Rezgés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Egytömegű lengőrendszer

A mechanikai rezgés vagy lengés oszcilláló mozgást jelent egy egyensúlyi állapot körül. Az oszcillálás lehet periodikus, mint például egy inga esetén, vagy rendezetlen, véletlenszerű, mint például egy gépkocsikerék mozgása a karosszériához képest, göröngyös úton. A rezgés és lengés szavak fizikai tartalma azonos, a magyar köznyelvben a gyors lengéseket rezgésnek szokás mondani, a lassúak a lengések. A testek rezgésével foglalkozó tudomány a lengéstan, de analízisével a rezgésanalízis foglalkozik.

A rezgés esetenként kívánatos lehet. Ilyen például a hangvilla, vagy a nyelvsíp rezgése fúvós hangszerek vagy harmonika esetén, vagy egy hangszóró kúpjának rezgése, ezeknek az eszközöknek működéséhez elengedhetetlen a rezgésük.

Más esetekben azonban a rezgés elkerülendő, mivel energiaveszteséget és nemkívánatos hangotzajt okoz. Így például gépek, motorok vagy bármely mechanikus eszköz működésekor általában károsak a rezgések. A rezgéseket okozhatja a forgórészek kiegyensúlyozatlansága, súrlódás, rosszul illeszkedő, kopott fogaskerekek, stb. A gondos tervezés és kivitelezés a nemkívánatos rezgéseket általában minimálisra csökkenti.

A hangok, a zaj és a rezgés vizsgálata szorosan összefüggő területek. A hangot, vagyis a nyomáshullámokat rezgő szerkezetek keltik (például a hangszálak) és nyomáshullámok rezgéseket tudnak kelteni (például a dobhártyán). Ilyen módon, ha zajcsökkentésre törekszünk, az gyakran rezgéscsökkentéssel érhető el.

Rezgéstípusok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Szabad rezgés alakul ki, ha egy mechanikai rendszert kezdeti állapotba „húzzuk fel”, majd engedjük, hogy szabadon rezegjen. Ennek példája lehet az, ha egy gyereket meglendítünk a hintán, majd magára hagyjuk, vagy megütünk egy hangvillát és hagyjuk zengeni. A mechanikai rendszer ekkor rezgéseket fog végezni egy vagy több sajátfrekvenciájával, majd a rezgés csillapodik és megáll.

Gerjesztett rezgés során a mechanikai rendszerre alternáló erő vagy mozgás hat. Példa erre egy rosszul kiegyensúlyozott mosógép rázkódása, a közlekedés okozta rezgés (melyet elhaladó teherautó okoz) vagy egy épület rezgése földrengés folyamán.

A gerjesztett rezgés során a rezgés frekvenciája a gerjesztés frekvenciájától függ, de erőssége szoros összefüggésben van a mechanikai rendszer jellemzőivel.

Rezgésvizsgálat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A rezgésvizsgálat alapjait egy egyszerű tömeg-rugó modell, úgynevezett egytömegű lengőrendszer viselkedésén lehet megérteni. Valóban, egy olyan összetett szerkezet viselkedését, mint amilyen egy gépkocsi, egyszerű tömeg-rugó-csillapítás modellek összerakásával lehet modellezni. A tömeg-rugó-csillapítás modell az egyszerű harmonikus oszcillátor példája, és így a viselkedését leíró matematikai eszközök azonosak más egyszerű harmonikus oszcillátorok vizsgálatával, mint amilyen például egy egyszerű villamos rezgőkör.

Megjegyzés: Ez a szócikk nem tartalmazza a lépésenkénti matematikai levezetést, csak a fontosabb egyenletek és a rezgésvizsgálat fontosabb elvei kerülnek bemutatásra. Amennyiben az olvasót a részletek érdeklik, forduljon a hivatkozott irodalomhoz.

Csillapítatlan szabad rezgés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egyszerű tömeg-rugó modell

Először egyszerűsége miatt vizsgáljuk meg az egy tömeg – egy rugó rendszert abban az esetben, ha minden csillapítást elhanyagolunk és nincs külső erő, amely hatna a rendszerre (vagyis a rendszer szabad rezgést végez).

