Relativisztikus Doppler-effektus

Egy jobbra mozgó, 0.7c sebességű fényforrás. A frekvencia magasabb a jobb oldalon, alacsonyabb a balon.

A relativisztikus Doppler-effektus kiszámítása a klasszikus Doppler-effektushoz hasonlóan történik, azzal a különbséggel, hogy a Galilei-transzformáció helyett a Lorentz-transzformációt alkalmazzuk a forrás és a közeg, illetve a közeg és a megfigyelő közötti váltásoknál.

Egydimenziós eset vizsgálata

Vizsgáljuk először az egydimenziós esetet, legyen a közeghez rögzített koordináta-rendszerben $c$, $w$, $f$, $v_f$, $m$, $v_m$ rendre a fénysebesség, a hullámsebesség, a forrás helye, sebessége, a megfigyelő helye és sebessége. Legyen továbbá $n$=1, ha a hullámok balról (negatív irányból) érik a megfigyelőt, és $n$=-1, ha jobbról (pozitív irányból).

Ha a forrás mozog és a megfigyelő áll, a tapasztalt frekvencia:

$f = f_0 \sqrt {1-\frac {v_f^2}{c^2}} \frac {w}{|w - nv_f|}$

Ha a megfigyelő mozog és a forrás áll, a képlet a következő:

$f = f_0 \frac {1} {\sqrt {1-\frac {v_m^2}{c^2}}} \frac {|w - nv_m|}{w}$

Az általános esetben (a forrás és a megfigyelő is mozog):

$f = f_0 \frac {\sqrt {1-\frac {v_f^2}{c^2}}} {\sqrt {1-\frac {v_m^2}{c^2}}} \frac {|w - nv_m|}{|w - nv_f|} = f_0 \frac {\sqrt {c^2-v_f^2}} {\sqrt {c^2-v_m^2}} \frac {|w - nv_m|}{|w - nv_f|}$

Abban a speciális esetben ha $w=c$, a képletek a következőképpen egyszerűsödnek (az előbbivel azonos sorrendben felírva):

$f = f_0 \sqrt {\frac {c + nv_f} {c - nv_f}}$

$f = f_0 \sqrt {\frac {c - nv_m} {c + nv_m}}$

$f = f_0 \sqrt {\frac {c + nv_f} {c - nv_f}} \sqrt {\frac {c - nv_m} {c + nv_m}}$

Legyen $v_r$ a megfigyelő forráshoz viszonyított sebessége (a relativisztikus sebesség-összeadás szabályai szerint):

$v_r = \frac {v_m - v_f}{1 - \frac{v_m v_f}{c^2}}$

Ekkor a képletek a $v_r$ felhasználásával a következő alakban foglalhatók össze:

$f = f_0 \sqrt {\frac {c - nv_r} {c + nv_r}}$

Ebből a formából látható, hogy fénysebességű hullámok esetében a közeghez viszonyított sebességnek nincs jelentősége, csak a forrás és a megfigyelő egymáshoz viszonyt sebessége befolyásolja a mérhető frekvenciát.

Többdimenziós eset vizsgálata

A többdimenziós eset vizsgálatánál $\mathbf{f}, \mathbf{m}, \mathbf{v}_f, \mathbf{v}_m$ vektorok lesznek, $w$ és $c$ továbbra is skalár. (Továbbra is feltesszük hogy a forrás és a megfigyelő egyenesvonalú egyenletes mozgást végez, és hogy a forrás frekvenciája állandó.) Először oldjuk meg τ-re az alábbi egyenletet:

$|\mathbf{m}-(\mathbf{f}-\tau\mathbf{v}_f)|=w \tau$

Ha található egy (esetleg két) megfelelő τ érték, akkor jelölje $n$ (pontosabban $n_\tau$) a képletben szereplő vektor irányába mutató egységvektort:

$\mathbf{n} := \frac {\mathbf{m}-(\mathbf{f}-\tau\mathbf{v}_f)} {|\mathbf{m}-(\mathbf{f}-\tau\mathbf{v}_f)|}$

Ezen egységvektor felhasználásával az egydimenziós esetből kapott képleteket az alábbi formában írhatjuk fel (azonos sorrendben: mozgó forrás, mozgó megfigyelő, mindkettő mozog):

$f = f_0 \sqrt {1-\frac {\mathbf{v}_f^2}{c^2}} \frac {w}{|w - \mathbf{n}\mathbf{v}_f|}$

