlopranggal). Másként úgy is fogalmazhatunk, hogy a rang a mátrix oszlopvektorai által kifeszített altér dimenziója a T^k vektortérben (T az a test, ahonnan a mátrix elemeit vesszük). Tehát a rang:

$r(A):=\mathrm{dim}\,\left\langle\{a_1, ..., a_{k}\}\right\rangle$

ahol a₁,…,a_k az A mátrix oszlopai, mint vektorok.

Négyzetes mátrix

A négyzetes mátrix olyan mátrix, melyben a sorok és oszlopok száma megegyezik. Egy adott test feletti összes n-szer n-es négyzetes mátrix a skalárral való szorzással, mátrixösszeadással és mátrixszorzással algebrát alkot. Az n > 1 esetben az algebra általában nem kommutatív.

Egy A mátrix főátlója az $a_{ii}$ alakú elemeket tartalmazza, tehát azokat, amelyek ugyanannyiadik sorban vannak, mint oszlopban. (Főátlónak tehát a bal fölső és a jobb alsó sarkot összekötő átlót hívjuk.)

Diagonálmátrix olyan négyzetes mátrix, amelynek minden főátlón kívüli eleme 0. (A nullmátrix is ide tartozik.)

Példa (diagonális mátrix)

Egy harmadrangú (n=3) diagonális mátrix:

$\begin{bmatrix} 15 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 23 \end{bmatrix}$

Az I_n egységmátrix olyan négyzetes mátrix, melynek elemei a főátlóban egységnyiek, összes többi eleme 0, azaz olyan diagonálmátrix, melynek főátlóbeli elemei egységnyiek. Az egységmátrix kielégíti az alábbi egyenlőségeket: MI_n = M' és I_nN = N minden m-szer n M mátrixra és n-szer k N mátrixra.

Példa (egységmátrix)

Ha n = 3:

$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Az egységmátrix a négyzetes mátrixok gyűrűjének egységeleme.

A gyűrű invertálható elemeit invertálható mátrixnak vagy nem-szinguláris mátrixnak hívják. Egy n-szer n-es A mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha létezik egy olyan B mátrix, melyre igaz: AB = I_n ( = BA). Ebben az esetben a B mátrix az A mátrix inverz mátrixa és A^‒1-nel jelölik.

Ha λ egy szám és v egy nemzéró vektor, melyre igaz az, hogy Av = λv, akkor v-t az A mátrix sajátvektorának, λ-t pedig a hozzá tartozó sajátértékének nevezik.

Az A négyzetes mátrix determinánsa

$\det(A)=\sum_{\pi}(-1)^{|\pi|}a_{1,\pi(1)}\cdots a_{n,\pi(n)}$

képlettel adható meg, ahol a $\pi:\{1,2,\dots,n\}\to\{1,2,\dots,n\}$ permutációkra kell összegezni és $|\pi|$ a $\pi$ permutáció inverzióinak számát jelöli: azon $(i,j)$ párokét, amikre $i<j$ de $\pi(i)>\pi(j)$.

Invertálható mátrixok determinánsa nullától különbözik.

Az A négyzetes mátrix karakterisztikus polinomja a $p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)\,$ polinom. Ez n-szer n-es A esetén n-edfokú, főegyütthatója $(-1)^n\,$, konstans tagja pedig A determinánsa. A Cayley–Hamilton-tétel szerint az A mátrix gyöke a $p_A(\lambda)\,$ polinomnak. A λ szám akkor és csakis akkor sajátértéke A mátrixnak, ha A‒λI_n nem invertálható, azaz, ha p_A(λ) = 0. Így p_A(x) gyökei pontosan A sajátértékei.

A Gauss-elimináció algoritmusának alapvető fontossága van: ezt lehet használni mátrixok determinánsának, rangjának és inverzének számítására, valamint lineáris egyenletrendszerek megoldására.

Egy négyzetes mátrix nyoma (angol kifejezéssel trace-e, vagy német szóval spurja) a főátlójában lévő elemek összege, ez mindig egyenlő az n sajátértékeinek összegével.

Az A négyzetes mátrix hasonló a B négyzetes mátrixhoz, ha

∃ C négyzetes mátrix, melyre A = C^‒1·B·C

Jelölés:

$A \cong B$

A hasonló mátrixok sajátértékei egyenlők, továbbá a mátrixok hasonlósága nagyon jó példája az ekvivalencia relációnak.

Speciális mátrixok

• Nullmátrix olyan mátrix, melynek minden eleme 0.
• Egységmátrix négyzetes mátrix, melynek főátlójában minden elem 1, a többi 0.
• Diagonális mátrix négyzetes mátrix, melynek csak a főátlójában vannak 0-tól eltérő elemek.
• Szimmetrikus mátrix a főátlóra nézve szimmetrikus mátrix: a_i,j=a_j,i.
• Ferdén szimmetrikus mátrix a főátlóra nézve szimmetrikus elemek egyenlőek, de ellenkező előjelűek: a_i,j= – a_j,i.
• Háromszögmátrix
• Hermitikus mátrix a főátlóra nézve szimmetrikus elemek egymás komplex konjugáltjai: a_i,j=a^*_j,i, ahol a '*' komplex konjugáltat jelöl.
• Permutáló mátrix
• Adjungált (mátrixinvertálás)
• Vandermonde-determináns

Alkalmazások

• Bázistranszformáció
• Lineáris egyenletrendszer
• Tenzor

Hivatkozások

Irodalom

• Pattantyús-Ábrahám Géza (szerk.): Gépész- és villamosmérnökök kézikönyve (Műszaki, 1961) 2. kötet.
• J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv (Műszaki, 1987) ISBN 963-10-5309-1

Források

• Források
  • Online lexikon cikkei a mátrixról
  • Mátrix neve és igen rövid összefoglaló (angolul),
  • Bevezetés a mátrixalgebrába (angolul)
  • Mátrixalgebra

• Online mátrix számológépek
  • easycalculation.com
  • bluebit.gr
  • wims.unice.fr

• Freeware
  • MATRIX 2.1 Excel összeadás, foxes
  • MacAnova, University of Minnesota School of Statistics