A tömegre ható rugóerő arányos az „x” kitéréssel (feltételezzük, hogy nyugalmi állapotban a rugót a tömeg súlya már előfeszítette). Az arányossági együttható, k a rugómerevség, egysége erő/elmozdulás (N/m):


F_s=- k x \!

A tömegre ható tehetetlenségi erő Newton 2. törvénye szerint arányos a gyorsulással:


\Sigma\ F = ma  =   m \ddot{x}  =  m \frac{d^2x}{dt^2}

A tömegre ható erők összege az alábbi közönséges differenciálegyenletre vezet:

m \ddot{x} + k x = 0.

Ha feltesszük, hogy a rezgés kezdetekor a rugót “A” értékkel megnyújtjuk, majd elengedjük, a mozgásegyenlet a következő alakú lesz:

x(t) =  A \ cos ( \omega_k t) = A \cos (2 \pi f_k  t) = A \sin \frac{2 \pi}{T} t \!, ahol T a periódusidő.

A megoldás azt mondja, hogy a rendszer “A” amplitúdójú és f_n frekvenciájú egyszerű harmonikus rezgőmozgást fog végezni. De mi is az f_k? f_k a rezgésanalízis egyik legfontosabb mennyisége, melyet csillapítatlan sajátfrekvenciának hívnak. Az f_k egytömegű lengőrendszer esetén:


f_k    =   {1\over {2 \pi}} \sqrt{k \over m} \!,

illetve az ennek megfelelő szögsebesség:


\omega_k  =  \sqrt{k \over m} \!.

Megjegyzés: Az \omega szögsebességet, (\omega=2 \pi f) radián/s egységgel gyakran használják az összefüggésekben, mert egyszerűvé teszi a kifejezéseket, a frekvencia mértékegysége a Hz, vagy azzal egyenlő rezgés/másodperc).

Ha ismerjük a rendszer tömegét és rugómerevségét, a fenti képlettel kiszámíthatjuk azt a frekvenciát, mellyel a rendszer rezegni fog, ha a nyugalmi helyzetéből egy kezdeti zavarás kitéríti, majd magára hagyjuk. Minden lengőrendszernek egy vagy több sajátfrekvenciája van, mellyel a szabad lengéseit (rezgéseit) végzi. Ennek az egyszerű összefüggésnek segítségével megmagyarázható, mi történik egy összetett rendszerrel, ha további tömeget vagy rugót adunk hozzá.

Például, ha egy teherautót teljesen megrakodnak, a rugózása érezhetően “lágyabb” lesz az üres kocsiéhoz képest, mivel a tömegét megnöveltük és így a sajátfrekvenciája csökkent.

Mi okozza a rendszer rezgését, ha nem hat rá gerjesztőerő?[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ezek a képletek leírják a mozgást, de nem magyarázzák meg, miért mozog a rendszer. A rendszer mozgása az energia megmaradásával magyarázható. A fenti példában “A” értékkel megnyújtottuk a rúgót és így \tfrac {1}{2} k A^2 potenciális energiát tároltunk a rugóban.

Ha elengedjük a rugót, a rugó igyekszik visszatérni terheletlen állapotába és ennek folyamán felgyorsítja a tömeget. Azon a ponton, ahol a rugó eléri terheletlen állapotát, nem tárol többé energiát, de a tömeg elért legnagyobb sebességét és így minden energia átalakult \tfrac {1}{2} m v^2 mozgási energiává. Ettől kezdve a tömeg mozgása lassulni fog, mert így a másik irányba nyomja össze a rugót és a mozgási energia fokozatosan átalakul ismét potenciális energiává. Az energiának ez az átalakulása kinetikus energiából potenciális energiává és vissza okozza a tömeg oszcilláló mozgását.

A fenti egyszerű modellben a tömeg a rezgést örökké folytatni fogja a kezdeti amplitúdóval, de a valóságos rendszerekre mindig hat valamiféle csillapítás, mely az energiát elnyeli és így a rendszer rezgése előbb-utóbb megszűnik.

