Richardson-extrapoláció

A numerikus analízisben a Richardson extrapoláció egy sorozatgyorsító módszer, amivel felgyorsíthatjuk egy sorozat konvergenciáját. Az eljárás Lewis Fry Richardson angol matematikusról kapta a nevét, aki a technikát a 20. század elején vezette be. Birkhoff és Rota szerint "...a gyakorlati számításokban a hasznosságát nem igazán lehet túlbecsülni."

Gyakorlati alkalmazásai között szerepel a Romberg integrálás, amely Richardson-extrapolációt alkalmaz a trapéz-szabályra, és a Bulirsch–Stoer algoritmus, amely differenciál egyenletek megoldására használható.

Példa

Tegyük fel, hogy $A(h)\;$ egy $h^n\;$ rendű közelítése egy $A=\lim_{h\to 0}A(h)$ alakú függvénynek, tehát $A-A(h) = a_n h^n+O(h^m),~a_n\ne0,~m>n$. Ekkor

$R(h) = A(h/2) + \frac{A(h/2)-A(h)}{2^n-1} = \frac{2^n\,A(h/2)-A(h)}{2^n-1}$

a Richardson extrapoláltja A(h)-nak; azaz a h^m rendű megközelítése A-nak, ha m>n.

Általános esetben, a "2" tényező helyettesíthető más tényezővel, a lent bemutatott módon.

Gyakran könnyebb elérni egy adott pontosságot R(h)-t használva A(h') helyett, egy sokkal kisebb h' -val, ami problémákat okozhat a korlátozott pontosság (kerekítési hiba) és/vagy a szükséges számítások többlete miatt (ld. lenti példák).

Általános képlet

Legyen A(h) egy megközelítése A-nak, ami a pozitív h lépésszámtól függ, egy $A - A(h) = a_0h^{k_0} + a_1h^{k_1} + a_2h^{k_2} + \cdots$ alakú hibaképlettel, ahol a_i ismeretlen és k_i ismert állandók úgy, hogy h^k_i > h^k_i+1.

A keresett érték megadható a

$A = A(h) + a_0h^{k_0} + a_1h^{k_1} + a_2h^{k_2} + \cdots$

összefüggéssel, ami leegyszerűsíthető a nagy O jelöléssel

$A = A(h)+ a_0h^{k_0} + O(h^{k_1}). \,\!$

h lépésközt használva és h / t-t egy adott t-re, a két képlet A-ra:

$A = A(h)+ a_0h^{k_0} + O(h^{k_1}) \,\!$

$A = A\!\left(\frac{h}{t}\right) + a_0\left(\frac{h}{t}\right)^{k_0} + O(h^{k_1}) .$

A második egyenletet beszorozva t^k₀-val és kivonva az elsőt kapjuk a

$(t^{k_0}-1)A = t^{k_0}A\left(\frac{h}{t}\right) - A(h) + O(h^{k_1})$

egyenletet, amely A-ra megoldva a következőt adja:

$A = \frac{t^{k_0}A\left(\frac{h}{t}\right) - A(h)}{t^{k_0}-1} + O(h^{k_1}) .$

Az eljárás által egy jobb özelítést értünk el A-ra, kiküszübülve a legnagyobb hibatényezőt, O-t (h^k₀). Az eljárás megismételhető még több hibatényező eltávolításáért és ezáltal még jobb közelítés eléréséért.

Egy általános rekurrenciás összefüggés állapítható meg a közelítésekre:

$A_{i+1}(h) = \frac{t^{k_i}A_i\left(\frac{h}{t}\right) - A_i(h)}{t^{k_i}-1}$

úgy, hogy

$A = A_{i+1}(h) + O(h^{k_{i+1}})$, $A_0=A(h)$.

Megjegyezendő, hogy a Richardson-extrapoláció lineáris sorozat-transzformációnak fogható fel.

Példa

Taylor-sorbafejtéssel,

$f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac{f''(x)}{2}h^2 + \cdots$

f(x) deriváltja megadható

$f'(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f''(x)}{2}h + \cdots.$

formában.

Ha a derivált eredeti közelítéseit

$A_0(h) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

formában választjuk meg, akkor k_i = i+1.

t = 2 esetben az első extrapoláció A-ra

$A = 2A_0\!\left(\frac{h}{2}\right) - A_0(h) + O(h^2) .$ lesz.

Az új közelítéshez

$A_1(h) = 2A_0\!\left(\frac{h}{2}\right) - A_0(h)$

újraextrapolálhatunk,

$A = \frac{4A_1\!\left(\frac{h}{2}\right) - A_1(h)}{3} + O(h^3) .$ kapva

.

Hivatkozások

• Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 1991.

Külső (angol!) linkek

• Module for Richardson's Extrapolation, fullerton.edu
• Fundamental Methods of Numerical Extrapolation With Applications, mit.edu
• Richardson-Extrapolation
• Richardson extrapolation on a website of Robert Israel (University of British Columbia) -->