Rayleigh-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűség-számítás elméletében, és a statisztika területén a Rayleigh-eloszlás egy folytonos valószínűség eloszlás.

A Rayleigh-eloszlás gyakran megfigyelhető, amikor egy vektor nagyságrendje kapcsolatban van az irány komponenseivel.

Egy tipikus példa a Rayleigh-eloszlásra, mely a természetben is megfigyelhető, amikor a szél sebességét analizálják az ortogonális kétdimenziós vektor komponensei szerint. Feltételezve, hogy a komponenseknek nincs korrelációjuk egymással, és normális eloszlásúak, hasonló szórásnégyzettel, akkor a szél sebességét a Rayleigh-eloszlás jellemzi.

Egy következő példa az algebrából: véletlenszerű komplex számok esetében, ahol a valós és imaginárius komponensek függetlenek és azonos eloszlásúak. Ebben az esetben a komplex szám abszolút értéke Rayleigh-eloszlású.

Az eloszlást felfedezőjéről, John William Strutt, Rayleigh III. lordjáról nevezik Rayleigh-eloszlásnak.

A Rayleigh-féle valószínűségsűrűség-függvény:

f(x;\sigma) = \frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2/2\sigma^2}, \quad x \geq 0,

ahol \sigma >0, és a kumulatív eloszlás függvény:

F(x) = 1 - e^{-x^2/2\sigma^2}

ahol x \in [0,\infty).

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Rayleigh-eloszlás sűrűségfüggvénye
Rayleigh-féle kumulatív eloszlásfüggvény

A nyers momentum:

\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,

ahol \Gamma(z) a gamma függvény. A Rayleigh-féle valószínűségi változó középértéke és szórásnégyzete:

\mu(X) = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}\ \approx 1.253 \sigma,

és

\textrm{var}(X) = \frac{4 - \pi}{2} \sigma^2\ \approx 0.429 \sigma^2.
 f_\text{max} = f(\sigma;\sigma) = \frac{1}{\sigma} e^{-\frac{1}{2}} \approx \frac{0.606}{\sigma}

A ferdeség:

\gamma_1=\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}} \approx 0.631.

A többlet lapultság:

\gamma_2=-\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2} \approx 0.245.

A karakterisztikus függvény:

\varphi(t)=1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)

ahol \operatorname{erfi}(z) a képzetes hibafüggvény.

A momentum-generáló függvény:

M(t)=1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right),

ahol \operatorname{erfi}(z) a hibafüggvény.

Információ entrópia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az információ entrópia, vagyis a Shannon-entrópiafüggvény: H=1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}

ahol \gamma az Euler–Mascheroni állandó.

Paraméter becslés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

N darab független és azonos eloszlású Rayleigh-eloszlású valószínűségi változó esetén a \sigma maximális valószínűsége:

\hat{\sigma}\approx \!\,\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=1}^N x_i^2}.

A \sigma értékének becslése az MRI képalkotó technikában is használatos, ahol az MRI képelemek komplex alkotókból állnak, és a háttér adat Rayleigh-eloszlású. A fenti összefüggés segítségével megbecsülhető a hiba szórás a MRI háttér adatokból.[1][2]

Rayleigh-eloszlású valószínűségi változók generálása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha adva van egy állandó eloszlásból származó U valószínűségi változó, (0, 1) tartományban, akkor a valószínűségi változó:

X=\sigma\sqrt{-2 \ln(1-U)}\,

Rayleigh-eloszlású lesz \sigma paraméterrel. Ez a kumulatív eloszlás függvényből következik. Ha U egységes (uniformizált), (1–U)-nak is hasonló tulajdonsága lesz, a fenti összefüggés egyszerűsíthető:

X=\sigma\sqrt{-2 \ln(U)}.

Megjegyzés: ha véletlen számokat generálunk [0,1) tartományban, a zérót kizárjuk, hogy elkerüljük a zéró természetes logaritmusát.

Kapcsolódó eloszlások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ha R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma) Rayleigh-eloszlású, akkor R = \sqrt{X^2 + Y^2}, ahol X \sim N(0, \sigma^2), és Y \sim N(0, \sigma^2) független normál valószínűségi változók.(Ez teszi lehetővé a \sigma szimbólum alkalmazását a fenti Rayleigh-sűrűségfüggvény parametrizálásánál.
  • Ha R \sim \mathrm{Rayleigh} (1), akkor R^2 khí-négyzet eloszlású. két szabadságfokkal: R^2 \sim \chi^2_2
  • Ha X exponenciális eloszlású , akkor X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda), then Y=\sqrt{2X\sigma^2\lambda} \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma).
  • Ha R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma), akkor \sum_{i=1}^N R_i^2 gamma-eloszlású, N and 2\sigma^2: [Y=\sum_{i=1}^N R_i^2] \sim \Gamma(N,2\sigma^2) paraméterekkel.
  • A Khí-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása
  • A Rice-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása
  • A Weibull-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása. Ez esetben a sigma paraméter kapcsolódik a Weibull-skálaparaméterhez \lambda:

\lambda = \sigma \sqrt{2}.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]