Rupert-féle kocka

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Egységkocka a Rupert-féle kocka számára vágott lyukkal

A geometriában a Rupert-féle kocka a legnagyobb kocka, amely átfér egy egységkockán vágott lyukon. A Rupert-féle kocka élhossza mintegy 6%-kal haladja meg az egységkockáét. Egy rokon probléma az, hogy keressük meg a legnagyobb négyzetet, ami egy kockában elfér. Ebben a négyzet oldalhossza megegyezik a Rupert-féle kocka élhosszával. A kockát Rupert pfalzi hercegről nevezték el, aki a 17. században először foglalkozott a problémával.[1][2][3]

Megoldás[szerkesztés]

Ha az egységkocka két szomszéd élén kiválasztjuk azt a két pontot, amelyek a két él közös csúcsától számítva 3/4 távolságra helyezkednek el, akkor a pontok közötti távolság

A szemközti pontokkal együtt alkotott négyzet teljesen a kockában van. Ezt a négyzetet a síkjára merőlegesen mindkét irányban meghosszabbítva egy olyan lyukat alkot, amin átfér egy egységnyinél nagyobb élhosszú kocka.[3]

Az egységkocka maradék részei két háromszögű prizma és két nem szabályos tetraéder, amelyeket a négyzet csúcspontjai kapcsolnak össze. Egy-egy prizma hat csúcsából kettő a kocka csúcsa, a többi pont ezektől a csúcsoktól 1/4 távolságra van. A tetraéderek egyik csúcsa a kocka csúcsa, a többi közül kettő 3/4, egy 3/16 távolságra van az adott csúcsból kiinduló élen.

Története[szerkesztés]

Rupert-féle kocka 3D modellje

A Rupert-féle kockát Rupert pfalzi herceg után nevezték el, aki egy John Wallis angol matematikustól származó 1693-as történet[4] szerint fogadott arra, hogy egy kockán vágható akkora lyuk, hogy egy másik ugyanolyan kockát át lehessen rajta tolni. Wallis megmutatta, hogy ez lehetséges, így a herceg megnyerte a fogadást.[1][2]

Wallis feltette, hogy a lyuknak párhuzamosnak kell lennie a kocka térátlójával. Az erre az átlóra merőleges síkra vetítve a kocka képe szabályos hatszög, és a térátlóval párhuzamos legjobb lyuk az ebbe a hatszögbe írt lehető legnagyobb négyzet. Kiszámítva ennek oldalhosszát, kapjuk, hogy

,

azaz az eredetinél egy kicsit nagyobb kocka átfér rajta.

Körülbelül száz év múlva a holland Pieter Nieuwland felfedezte, hogy Wallis nem a lehető legnagyobb lyukat találta meg: az optimális megoldásban a lyuk nem párhuzamos a térátlóval. Nieuwland 1794-ben meghalt, egy évvel azután, hogy professzor lett a leideni egyetemen. Eredményét mentora, Jean Henri van Swinden hozta nyilvánosságra 1816-ban.[1][2]

Azóta a Rupert-féle kocka a matematikai ismeretterjesztés népszerű témájává vált, számtalan könyvben szerepel (nem ritkán a nem-optimális, Wallis-féle megoldással).[3][5][6][7][8][9][10][11][12]

Modellek[szerkesztés]

A modellalkotást megnehezíti, hogy nagyon pontosnak kell lenni, és az, hogy a megmaradt darabok egy-egy ponton függnek össze. Emiatt a problémát szokás elméletileg lehetségesnek, de gyakorlatilag lehetetlennek mondani.[13] Ezzel szemben 1950-ben D. J. E. Schrek fényképeket adott ki egy kockamodellről, amely egy másik kockába vágott lyukba illeszkedett.[14] Martin Raynsford egy sablonnal tervezett modelleket, azonban ezeken a modelleken a lyuk jóval kisebb, mint az a kocka, aminek át kellene rajta haladnia.[15]

Általánosítások[szerkesztés]

A kocka nem az egyetlen test, ami át tud haladni saját másolatán. Hasonlók igazak a szabályos tetraéderre és oktaéderre is.[16]

A probléma egy másik megfogalmazása a legnagyobb négyzetet keresi a kockában. Általánosabban, (Jerrard & Wetzel 2004) megmutatta, hogyan lehet megtalálni a lehető legnagyobb rögzített oldalarányú téglalapot. Ezek a téglalapok mind átmennek a kocka középpontján, és csúcsaik a kocka éleire illeszkednek. Innen kiindulva megmutatták, hogy a téglalap vagy abban a síkban fekszik, amely átlósan átmegy a kocka négy csúcsán, vagy a Rupert-féle kockához hasonlóan, egy egyenlő szárú derékszögű háromszög által meghatározott két pont és szemközti párjaik lesznek a téglalap csúcsai.[2] A legnagyobb területű téglalap egyik oldalpárja a kockának is éle, másik oldalpárja pedig a kocka lapátlója.[17]

