Relativisztikus Doppler-effektus

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Egy jobbra mozgó, 0.7c sebességű fényforrás. A frekvencia magasabb a jobb oldalon, alacsonyabb a balon.

A relativisztikus Doppler-effektus kiszámítása a klasszikus Doppler-effektushoz hasonlóan történik, azzal a különbséggel, hogy a Galilei-transzformáció helyett a Lorentz-transzformációt alkalmazzuk a forrás és a közeg, illetve a közeg és a megfigyelő közötti váltásoknál.

Egydimenziós eset vizsgálata[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vizsgáljuk először az egydimenziós esetet, legyen a közeghez rögzített koordináta-rendszerben c, w, f, v_f, m, v_m rendre a fénysebesség, a hullámsebesség, a forrás helye, sebessége, a megfigyelő helye és sebessége. Legyen továbbá n=1, ha a hullámok balról (negatív irányból) érik a megfigyelőt, és n=-1, ha jobbról (pozitív irányból).

Ha a forrás mozog és a megfigyelő áll, a tapasztalt frekvencia:

f = f_0 \sqrt {1-\frac {v_f^2}{c^2}} \frac {w}{|w - nv_f|}

Ha a megfigyelő mozog és a forrás áll, a képlet a következő:

f = f_0 \frac {1} {\sqrt {1-\frac {v_m^2}{c^2}}} \frac {|w - nv_m|}{w}

Az általános esetben (a forrás és a megfigyelő is mozog):

f = f_0 \frac {\sqrt {1-\frac {v_f^2}{c^2}}} {\sqrt {1-\frac {v_m^2}{c^2}}} \frac {|w - nv_m|}{|w - nv_f|} = f_0 \frac {\sqrt {c^2-v_f^2}} {\sqrt {c^2-v_m^2}} \frac {|w - nv_m|}{|w - nv_f|}

Abban a speciális esetben ha w=c, a képletek a következőképpen egyszerűsödnek (az előbbivel azonos sorrendben felírva):

f = f_0 \sqrt {\frac {c + nv_f} {c - nv_f}}
f = f_0 \sqrt {\frac {c - nv_m} {c + nv_m}}
f = f_0 \sqrt {\frac {c + nv_f} {c - nv_f}} \sqrt {\frac {c - nv_m} {c + nv_m}}

Legyen v_r a megfigyelő forráshoz viszonyított sebessége (a relativisztikus sebesség-összeadás szabályai szerint):

v_r = \frac {v_m - v_f}{1 - \frac{v_m v_f}{c^2}}

Ekkor a képletek a v_r felhasználásával a következő alakban foglalhatók össze:

f = f_0 \sqrt {\frac {c - nv_r} {c + nv_r}}

Ebből a formából látható, hogy fénysebességű hullámok esetében a közeghez viszonyított sebességnek nincs jelentősége, csak a forrás és a megfigyelő egymáshoz viszonyt sebessége befolyásolja a mérhető frekvenciát.

Többdimenziós eset vizsgálata[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A többdimenziós eset vizsgálatánál \mathbf{f}, \mathbf{m}, \mathbf{v}_f, \mathbf{v}_m vektorok lesznek, w és c továbbra is skalár. (Továbbra is feltesszük hogy a forrás és a megfigyelő egyenesvonalú egyenletes mozgást végez, és hogy a forrás frekvenciája állandó.) Először oldjuk meg τ-re az alábbi egyenletet:

|\mathbf{m}-(\mathbf{f}-\tau\mathbf{v}_f)|=w \tau

Ha található egy (esetleg két) megfelelő τ érték, akkor jelölje n (pontosabban n_\tau) a képletben szereplő vektor irányába mutató egységvektort:

\mathbf{n} := \frac {\mathbf{m}-(\mathbf{f}-\tau\mathbf{v}_f)} {|\mathbf{m}-(\mathbf{f}-\tau\mathbf{v}_f)|}