Csillapított szabad rezgés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Csillapított szabad rezgés modellje

Az előbbi modellt most egészítsük ki viszkózus csillapítással, melyet az jellemez, hogy a csillapító erő arányos a tömeg sebességével. Ezt a csillapítást viszkózusnak nevezik, mivel a folyadék csillapítását modellezi. A “c” arányossági tényezőt csillapítási tényezőnek nevezik, mértékegysége N s/m.


F_cs  =  - c v  = - c \dot{x} =  - c \frac{dx}{dt} \!

Összegezve a tömegre ható erőket az alábbi közönséges differenciálegyenletet kapjuk:

m \ddot{x} + { c } \dot{x} + {k } x = 0.

Az egyenlet megoldása a csillapítás mértékétől függ. Ha a csillapítás eléggé kicsi, a rendszer rezegni fog, de idővel megszűnik a rezgése. Ez az eset a gyakorlat szempontjából a legfontosabb. Ha a csillapítást addig növeljük, míg a rendszer éppen megszűnik rezegni, akkor elértük a kritikus csillapítást. A kritikus csillapításhoz tartozó csillapítási tényező értéke egytömegű lengőrendszer esetén:

c_k= 2 \sqrt{k m}

A rendszer csillapításának mértékéül a csillapítási viszonyt vezették be. (Ezt csillapítási faktornak vagy a kritikus csillapítás %-ának is hívják). Ez a csillapítási viszony a tényleges csillapítási tényező és a kritikus csillapítási tényező hányadosa. Képlete az egytömegű lengőrendszer esetén:

\zeta = { c \over 2 \sqrt{k m} }.

A fémszerkezetek (például egy repülőgép törzs, belsőégésű motor forgattyús tengelye) csillapítási viszonya 0,05-nél kevesebb, gépkocsi kerékfelfüggesztése esetén 0,2-0,3 között van.

A csillapított modell differenciálegyenletének megoldása:

Szabadrezgés 0,1 és 0,3 csillapítási tényezővel
x(t)=X  e^{-\zeta \omega_k t} \cos({\sqrt{1-\zeta^2} \omega_k t - \phi}) , \    \ \omega_k= 2\pi f_k

“X” értéke a kitérés kezdeti értéke és  \phi a fázisszög. Ezeknek az értékeknek a képlete a referenciákban található.

A képletben két dolgot kell kiemelni. Az egyik az exponenciális kifejezés, amely azt mutatja, hogy a rezgés milyen gyorsan csillapodik le – minél nagyobb a csillapítási viszony, annál gyorsabban tart a kitérés nullához. A másik a koszinusz függvény, ez az eredmény oszcilláló része, de a rezgés frekvenciája eltér a csillapítás nélküli esetétől.

Az  f_{cs} sajátfrekvenciát ebben az esetben csillapított sajátfrekvenciának nevezik, összefüggése a csillapítatlan sajátfrekvenciával az alábbi:

f_{cs} = \sqrt{1-\zeta^2} f_k

A csillapított sajátfrekvencia kisebb, mint a csillapítatlan, de sok gyakorlati esetben a csillapítási viszony kicsi és így a különbség elhanyagolható. Ezért a csillapított és csillapítatlan jelzőt gyakran elhagyják a sajátfrekvencia elől (például 0,1 csillapítási viszonynál a csillapított sajátfrekvencia csak 1%-kal kisebb, mint a csillapítatlan).

A jobb oldali diagramok azt mutatják, hogy 0,1 és 0,3 csillapítási viszony esetén hogy cseng le a rezgés. A gyakorlatban gyakran úgy mérik a csillapítást, hogy egy ütés (például kalapácsütés) után kísérletileg meghatározzák a sajátfrekvenciát a lengések gyakoriságából és a csillapítási viszonyt a kitérések csökkenésének mértékéből. A sajátfrekvencia és a csillapítási viszony ismerete nemcsak a szabadlengések esetén fontos, hanem meghatározza a rendszer viselkedését a gerjesztett rezgések esetén is.

