Rámánudzsan Srínivásza

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Srinivasa Ramanujan Iyengar
Srinivasa Ramanujan Iyengar

Rámánudzsan Srínivásza (IPA:ˈʃrinɪˈvɑsə rɑˈmɑnʊdʒən, tamilul: ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜன், nyugatias átírásban Srinivasa Ramanujan Iyengar) (1887. december 22. – 1920. április 26.) indiai matematikus zseni. Magasabb tanulmányok folytatása nélkül jelentős felfedezéseket tett a matematikában, különösen a számelméletben, a kombinatorikus számelméletben (osztályfelbontásokkal kapcsolatos problémák) és a végtelen sorokkal kapcsolatban.

Rámánudzsan az indiai Tamilnádu állambéli Erode nevű városban született, és ugyanott nevelkedett fel. Matematikai tanulmányait tízéves korában kezdte el. A matematika tanulásához veleszületett tehetséggel rendelkezett, első emelt szintű trigonometriakönyvét S. L. Loney nevű tanárától kapta.[1] Tizenhárom éves korára áttanulmányozta a könyvet, és már akkor felállította saját, első matematikai elméleteit. Matematikai tehetségét akkoriban az iskolában mutatta be, amely számos díjjal és kitüntetéssel jutalmazta őt. Tizenhét éves korában Rámánudzsan saját kutatásokat végzett a Bernoulli-számok és a Euler–Mascheroni-féle konstans területén. Ezt követően állami ösztöndíjjal a kumbakonami egyetemen folytatta tanulmányait. Az egyetemen megbukott a nem matematikai jellegű tantárgyakból, így elvesztette az ösztöndíjat. Ezt követően átiratkozott egy másik intézménybe, ahol egyéni matematikai tanulmányokat végzett. 1909-ben, szülei kérésére feleségül vette az akkor kilencéves Janaki Ammal nevű lányt. Hogy költségeit fedezze, a madrasi kikötőnek dolgozott mint hivatalnok. 1912–1913 között tételeit ismertető leveleket küldött különböző matematikusoknak. Egy ilyen levelet kapott akkoriban a világ egyik legnagyobb matematikusa, G. H. Hardy, aki átnézve a levél több tucat állítását, döbbenten jött rá, hogy ezek között olyanok is akadnak, amelyek eszébe sem jutottak addig senkinek.

Az elkövetkező években Rámánudzsan G. H. Hardy professzor tanítványaként 3900 különböző tételt, összefüggést fedezett fel.[2] Később ezek a felfedezések nem mindegyike bizonyult helyesnek, és volt olyan is, amelyet már ismert a matematikusok világa.[3]Azonban voltak igen hasznos, később nélkülözhetetlennek bizonyuló felfedezések is, mint a Rámánudzsan-prím és a Rámánudzsan-féle tau-függvény.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Élete

[szerkesztés] Gyermekkor és ifjú évek

Rámánudzsan 1887. december 22-én született az indiai Tamilnádu állambéli Erode nevű városban, nagyszülei házában.[4] Apja, K. Srinivasza Ijengar könyvelőként dolgozott egy thanjavuri szárikat árusító üzletben.[5] Anyja, Komalatammal háziasszony volt, és egyúttal a helyi templom énekese. Kumbakonam városban, a Sarangapani nevű utcában laktak egy jellegzetes kelet-indiai házban, amelyet mára múzeummá alakítottak. Rámánudzsan másfél éves volt, amikor megszületett öccse, Sadagopan. Az újszülött három hónappal később meghalt. 1889 decemberében Rámánudzsan himlős lett, azonban meggyógyult, ellentétben a Thanjavur állambéli több ezer áldozattal.[6] Ezt követően anyjával a Madras közelében fekvő Kanchipuramba költöztek, anyai nagyszüleihez. Az elkövetkező években még két testvére született, azonban egyik sem érte meg a felnőttkort.

1892. október 1-jén Rámánudzsan elkezdte tanulmányait a helyi iskolában.[7] Miután nagyapja elvesztette az állását, anyjával együtt visszaköltözött Kumbakonamba, ahol tanulmányait a kangajani elemi iskolában folytatta.[8]. Apai nagyapjának a halála után visszakerült az anyai nagyszülőkhöz, akik időközben Madrasba költöztek. Mivel nem szerette az ottani iskolát, hat hónap elteltével visszatért Kumbakonamba.

Vallási nevelését Rámánudzsan főként anyjától kapta, ő tanította meg neki a kasztok rendszerét és a puránákat is. 1897 novemberében vizsgát tett angol és tamil nyelvből, földrajzból és aritmetikából. Eredményei alapján a legjobbnak bizonyult az adott körzetben.[9] Még abban az éveben elkezdte középiskolai tanulmányait, ahol először találkozott magasabb szintű matematikával.[10]