Ezen egységvektor felhasználásával az egydimenziós esetből kapott képleteket az alábbi formában írhatjuk fel (azonos sorrendben: mozgó forrás, mozgó megfigyelő, mindkettő mozog):

f = f_0 \sqrt {1-\frac {\mathbf{v}_f^2}{c^2}} \frac {w}{|w - \mathbf{n}\mathbf{v}_f|}
f = f_0 \frac {1} {\sqrt {1-\frac {\mathbf{v}_m^2}{c^2}}} \frac {|w - \mathbf{n}\mathbf{v}_m|}{w}
f = f_0 \frac {\sqrt {1-\frac {\mathbf{v}_f^2}{c^2}}} {\sqrt {1-\frac {\mathbf{v}_m^2}{c^2}}} \frac {|w - \mathbf{n}\mathbf{v}_m|}{|w - \mathbf{n}\mathbf{v}_f|} = f_0 \frac {\sqrt {c^2-v_f^2}} {\sqrt {c^2-v_m^2}} \frac {|w - \mathbf{n}\mathbf{v}_m|}{|w - \mathbf{n}\mathbf{v}_f|}

Az egydimenziós esethez hasonlóan itt is egyszerűsödnek a képletek abban a speciális esetben, ha w=c, azaz a fénysebességgel terjedő hullámokról van szó:

f = f_0 \sqrt {\frac {c + \mathbf{n}\mathbf{v}_f} {c - \mathbf{n}\mathbf{v}_f}}
f = f_0 \sqrt {\frac {c - \mathbf{n}\mathbf{v}_m} {c + \mathbf{n}\mathbf{v}_m}}
f = f_0 \sqrt {\frac {c + \mathbf{n}\mathbf{v}_f} {c - \mathbf{n}\mathbf{v}_f}} \sqrt {\frac {c - \mathbf{n}\mathbf{v}_m} {c + \mathbf{n}\mathbf{v}_m}}

Figyelem, ezen a ponton nem ismételhetjük meg mechanikusan az egydimenziós eset utolsó képletét, mivel az \mathbf{n} vektort a közeghez rögzített rendszerben számoltuk ki. Ha \mathbf{v}_r a megfigyelő sebessége a forráshoz képest, és \mathbf{n}_r-t a forráshoz rögzített rendszerben számoltuk ki, akkor használhatjuk ezt a formát:

f = f_0 \sqrt {\frac {c - \mathbf{n}_r\mathbf{v}_r} {c + \mathbf{n}_r\mathbf{v}_r}}

Geometriai levezetés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelölések: c\, a fénysebesség, v\, a megfigyelő a jel forráshoz való közeledésének a sebessége, T_0\, a jel kibocsátások időkülönbsége, T\, a megfigyelő által észlelt időkülönbség, t\, pedig egy segédváltozó.

Az ábráról látszik, hogy cT_0=ct+vt\, azaz  t=\frac{c}{c+v}T_0. Ha ezt átírnánk frekvenciára pont a klasszikus Doppler-effektust kapnánk.

Az idődilatáció miatt:

T=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot t

Ezekből

T=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot\frac{cT_0}{c+v}=\frac{\sqrt{1-v/c}}{\sqrt{1+v/c}}\cdot T_0

Mivel a frekvencia a hullámhossz reciprokával arányos, így azt kapjuk, hogy

f=\frac{\sqrt{1+v/c}}{\sqrt{1-v/c}}\cdot f_0

Távolodó megfigyelő esetén cT_0=ct-vt\, azaz  t=\frac{cT_0}{c-v} Ezért a megfelelő formula:

f=\frac{\sqrt{1-v/c}}{\sqrt{1+v/c}}\cdot f_0

Amit úgy is megkaphatunk, hogy v\, helyére -v\,-t helyettesítünk.

Alkalmazás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sebességmérés radar használatával[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A forráshoz képest mozgó tárgyról visszaverődő fény (elektromágneses hullám), kétszeres Doppler-transzformációt szenved el, tehát a visszavert jel frekvenciája:

f = f_0 \sqrt {\frac {c - nv_r} {c + nv_r}}^2 =
f_0 \frac {c - nv_r} {c + nv_r}

Ez a képlet felhasználható a vr sebesség kiszámítására:

nv_r = c \frac {f_0 - f} {f_0 + f}

Látható, hogy a frekvencia csökkenése (f < f0) távolodó mozgást (nv_r > 0) jelent, a frekvencia növekedése (f > f0) pedig közeledő mozgást (nv_r < 0).

Külső hivatkozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]