Gerjesztett rezgés csillapítással[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ebben a fejezetben az egytömegű, csillapított lengőrendszer viselkedését vizsgáljuk az alábbi harmonikus gerjesztőerő hatására. Ilyen gerjesztést például forgó, kiegyensúlyozatlan tömeg kelt.

F= F_0 \cos {(2 \pi f t)} \!

Ha ismét összegezzük a lengőrendszer tömegére ható erőket, az alábbi közönséges differenciálegyenletet kapjuk:

m \ddot{x} + { c } \dot{x} + {k } x = F_0 \cos {(2 \pi f t)}

Ennek az állandósult állapothoz tartozó megoldása:

x(t)= X \cos {(2 \pi f t -\varphi)} \!

Az eredmény szerint a tömeg a gerjesztés f frekvenciájával fog rezegni, de  \phi fáziskéséssel.

A rezgés “X” amplitúdóját az alábbi képlet határozza meg:

X= {F_0 \over k} {1 \over \sqrt{(1-r^2)^2 + (2 \zeta r)^2}}

Ahol “r” a harmonikus gerjesztés frekvenciájának és a csillapítás nélküli egytömegű lengőrendszer sajátfrekvenciájának hányadosa:

r=\frac{f}{f_n}

A \varphi fáziskésés pedig:

\varphi= \mathrm{arctg} {\left (\frac{2 \zeta r}{1-r^2} \right)}
Gerjesztett rezgés

Ezeknek a függvényeknek a grafikonjai, melyeket a rendszer gerjesztésre adott válaszának neveznek, a gerjesztett rezgés legfontosabb jellemzőit tartalmazzák. Gyengén csillapított rendszernél, ahol a gerjesztés frekvenciája a sajátfrekvenciához közel esik, igen nagy rezgésamplitudó léphet fel. Ezt a jelenséget rezonanciának nevezik (emiatt a rendszer sajátfrekvenciáját gyakran rezonancia-frekvenciának is hívják).

A mechanikai rendszerekben fellépő rezonancia igen káros lehet – esetleg a rendszer meghibásodásához is vezethet. Ennélfogva a rezgésanalízis egyik fő oka az, hogy meghatározzuk, hol léphet fel rezonancia, és milyen rendszabályokat kell tenni, hogy elkerüljük fellépését. Az amplitúdó diagramja jól mutatja, hogy a rendszer csillapítását növelve érezhetően csökkenthető a rezgés erőssége. Hasonlóképpen a rezgéserősség csökkenthető, ha a sajátfrekvenciát eléggé messze visszük a gerjesztés frekvenciájától megváltoztatva a rendszer merevségét vagy tömegét. Ezt a műveletet nevezik elhangolásnak. Ha a rendszert nem lehet megváltoztatni, esetleg a gerjesztés frekvenciáján lehet változtatni (például megváltoztatni a gerjesztést létrehozó gép fordulatszámát).

Az alábbiakban a gerjesztésre adott frekvencia-válasz néhány további szempontját mutatjuk be.

  • Adott frekvencia viszonynál az X rezgésamplitúdó egyenesen arányos az F_0 gerjesztőerő-amplitúdóval (vagyis például kétszer nagyobb erőre kétszer erősebb rezgés a válasz).
  • Csillapítás nélküli vagy kis csillapítású esetben a rezgés és a gerjesztőerő fázisban van, ha r < 1 és 180º-ot késik, ha a frekvenciaviszony r > 1-nél.
  • Ha r<<1, az amplitúdó megegyezik a rugó kitérésével F_0 statikus erő hatására. Így r<<1 esetén a tömeg és csillapítás hatása minimális.
  • Ha r>>1, a rezgésamplitúdó kisebb, mint a rugó statikus erő hatására bekövetkező \delta_{st} kitérése. Ebben a tartományban a tömeg által keltett F=ma erő hatása érvényesül, mert a gyorsulás növekszik a frekvenciával. Mivel az X rugókitérés csökken ebben a tartományban, az F=kx rugóerő is csökken. Ezért a tömeg-rugó-csillapítás rendszer alapja a harmonikus gerjesztőerőtől szigetelt lesz, ezért az ilyen rendszert rezgésszigetelésnek hívják. Érdekességképpen megemlítjük, hogy a csillapítás növelése rontja a rezgésszigetelés hatásosságát, ha r>>1, mivel az F=cv csillapító erő is átadódik az alapnak.

