Rámpafüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az ún. rámpafüggvény (angol átvétel: ramp function) egy elemi egyváltozós valós függvény. Egyszerűen számolható, mint a független változó és abszolútértékének számtani közepe. A függvényt a műszaki életben (például DSP) is alkalmazzák. A szabályozáselméletben egységnyi sebességugrás néven ismeretes.[1]

A „rámpafüggvény” elnevezés onnan ered, hogy a függvénygrafikon lejtőre, rámpára hasonlít, a töréspont az origónál van.

Definíciói[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A „rámpafüggvény” grafikonja
 R(x): \mathbb{R}\to \mathbb{R}; R(x) :=

  1. = \frac{x+|x|}{2}
  2. =  \ \begin{cases} x, & \mbox{ha }x \ge 0; \\ 0, & \mbox{ha }x<0 \end{cases}
  3. = H(x)
  4. =   H(x)oH(x)
  5. ld. itt
    =  \int_{-\infty}^{x} H(x)dx





(ahol H(x) az ún. Heaviside-függvény, o pedig a konvolúció művelete).

Analitikus tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nemnegativitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolútértéke önmaga, azaz

∀x∈ℝ: R(x)≥0


és

|R(x)| = R(x) .


  • Bizonyítás: a [2] definíció alapján az I. negyedben nemnegatív, a másodikban nulla, így mindenhol nemnegatív.

Folytonosság[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát a teljesen folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.

Derivált[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Deriváltja a H(x) Heaviside-függvény ℝ\{0}-ra szűkítve:

R'(x) = H(x)  ha  x≠0 .

Ugyanis

  • ha x<0, akkor R(x)=0 konstans, tehát ezen a tartományon (ℝ-on) R'(x)=0 (konstans deriváltja 0); ami megegyezik a Heaviside-függvénnyel.
  • ha x>0, akkor R(x)=x, tehát ezen a tartományon (ℝ+) R'(x)=1 (a valós számokon értelmezett identitás deriváltja 1); ami megegyezik a Heaviside-függvénnyel.
  • 0-ban a függvénynek töréspontja van, tehát nem deriválható (jobbról deriválva 0-t, balról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).

E tételből a Newton-Leibniz-tételt is figyelembe véve következik az [5]. definíció.

Fourier-transzformált[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

 \mathcal{F}_{k}(R(x))  =  \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi ikx} R(x)dx  =  \frac{i\delta '(k)}{4\pi}-\frac{1}{4\pi^{2}k^{2}}

Itt δ(x) az ún. Dirac-deltafüggvény (a képletben deriválva szerepel).

Algebrai tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Iteráció-invariancia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív rendű iteráltja önmaga, minthogy

R(R(x)) = R(x) .


  • Biz.:  R(R(x)):= \frac{\frac{x+|x|}{2}+\left| \frac{ x+|x| }{2} \right| }{2} = \frac{R(x)+|R(x)|}{2} = \frac{R(x)+R(x)}{2} =
    =  \frac{2R(x)}{2} = R(x) .

Felhasználtuk (a harmadik egyenlőségjel után) a nemnegativitást.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. IEC 60050 - International Electrotechnical Vocabulary - Unit-ramp Response. electropedia.org, 2011. (Hozzáférés: 2011. október 3.)

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]