A kérdés más dimenziókban is feltehető, vagyis keressük a legnagyobb dimenziós hiperkockát, amely teljes egészében része egy dimenziós hiperkockának. Az arányszám mindig algebrai. Az eset egy kockát keres egy 4 dimenziós hiperkockában. Martin Gardner a Scientific Americanben feltett kérdésére Kay R. Pechenick DeVicci és több más olvasó belátta, hogy a (3,4) esetben ez a szám kisebb, mint a kisebbik gyökének a négyzetgyöke, ami megközelítőleg 1,007435.[3][18] Az esetén a legnagyobb négyzetet keressük az dimenziós hiperkockában. Ha páros, akkor a négyzet oldala , ha páratlan, akkor .[19]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. ↑ a b c Rickey, V. Frederick (2005), Dürer’s Magic Square, Cardano’s Rings, Prince Rupert’s Cube, and Other Neat Things. Notes for “Recreational Mathematics: A Short Course in Honor of the 300th Birthday of Benjamin Franklin,” Mathematical Association of America, Albuquerque, NM, August 2-3, 2005.
  2. ↑ a b c d Jerrard, Richard P. & Wetzel, John E. (2004), "Prince Rupert's rectangles", The American Mathematical Monthly 111 (1): 22–31, DOI 10.2307/4145012.
  3. ↑ a b c d Gardner, Martin (2001), The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems : Number Theory, Algebra, Geometry, Probability, Topology, Game Theory, Infinity, and Other Topics of Recreational Mathematics, W. W. Norton & Company, pp. 172–173, ISBN 9780393020236, <https://books.google.com/books?id=orz0SDEakpYC&pg=PA172>.
  4. ↑ John Wallis: De algebra tractatus, historicus & practicus ... cum variis appendicibus ... Operum Mathematicorum volumen alterum. (Hozzáférés: 2014. október 23.)
  5. ↑ Wells, David (1997), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (3rd ed.), Penguin, p. 16, ISBN 9780140261493, <https://books.google.com/books?id=kQRPkTkk_VIC&pg=PA16>.
  6. ↑ Ozanam, Jacques (1803), Montucla, Jean Étienne & Hutton, Charles, eds., Recreations in Mathematics and Natural Philosophy: Containing Amusing Dissertations and Enquiries Concerning a Variety of Subjects the Most Remarkable and Proper to Excite Curiosity and Attention to the Whole Range of the Mathematical and Philosophical Sciences, G. Kearsley, pp. 315–316, <https://books.google.com/books?id=s_IJAAAAMAAJ&pg=PA315>.
  7. ↑ Dudeney, Henry Ernest (1936), Modern puzzles and how to solve them, p. 149
  8. ↑ Ogilvy, C. Stanley (1956), Through the Mathescope, Oxford University Press, pp. 54–55. Reprinted as Ogilvy, C. Stanley (1994), Excursions in mathematics, New York: Dover Publications Inc., ISBN 0-486-28283-X, <https://books.google.com/books?id=WLcTi34V1ecC&pg=PA54>.
  9. ↑ Ehrenfeucht, Aniela (1964), The cube made interesting, New York: The Macmillan Co., p. 77. Translated from the Polish by Waclaw Zawadowski.
  10. ↑ Stewart, Ian (2001), Flatterland: Like Flatland Only More So, Macmillan, pp. 49–50, ISBN 9780333783122.
  11. ↑ Darling, David (2004), The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, John Wiley & Sons, p. 255, ISBN 9780471667001, <https://books.google.com/books?id=HrOxRdtYYaMC&pg=PA255>.
  12. ↑ Pickover, Clifford A. (2009), The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics, Sterling Publishing Company, Inc., p. 214, ISBN 9781402757969, <https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA214>.
  13. ↑ Sriraman, Bharath (2009), "Mathematics and literature (the sequel): imagination as a pathway to advanced mathematical ideas and philosophy", in Sriraman, Bharath; Freiman, Viktor & Lirette-Pitre, Nicole, Interdisciplinarity, Creativity, and Learning: Mathematics With Literature, Paradoxes, History, Technology, and Modeling, vol. 7, Montana Mathematics Enthusiast Monograph Series in Mathematics Education, Information Age Publishing, Inc., pp. 41–54, ISBN 9781607521013.
  14. ↑ Schrek, D. J. E. (1950), "Prince Rupert’s problem and its extension by Pieter Nieuwland", Scripta Mathematica 16: 73–80 and 261–267. As cited by (Rickey 2005) and (Jerrard & Wetzel 2004).
  15. ↑ Hart, George W. (January 30, 2012), Math Monday: Passing a Cube Through Another Cube, Museum of Mathematics, <http://momath.org/home/math-monday-passing-a-cube-through-another-cube/>. Originally published in Make Online.
  16. ↑ Scriba, Christoph J. (1968), "Das Problem des Prinzen Ruprecht von der Pfalz", Praxis der Mathematik 10 (9): 241–246.
  17. ↑ Thompson, Silvanus P. & Gardner, Martin (1998), Calculus Made Easy (3rd ed.), Macmillan, p. 315, ISBN 9780312185480, <https://books.google.com/books?id=BBIFtid-WdUC&pg=PA315>.
  18. ↑ Guy, Richard K. & Nowakowski, Richard J. (1997), "Unsolved Problems: Monthly Unsolved Problems, 1969-1997", The American Mathematical Monthly 104 (10): 967–973, DOI 10.2307/2974481.
  19. ↑ Weisstein, Eric W.: Cube Square Inscribing (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Prince Rupert's cube című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Külső hivatkozások[szerkesztés]

A lap eredeti címe: „https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Rupert-féle_kocka&oldid=25820516”