Mi okozza a rezonanciát?[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A rezonanciát egyszerű megérteni, ha a tömeget kinetikus energiatárolónak, a rugót potenciális energiatárolónak fogjuk fel. Ahogy korábban láttuk, ha sem a tömegre sem a rugóra nem hat külső erő, akkor a két energiafajtát folytonosan átalakítják egymásba a sajátfrekvencia gyakoriságával. Más szóval, ha hatékonyan közlünk energiát a tömeggel vagy a rúgóval, akkor a szabadlengések ütemében kell betáplálni az energiát. A tömeggel és a rugóval energiát közölni hasonló művelet, mint ahogy egy gyereket lökünk a hintán, a megfelelő pillanatban kell meglökni a hintát ahhoz, hogy egyre magasabbra repüljön. Ugyanúgy, mint a hinta esetében, az alkalmazott erőnek nem kell nagynak lennie ahhoz, hogy heves mozgást érjünk el. Csak arról kell gondoskodni, hogy az energiaátadás a megfelelő időben következzék be.

A csillapítás energiatárolás helyett felemészti az energiát. Mivel a csillapítóerő arányos a sebességgel, minél kisebb a kitérés (középső holtpontban a sebesség maximális, a gyorsulás nulla), annál több energiát nyel el a csillapítás. Ezért be fog következni egy ponton az, hogy a gerjesztő erő által betáplált energia és a csillapítás által elnyelt energia egyenlő lesz. Ennél az állapotnál a rendszer rezgési amplitúdója legnagyobb értékét éri el, és ezzel az amplitúdóval fog rezegni, amíg a gerjesztés változatlan marad. Ha nincs csillapítás, nincs ami elnyelje az energiát, és ezért elvileg a kitérés végtelenig fokozódik.

Összetett gerjesztés hatása az egytömegű lengőrendszerre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hogyan lehet harmonikus komponenseiből előállítani a négyszöghullámot

Eddig csak egy egyszerű harmonikus erőt vettünk figyelembe, de ez modell kiterjeszthető a több gerjesztő erő esetére is két fontos matematikai eszköz segítségével.

Az első a Fourier-transzformáció, mely az idő függvényében adott jelet harmonikus összetevőire bontja, így a frekvencia függvényébe képezi le. Például hasson egy tömeg-rugó-csillapítás modellre a következő ismétlődő gerjesztőerő ciklus: egy 1 newton nagyságú állandó erő 0,5 másodperig, majd 0,5 másodpercig ne hasson rá semmilyen erő. Az ilyen típusú gerjesztést 1 Hz-es négyszöghullámnak hívják.

A négyszöghullám Fourier-transzformáltja egy frekvencia spektrum lesz, vagyis sok egyszerű, de különböző frekvenciájú és amplitúdójú harmonikus rezgés összege, melyekből a négyszöghullám felépül. (A fázisszögek szintén meghatározhatók, de ezek kisebb jelentőségűek, legtöbbször nincs rájuk szükség.)

A Fourier-transzformáció nem periodikus függvények (impulzusok, véletlenszerű függvények) analizálására is alkalmas. A számítógépek a gyors Fourier-transzformáció (FFT) ablakfüggvényes változatával végzik ezeket a számításokat.

A példabeli négyszöghullám esetében (lásd az ábrát) az első komponens egy állandó 0,5 newton nagyságú erő, melyet a 0 Hz-hez tartozó érték képvisel a frekvenciaspektrumban. A következő komponens az 1 Hz frekvenciájú 0,64 amplitúdójú szinuszhullám. Ezt az ábrán az 1 Hz-nél felrajzolt függőleges egyenes jeleníti meg. A további komponensek a páratlan számú frekvenciákon látható végtelen sok szinuszhullámból állnak, melyek összességükben kiadják a négyszöghullámot. Ilyen módon a Fourier-transzformáció segítségével lehetővé válik a bonyolult alakú erőket harmonikus komponenseire bontani. Bár tetszőleges gerjesztés esetén (így a négyszöghullám esetén is) a Fourier-transzformáció végtelen sok harmonikus komponenst eredményez, gyakorlati vizsgálatokhoz (ahogy az ábrából is látható) az első néhány összetevő figyelembevétele elegendő, mert a magasabb frekvenciájú összetevők amplitúdója egyre kisebb.