$f = f_0 \frac {1} {\sqrt {1-\frac {\mathbf{v}_m^2}{c^2}}} \frac {|w - \mathbf{n}\mathbf{v}_m|}{w}$

$f = f_0 \frac {\sqrt {1-\frac {\mathbf{v}_f^2}{c^2}}} {\sqrt {1-\frac {\mathbf{v}_m^2}{c^2}}} \frac {|w - \mathbf{n}\mathbf{v}_m|}{|w - \mathbf{n}\mathbf{v}_f|} = f_0 \frac {\sqrt {c^2-v_f^2}} {\sqrt {c^2-v_m^2}} \frac {|w - \mathbf{n}\mathbf{v}_m|}{|w - \mathbf{n}\mathbf{v}_f|}$

Az egydimenziós esethez hasonlóan itt is egyszerűsödnek a képletek abban a speciális esetben, ha w=c, azaz a fénysebességgel terjedő hullámokról van szó:

$f = f_0 \sqrt {\frac {c + \mathbf{n}\mathbf{v}_f} {c - \mathbf{n}\mathbf{v}_f}}$

$f = f_0 \sqrt {\frac {c - \mathbf{n}\mathbf{v}_m} {c + \mathbf{n}\mathbf{v}_m}}$

$f = f_0 \sqrt {\frac {c + \mathbf{n}\mathbf{v}_f} {c - \mathbf{n}\mathbf{v}_f}} \sqrt {\frac {c - \mathbf{n}\mathbf{v}_m} {c + \mathbf{n}\mathbf{v}_m}}$

Figyelem, ezen a ponton nem ismételhetjük meg mechanikusan az egydimenziós eset utolsó képletét, mivel az $\mathbf{n}$ vektort a közeghez rögzített rendszerben számoltuk ki. Ha $\mathbf{v}_r$ a megfigyelő sebessége a forráshoz képest, és $\mathbf{n}_r$-t a forráshoz rögzített rendszerben számoltuk ki, akkor használhatjuk ezt a formát:

$f = f_0 \sqrt {\frac {c - \mathbf{n}_r\mathbf{v}_r} {c + \mathbf{n}_r\mathbf{v}_r}}$

Geometriai levezetés

Kékeltolódás

Jelölések: $c\,$ a fénysebesség, $v\,$ a megfigyelő a jel forráshoz való közeledésének a sebessége, $T_0\,$ a jel kibocsátások időkülönbsége, $T\,$ a megfigyelő által észlelt időkülönbség, $t\,$ pedig egy segédváltozó.

Az ábráról látszik, hogy $cT_0=ct+vt\,$ azaz $t=\frac{c}{c+v}T_0$. Ha ezt átírnánk frekvenciára pont a klasszikus Doppler-effektust kapnánk.

Az idődilatáció miatt:

$T=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot t$

Ezekből

$T=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot\frac{cT_0}{c+v}=\frac{\sqrt{1-v/c}}{\sqrt{1+v/c}}\cdot T_0$

Mivel a frekvencia a hullámhossz reciprokával arányos, így azt kapjuk, hogy

$f=\frac{\sqrt{1+v/c}}{\sqrt{1-v/c}}\cdot f_0$

Vöröseltolódás

Távolodó megfigyelő esetén $cT_0=ct-vt\,$ azaz $t=\frac{cT_0}{c-v}$ Ezért a megfelelő formula:

$f=\frac{\sqrt{1-v/c}}{\sqrt{1+v/c}}\cdot f_0$

Amit úgy is megkaphatunk, hogy $v\,$ helyére $-v\,$-t helyettesítünk.

Alkalmazás

Sebességmérés radar használatával

A forráshoz képest mozgó tárgyról visszaverődő fény (elektromágneses hullám), kétszeres Doppler-transzformációt szenved el, tehát a visszavert jel frekvenciája:

$f = f_0 \sqrt {\frac {c - nv_r} {c + nv_r}}^2 = f_0 \frac {c - nv_r} {c + nv_r}$

Ez a képlet felhasználható a v_r sebesség kiszámítására:

$nv_r = c \frac {f_0 - f} {f_0 + f}$

Látható, hogy a frekvencia csökkenése (f < f₀) távolodó mozgást ($nv_r > 0$) jelent, a frekvencia növekedése (f > f₀) pedig közeledő mozgást ($nv_r < 0$).

Külső hivatkozás

• Interaktív Java szimuláció a klasszikus és a relativisztikus Doppler-effektusról. Szerző: Wolfgang Christian