Sierpiński-szőnyeg

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Sierpinski-szőnyeg szócikkből átirányítva)
Sierpinski carpet 6.png

A Sierpiński-szőnyeg egy Wacław Sierpiński lengyel matematikus által megtalált fraktál, amely úgy áll elő, hogy egy négyzetet oldalai harmadolásával kilenc kisebb négyzetre bontunk, a középsőt elhagyjuk, és a maradék nyolcon elvégezzük ugyanezt az eljárást (vagyis azoknak is elhagyjuk a közepét), majd az így maradt 8×8 kisebb négyzeten is, stb. Az eredményül kapott alakzat területe (Lebesgue-mértéke) nulla, kerülete végtelen nagy. Hausdorff-dimenziója log 8/log 3 ≈ 1,8928.

A Sierpiński-szőnyeg a Cantor-halmaz egyik lehetséges kiterjesztése a síkra (a másik a Cantor-por). Ugyanez az eljárás elvégezhető bármilyen más parkettázásra alkalmas síkidommal is, így nyerhető például szabályos háromszögből a Sierpiński-háromszög. A szőnyeg térbeli megfelelője a Menger-szivacs.

Zárt halmazok metszeteként zárt, és mivel befoglalható a kiindulási négyzetbe, ezért korlátos halmaz. Ezért a Heine–Borel-tétel miatt kompakt. Ezen kívül nem megszámlálható, és önhasonló struktúrája van.

Definíciója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Sierpiński-szőnyeg formálisan így definiálható:

S := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} S_n

ahol S0 az egységnégyzetet jelöli, és:

S_{n+1} := \left\{\begin{matrix}
(x,y)\in\mathbb{R}^2: & 
\begin{matrix}\exists i,j\in\{0,1,2\}: (3x-i,3y-j)\in S_n
\\ \mathrm{es }i,j\mbox{ kozul legfeljebb egy nem nulla}\end{matrix}
\end{matrix}\right\}

Konstrukciója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Vegyünk egy négyzetet
  2. Osszuk fel minden oldalát három részre
  3. A kijelölt pontokat összekötve osszuk fel a négyzetet kilenc kis négyzetre
  4. Töröljük el a középső négyzetet
  5. Ismételjük az előző lépéseket minden kis négyzetre.

Ezzel az eljárással a négyzet egyre inkább kiürül. Végtelenszer megismételve a Sierpiński-szőnyeg marad.

Az n-edik iterációban általánosságban N_n=8^n kis négyzet marad. A Sierpiński-szőnyeg felépíthető nyolc olyan Sierpiński-szőnyegből, amiknek oldalhossza a nagy Sierpiński-szőnyeg oldalának harmada. Innen a Hausdorff-dimenzió: log 8/log 3 ≈ 1,8928.

A Sierpiński-szőnyeg területe egyszerűen számítható abból, hogy mindig csak az eredeti nyolc kilencede marad:

1 \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{8}{9} \cdot \dots \to 0

A Sierpiński-szőnyeg kerülete a konstrukció alapján:

4+ \frac{4}{3}+ \frac{4\cdot 8}{9}+ \frac{4\cdot 8\cdot 8}{27}+ \dots=

=4+ \frac{4\cdot 8^0}{3^1}+ \frac{4\cdot 8^1}{3^2}+ \frac{4\cdot 8^2}{3^3}\dots \to \infty

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sierpiński-szőnyeg, Menger-szivacs