Sűrűségmátrix

A sűrűségmátrix kevert kvantumállapotok leírására szolgál. Neumann János vezette be 1927-ben. (Más források szerint Lev Landau és Felix Bloch is felfedezte Nemann Jánostól függetlenül.)

Tulajdonságai

Egy kvadratikus mátrix akkor és csak akkor lehet egy kvantumrendszer sűrűségmátrixa ha

$\hat{\rho}^+= \hat{\rho},$

$\hat{\rho}\ge 0,$

$\mathrm{Tr}(\hat{\rho})=1,$

ahol $\hat{\rho}^{+}$ a $\hat{\rho}$ mátrix hermitikus konjugáltját jelöli.

Dekompozíció

Minden sűrűségmátrix felírható tiszta állapotok keverékeként

$\hat{\rho}= \sum_k p_k \vert \Psi_k \rangle \langle \Psi_k \vert,$

ahol a $\vert \Psi_k \rangle$ állapotok páronként ortogonálisak, $p_k\ge 0$ és $\sum_k p_k=1.$

Várható érték és mérés

Egy hermitikus operátor $\hat{A}$ várható értéke megkapható a sűrűségmátrix segítségével

$\langle \hat{A} \rangle= \mathrm{Tr}(\hat{\rho}\hat{A}).$

Egy $\hat{P}$ projektor hatását a rendszer kvantumállapotára a

$\hat{\rho}=\frac{\hat{P}\hat{\rho}\hat{P}}{\mathrm{Tr}(\hat{P}\hat{\rho})}$

formula adja. Ez alapján, ha egy $\hat{A}$ hermitikus operátor felbontását

$\hat{A}=\sum_k a_k \hat{P}_k$

adja, ahol $\hat{P}_k$ egymásra ortogonális projektorok, és az operátor mérésekor $a_n$ eredményt kaptunk, akkor a redszer állpota a mérés után

$\hat{\rho}'=\frac{\hat{P}_n\hat{\rho}\hat{P}_n}{\mathrm{Tr}(\hat{P}_n\hat{\rho})}$

Irodalom

Nagy Károly: Kvantummechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.