Sűrűségmátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A sűrűségmátrix kevert kvantumállapotok leírására szolgál. Neumann János vezette be 1927-ben.[1] (Más források szerint Lev Landau és Felix Bloch is felfedezte Neumann Jánostól függetlenül.)

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy kvadratikus mátrix akkor és csak akkor lehet egy kvantumrendszer sűrűségmátrixa ha

\hat{\rho}^+= \hat{\rho},
\hat{\rho}\ge 0,
\mathrm{Tr}(\hat{\rho})=1,

ahol \hat{\rho}^{+} a \hat{\rho} mátrix hermitikus konjugáltját jelöli.

Dekompozíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Minden sűrűségmátrix felírható tiszta állapotok keverékeként

\hat{\rho}= \sum_k p_k \vert \Psi_k \rangle \langle \Psi_k \vert,

ahol a \vert \Psi_k \rangle állapotok páronként ortogonálisak, p_k\ge 0 és \sum_k p_k=1.

Várható érték és mérés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy hermitikus operátor \hat{A} várható értéke megkapható a sűrűségmátrix segítségével

\langle \hat{A} \rangle= \mathrm{Tr}(\hat{\rho}\hat{A}).

Egy \hat{P} projektor hatását a rendszer kvantumállapotára a

\hat{\rho}=\frac{\hat{P}\hat{\rho}\hat{P}}{\mathrm{Tr}(\hat{P}\hat{\rho})}

formula adja. Ez alapján, ha egy \hat{A} hermitikus operátor felbontását

\hat{A}=\sum_k a_k \hat{P}_k

adja, ahol \hat{P}_k egymásra ortogonális projektorok, és az operátor mérésekor a_n eredményt kaptunk, akkor a rendszer állapota a mérés után

\hat{\rho}'=\frac{\hat{P}_n\hat{\rho}\hat{P}_n}{\mathrm{Tr}(\hat{P}_n\hat{\rho})}

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. J. von Neumann, Mathematische Grundlagen Der Quantenmechanik, Springer-Verlag, Berlin, 1932; Angol fordítás: J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1996.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nagy Károly: Kvantummechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.