Riemann-tenzor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Riemann tenzor szócikkből átirányítva)

A Riemann-tenzor vagy Riemann–Christoffel-tenzor a tér görbületét leíró tenzor, melyet Bernhard Riemannról és Elwin Bruno Christoffelről neveztek el.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A sokaság belső geometriájára jellemző görbületet a görbületi tenzor vagy Riemann-tenzor írja le. Az u és v vektormezők kommutációs tulajdonságait vizsgálva, definiálhatjuk a következő vektort


R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]} w

Itt nabla a kovariáns deriváltat jelöli. A fenti egyenletben fellépő R tenzort nevezzük görbületi vagy Riemann-tenzornak.

A Riemann-tenzor lokális koordinátákban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Riemann-tenzort felírhatjuk lokális koordinátákban a Christoffel-szimbólumok segítségével:

{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}
    - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}
    + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
    - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}


ahol \partial_{\mu} = \partial/\partial x^{\mu}, és a kétszer előforduló indexekre automatikus összegzés értentő (Einstein-féle összegzési konvenció).

A teljesen kovariáns alakja pedig a következő

R_{\rho\sigma\mu\nu} = g_{\rho \zeta} {R^\zeta}_{\sigma\mu\nu}

itt  g_{\rho \zeta}  a metrikus tenzort jelöli.

Bianchi-azonosságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Riemann-tenzorral kapcsolatban bebizonyíthatóak az ún. Bianchi-azonosságok.

Az első Bianchi-azonosság a következő:

R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}^{}=0

Ezt szokás az alábbi rövidebb formában is használni:

R_{a[bcd]}^{}=0

itt a szögletes zárójel a tenzor antiszimmetrikus részét jelöli.

A második Bianchi-azonosság pedig a következő alakú:

R_{abcd;e}^{}+R_{abde;c}^{}+R_{abec;d}^{}=0

vagy rövid formában

R_{ab[cd;e]}^{}=0

ahol a pontosvessző a kovariáns deriváltat jelöli.

Szimmetriái[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Riemann-tenzor az indexpárjaiban szimmetrikus

R_{abcd}^{}=R_{cdab}

Az első két indexében és az utolsó két indexében pedig antiszimmetrikus:

R_{abcd}^{}=-R_{bacd}, \ \ \  \    R_{abcd}^{}=-R_{abdc}

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]