Az előzőekben a gerjesztett rezgés időfüggvénye egyetlen harmonikus lefutású erőre lett megadva, de a Fourier-transzformáció általában több harmonikus erőt eredményez. Ha a rendszer lineáris, az egymástól függetlenül kiszámolt részmegoldásokat összegezni lehet a szuperpozíció elve értelmében. A tömeg-rugó-csillapítás modell esetén a rendszer lineáris, ha a rugóerő arányos a kitérítéssel és a csillapító erő arányos a tömeg mindenkori sebességével az egész működési tartományban. Így a rendszer válasza a négyszöghullám alakú gerjesztésre a harmonikus komponensekre adott válasz összegeként meghatározható.

Frekvencia válasz modell[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Frekvencia válasz-modell

Ebben a modellben a megoldást a bemenet (gerjesztés) és a kimenet (rezgésamplitudó) egymáshoz való viszonyában keressük. Ha a gerjesztőerőt és a rezgéserősséget az \omega \, frekvencia függvényének tekintjük, akkor felírhatjuk a következő egyenletet:

X(\omega)=H(\omega)* F(\omega) \ \ vagy \ \ H(\omega)= {X(\omega) \over F(\omega)}

A H(\omega) \, függvényt frekvencia válasz függvénynek vagy frekvencia átviteli függvénynek nevezik (ez utóbbi pontatlanabb elnevezés) és ha komplex számként definiáljuk, melynek valós és képzetes része is van, akkor nemcsak a rezgésamplitudót, hanem a fázisszöget is tartalmazza. A frekvencia válaszfüggvény egytömegű csillapított lengőrendszerre már a korábbiakban bemutatásra került:

|H(\omega)|=\left |{X(\omega) \over F(\omega)} \right|= {1 \over k} {1 \over \sqrt{(1-r^2)^2 + (2 \zeta r)^2}}

ahol:

r=\frac{f}{f_n}=\frac{\omega}{\omega_n}

A fázisszög a korábbiak ismeretében:

\varphi=\angle H(\omega)= \mathrm{arctg} {\left (\frac{2 \zeta r}{1-r^2} \right)}

Például számítsuk ki egy 1 kg tömegből, 1,93 N/mm rugómerevségű rugóból és 0,1 csillapítású rendszernek a frekvencia válaszát. A csillapítás nélküli rendszer sajátfrekvenciája erre az esetre 7 Hz. Ha az előbbiekben vizsgált 1 Hz-es frekvenciájú négyszöghullámú gerjesztést alkalmazzuk a rendszerre, kiszámíthatjuk a frekvenciaválaszt. Az ábrán látható az eredményezett rezgés frekvenciaspektruma. A példa esetében a négyszöghullám negyedik harmonikusa 7 Hz-re esik. Az egytömegű lengőrendszer válasza 7 Hz-en tehát viszonylag nagy amplitudót eredményez annak ellenére, hogy a gerjesztőerő 7 Hz-es harmonikus komponense viszonylag alacsony értékű. A példa azt mutatja, hogy az eredményezett rezgés erőssége mind a gerjesztés erősségétől, mind a rendszer tulajdonságaitól függ.

A frekvencia válasz függvényt nemcsak a rendszer tömeg-, merevségi és csillapítási viszonyainak ismeretével lehet kiszámítani, hanem méréssel is meg lehet határozni. Például, ha ismert amplitudójú, de változó frekvenciájú harmonikus erővel gerjesztjük a rendszert, mérni lehet a rendszer válaszrezgéseit és így megismerhetők a rendszer rezgéstani jellemzői.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]