Riemann tenzor

A Riemann tenzor vagy Riemann–Christoffel tenzor a tér görbületét leíró tenzor, melyet Bernhard Riemannról és Elwin Bruno Christoffelről neveztek el.

Definíció

A sokaság belső geometriájára jellemző görbületet a görbületi tenzor vagy Riemann tenzor írja le. Az u és v vektormezők kommutációs tulajdonságait vizsgálva, definiálhatjuk a következő vektort

$R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]} w$

Itt nabla a kovariáns deriváltat jelöli. A fenti egyenletben fellépő R tenzort nevezzük görbületi vagy Riemann tenzornak.

A Riemann tenzor lokális koordinátákban

A Riemann tenzort felírhatjuk lokális koordinátákban a Christoffel-szimbólumok segítségével:

${R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$

ahol $\partial_{\mu} = \partial/\partial x^{\mu}$, és a kétszer előforduló indexekre automatikus összegzés értentő (Einstein féle összegzési konvenció).

A teljesen kovariáns alakja pedig a következő

$R_{\rho\sigma\mu\nu} = g_{\rho \zeta} {R^\zeta}_{\sigma\mu\nu}$

itt $g_{\rho \zeta}$ a metrikus tenzort jelöli.

Bianchi azonosságok

A Riemann tenzorral kapcsolatban bebizonyíthatóak az ún. Bianchi azonosságok.

Az első Bianchi azonosság a következő:

$R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}^{}=0$

Ezt szokás az alábbi rövidebb formában is használni:

$R_{a[bcd]}^{}=0$

itt a szögletes zárójel a tenzor antiszimmetrikus részét jelöli.

A második Bianchi azonosság pedig a következő alakú:

$R_{abcd;e}^{}+R_{abde;c}^{}+R_{abec;d}^{}=0$

vagy rövid formában

$R_{ab[cd;e]}^{}=0$

ahol a pontosvessző a kovariáns deriváltat jelöli.

Szimmetriái

A Riemann tenzor az indexpárjaiban szimmetrikus

$R_{abcd}^{}=R_{cdab}$

Az első két indexében és az utolsó két indexében pedig antiszimmetrikus:

$R_{abcd}^{}=-R_{bacd}, \ \ \ \ R_{abcd}^{}=-R_{abdc}$

Források

Landau - Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó. Budapest. 1976

Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó. 1963

Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. ISBN 9630584239