Skolem-normálforma

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Skolem-normálforma (SNF) a matematikai logika elsőrendű logika nevű ágában egy elsőrendű nyelv speciális szimbólumokkal, a Skolem-szimbólumokkal bővített változatának olyan formulája, melynek egyetlen valódi részformulája sem kvantált (mert „a kvantorok mind a formula legelején vannak”, azaz prenex állapotban), továbbá ha előfordul a formulában kvantor, akkor az csak univerzális kvantor lehet.

Tehát általánosan a következő alakú formulák SNF alakúak:

 \forall x_{1} \forall x_{2} \dots \forall x_{n} \left( M \left( x_{1} , x_{2} , \dots , x_{n} \right) \right) ,

ahol M( \dots  ), a SNF magja, már kvantormentes formula (lehet nyílt is).

Bebizonyítható, hogy tetszőleges formulához létezik olyan vele egy bizonyos értelemben ekvivalens formula, amely Skolem-normálforma alakú. Ennek előállítására, azaz a formula skolemizálására algoritmusok is adhatóak. Ez tehát – ha prenex formulából indulunk ki, amit a továbbiakban feltételezni fogunk – azt jelenti, hogy „kiküszöböljük a formulából az egzisztenciális kvantorokat” („egy bizonyos értelemben” ekvivalens azért, mert a Skolemizált formula tkp. nem formulája az adott nyelvnek, és így az ekvivalencia definíciója is módosításra szorul).

Skolemizálás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Először is prenex alakba hozzuk a formulát (ezzel ama cikkben foglalkoztunk) ;
  2. Bevezetjük a Skolem-konstansokat;
  3. Bevezetjük a Skolem-függvényeket;
  4. (Ha tetszik vagy szükséges, akkor a magot KNF, DNF, Zsegalkin- vagy egyéb normálforma alakba is írhatjuk, így kapjuk a Skolem-konjunktív [SKNF] stb. normálformát).

A Skolem-konstansok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen

 F = Q_{1}x_{1}Q_{2}x_{2} \dots Q_{n}x_{n} \left( M \left( x_{1} , x_{2} , \dots , x_{n} \right) \right)

prenex formula (tehát az M mag kvantormentes).

Ha  Q_{1} = Q_{2} = \dots = Q_{j} = \exist ( ahol  j \le n ), azaz az első néhány kvantor egzisztenciális, akkor F akkor és csak akkor elégíthető ki, ha van olyan interpretáció, melyre a formula igaz, és ekkor (az egzisztenciális kvantor definíciója szerint) az interpretáció U univerzumában kell lennie olyan  c_{1} , c_{2} , \dots , c_{j} elemeknek, hogy ha valamely változókiértékelés során az  x_{1} , x_{2} , \dots , x_{j} változóknak rendre a  c_{1} , c_{2} , \dots , c_{j} , a formula igaz lesz. Ezeket az elemeket Skolem-konstansoknak nevezzük.

A (prenex) formula skolemizálásának első lépése, hogy a nyelvet kibővítjük olyan szimbólumokkal (Skolem-konstansszimbólumok), melyek a fent leírt Skolem-konstansoknak felelnek meg.

Ezután elvégezzük az F formulán az  \left( x_{1} , x_{2} , \dots , x_{j} || c_{1} , c_{2} , \dots , c_{j} \right) termhelyettesítést. Ezzel az első néhány (ha j=n, akkor az összes) egzisztenciális kvantort kiküszöböltük (elimináltuk) a formulából. Ha nem maradt egzisztenciális kvantor a formulában, akkor készen vagyunk, ha meg maradt (de a feltételek miatt  Q_{j+1} = \forall , tehát a konstansokkal skolemizált formula már nem egzisztenciális kvantorral „kezdődik”); akkor bevezetjük az ún. Skolem-függvényeket .

A Skolem-függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen

 G = R_{1}x_{1}R_{2}x_{2} \dots R_{n}x_{n} \left( M \left( x_{1} , x_{2} , \dots , x_{n} \right) \right)

olyan prenex formula (tehát az M mag kvantormentes), mely nem egzisztenciális kvantorral kezdődik, azaz melyre igaz  R_{1} \ne \exist (ha egzisztenciális kvantorral kezdődik, akkor Skolem-konstansok fentebb leírt bevezetésével mégis elérhető, hogy ilyen alakú legyen).

Legyen tehát a j-1≤n indexig valamennyi Ri univerzális kvantor, míg j-re Rj egzisztenciális! Ha netán j-1=n lenne, akkor készen vagyunk, hiszen feltételeink szerint minden kvantor univerzális. Ha viszont j-1<n, akkor van az Ri kvantorok között valahol egy egzisztenciális. Tehát formulánk a következő alakú:

 G = \forall x_{1} \forall x_{2} \dots \forall x_{j-1} \exist x_{j} R_{j+1}x_{j+1} \dots R_{n}x_{n} \left( M \left( x_{1} , x_{2} , \dots , x_{j-1} , x_{j} , x_{j+1} , \dots , x_{n} \right) \right)

.

Ha ez a formula igaz (pontosabban, ha kielégíthető), az az univerzális kvantifikáció definíciója szerint pontosan azt jelenti, hogy minden  x_{1} , x_{2} , \dots , x_{j-1} \in U^{j-1} univerzum-(j-1)-eshez létezik olyan  x_{j} = c_{S} , amelyre a j-edik (egzisztenciális) kvantor hatóköre mint formula igaz.

Minden elem-(j-1)-eshez tartozik ilyen CS(x1, \dots , j-1 ) elem, tehát definiálható az f: Uj-1 &mapsto; U, f(x1, \dots , j-1) = f(X) = cS(X) függvény. Ezt a formula megfelelő (tehátb a j-edik) kvantorához vagy változóihoz tartozó Skolem-függvénynek nevezzük.

Nyelvünket bővítsük ki olyan f (a nyelvben eddig nem szereplő) (Skolem-)függvényszimbólummal, melyet később a fentebb leírt f Skolem-függvénnyel interpretálunk. A formula prefixumából (tehát a mag előtt álló kvantorsorozatból) pedig helyjuk el ezt a j-edik, egzisztenciális kvantort, és végezzük el a magban az  \left( x_{j} || f \left( x_{1}, \dots , x_{j-1} \right) \right) behelyettesítést. Ezzel elimináltunk egy egzisztenciális kvantort a formulából.

A skolemizálás befejezése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fent leírt két eljárást a formulától függően váltakozva használva – a feltételek által adott, mikor melyiket – addig folytatjuk, míg valamennyi egzisztenciális kvantort nem eliminálunk. A skolemizálási eljárás véges sok lépésből áll, mivel a formulában csak véges sok egzisztenciális kvantor szerepel, és minden lépésben la. egyet kiejtünk.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Elsőrendű klóz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy zárt Skolem-normálformulát, melynek magja konjunktív normálforma alakú, elsőrendű klóznak nevezünk.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Papadimitriou, Christos H.: Számítási bonyolultság (Computational complexity). Egyetemi tankönyv. Novadat Bt., 1999. ISBN 963-9056-20-0 .
  • Pásztorné Varga Katalin – Várterész Magda: A matematikai logika alkalmazásszemléletű tárgyalása, Panem, Bp., 2003. ISBN 963-545-364-7