Rögzített csomópontú integrálás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A numerikus analízisben azok az eljárások, amelyek esetén az optimalizálás kizárólag a súlyok által történik. Polinomiális interpolációra alapozott integrálási módszerek vagy egyenlő közű csomópontok módszerei. Lényegében az intervallumot egyenlő részekre osztjuk úgy, hogy , ahol .

Lagrange-féle interpolációs módszer[szerkesztés]

A módszer lényege abban áll, hogy a primitív függvénnyel nem rendelkező ƒ(x) függvényt megközelítjük a Lagrange-féle interpolációs polinommal, melynek primitív függvényét könnyen ki tudjuk értékelni.

Egy -ed fokú polinomtól megkívánható, hogy áthaladjon az darab ponton. Az ból következik, hogy .

A Lagrange-interpolációs módszer tökéletes pontosságú megközelítést biztosít, amennyiben .

Innen következik, hogy -nek az polinommal való közelítése egzakt, ha az értékpárok egy vagy annál kisebb fokú polinom behelyettesítési értékeinek kiszámításából származnak.

Ismeretlen együtthatók módszere[szerkesztés]

Megfordítva a gondolatmenetet, kimutatható, hogy amennyiben a közelítés egzakt minden olyan polinomra, melynek foka ≤ n, akkor az együtthatókra fennáll .

Ezt könnyen igazolhatjuk, figyelembe véve, hogy és ugyanakkor a összefüggéseket. Ennek következményeképpen, ha megköveteljük, hogy az elemi polinomokra, melyek kifeszítik a teret, egzaktul fennálljon , akkor az darab -re felírt lineáris egyenlet megoldásaként megkapjuk a keresett együtthatókat.

Példaképpen vegyük a hárompontos integrálási képlet esetét, melytől elvárjuk, hogy egzakt eredményt adjon minden ≤2 fokú polinomra. A képletet a

alakban írjuk fel. Az és próbafüggvényeket használva. Az így keletkezett egyenletrendszer megoldása . Az integrálási összegképlet linearitása folytán pontos értéket kapunk minden, alakú polinomra.

Általános esetben, az intervallumon történő integrálás pontban vett kvadratúra segítségével való megközelítésekor, az együtthatókat a következő lineáris egyenletrendszer megoldása szolgáltatja:

ahol .

Intervallumcsere[szerkesztés]

Minden esetben a együtthatók értékei függnek az integrálási tartomány és végpontjaitól. Viszont kényelmetlen lenne egy lineáris egyenletrendszert megoldani minden olyan esetben, amikor változnak az integrálási határok. Célunk tehát egy tetszőleges intervallumon megközelíteni egy integrált, melynek kvadratúraképlete előzőleg már ismert egy másik tartomány esetén, mégpedig:

Legyen a megközelítés pontos bármely . Bár az előbbiekben mindenütt fennállt az egyenlőség, ez nem általános érvényű szabály. lehet kisebb mint , és mint a következő részben látni fogjuk, lehet nagyobb is.

A

transzformációval egymásra képezzük le a két intervallumot. Elvégezve az változócserét és felhasználva, hogy

Az intervallumcsere nem a rögzített csomópontközű eljárások sajátja. Azonos módon használható majd a Gauss-kvadratúrák esetén is.

Newton–Cotes-kvadratúraképletek[szerkesztés]

Ugyanebbe a kategóriába tartoznak a Newton–Cotes-kvadratúraképletek (Newton–Cotes-formula), melyeknek lényege ugyancsak az, hogy az a,b intervallumot felossza n darab, h=(b-a)/n hosszúságú szakaszra. A módszer bevezeti a Cotes-féle állandókat, melyek nem függnek sem a függvénytől, sem az intervallum határaitól.

Forrásanyag[szerkesztés]

  • Numerikus módszerek - Lázár Zsolt, Lázár József, Járai-Szabó Ferenc