Két egyetemista szobatársától tanult matematikát, ugyanakkor S. L. Loney trigonometriakönyvét tanulmányozta.[11][12] Tizenhárom éves korára teljesen áttanulmányozta a könyvet, és már képes volt saját tételek megalkotására. Tizennégy éves korában az iskola kitüntette matematikában elért eredményeiért, ő pedig segített az iskola szervezési (logisztikai) munkáiban, szétosztva az 1200 tanulót a kb. 35 tanár között.[13] Matematikai kötelezettségeit az előírt tanulmányi idő fele alatt teljesítette, s elmélyülten kutatta a végtelen számsorok problémáit. Tizenhét éves korában áttanulmányozta George S. Carr A synopsis of elementary results in pure and applied mathematics című könyvét.[14] Ez a könyv 5000 tételt tartalmaz. A következő években a Bernoulli-számokat vizsgálta, és tizenöt tizedesig kiszámolta az Euler-konstanst.[15]

1904-ben K. Ranganatha Rao-díjjal befejezte középiskolai tanulmányait. A díjat matematikatanárától, Krisnaszvami Ijertől kapta. Ezt követően Kumbakonamban tanult ösztöndíjjal az ottani egyetemen.[16]Az egyetemen a nem matematikai jellegű tantárgyakból sorra megbukott, minek következményeként elszökött otthonról, és Visakhapatnamba ment.[17] Később Madrasban folytatta egyetemi tanulmányait. Az egyetemet azonban gyenge teljesítmény miatt nem tudta befejezni, kétszer is megbukott művészetből és pszichológiából, így végül nem sikerült diplomát szereznie. Ez volt életének a legnehezebb időszaka, kis híján éhen is halt.[18]

[szerkesztés] Indiában töltött felnőttkori évek

1909. július 14-én a hely szokásainak és szülei akaratának megfelelően feleségül vette az akkor kilencéves Janaki Ammal nevű lányt.[19] A házasságkötést követően nem sokkal a hydrocele testis nevű betegség támadta meg. A betegsége műtéti úton orvosolható volt, azonban családjának nem volt elég pénze a műtéthez. A műtétet 1910 januárjában mégis végrehajtották egy orvos jószándéka folytán.[20]A sikeres műtét után Rámánudzsan állást keresett magának. Ezekben az időkben egy barátjának a házában lakott Chennaiban (akkoriban Madras), és házról házra járva keresett könyvelői állást. Pénzkeresés végett pótórákat adott diákoknak művészetből.[21] 1910 végén újból megbetegedett, ekkor adta át jegyzetfüzetét barátjának, R. Radakrisna Ijernek, hogy küldje el a pachaiyappai egyetemre Szingaravelu Mudaliar professzornak vagy a madrasi egyetemre Edward B. Ross professzornak.[22] Felépülése után visszaszerezte jegyzeteit, és a francia fennhatóság alatt álló Villupuramba utazott.[23][24]

[szerkesztés] Felfedezése

Miután megismerkedett V. Ramaszvami Ijerrel, az Indiai Matematikai Társaság alapítójával,[25] Rámánudzsan állást kért tőle, ami meg is kapott. Később Ijer ajánlólevélével visszautazott Madrasba matematikus barátaihoz. Barátai ajánlólevelével R. Ramachandra Raót, az Indiai Matematikai Társaság titkárát kereste föl.[26][27][28] Ramachandra Rao elismerte a jegyzetek nagyszerűségét, azonban kételkedett abban, hogy ezek Rámánudzsan munkái lennének. Később azonban megváltozott a véleménye, és segített Rámánudzsannak publikálni néhány tételét a Journal of Indian Mathematical Society (Az Indiai Matematikai Társaság Lapja) című matematikai folyóiratban.[29]

Az újságban megjelent egyik első feladata a
\sqrt{1+2\sqrt{1+3 \sqrt{1+...}}}

gyökkifejezés pontos értékének kiszámítása volt. Mivel hat hónapig hiába várt a megoldásra, később ezt is közölte. Első jegyzetfüzete 105. oldalán található a formula, ami megadja ennek és hasonló formuláknak az értékét:
x+n+a = \sqrt{ax+(n+a)^2 +x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2+(x+n) \sqrt{stb.}}}

Később még több más cikket is megjelentetett, többek közt a Bernoulli-számokról is.

Ugyancsak Rámánudzsan felfedezése az is, hogy m\geq 1-re a B2m Bernoulli-tört nevezője mindig osztható hattal. (A027642) Továbbá kitalált egy módszert Bn kiszámítására.

Később sikerült munkahelyet is szereznie.

[szerkesztés] Az angol matematikusokkal való ismerkedés évei

Narajana Ijer, Ramacsandra Rao és E. W. Middlemast megkísérelték Rámánudzsan munkáit bemutatni angol matematikusoknak is. Az egyik londoni professzor, M. J. M. Hill, hiányosnak találta a tételeket, és azt állította, hogy Rámánudzsannak nem megfelelőek a matematikai tanulmányai.[30] A kudarc után azonban, barátai segítségével újabb leveleket küldött angliai egyetemekre.

Első leveleit H. F. Baker és E. W. Hobson professzorok visszaküldték Rámánudzsannak anélkül, hogy bármilyen megjegyzést fűztek volna hozzá.[31]. 1913. január 16-án Rámánudzsan G. H. Hardy professzornak küldött kilencoldalas levelet. Hardy professzor felismerte benne matematikai tehetségét, és bár voltak kétségei a tételek valódisága felől, magához hívatta, hogy diákja legyen.[32] Hardy egyeseket már ismert Rámánudzsan tételei közül, néhány azonban nehezen hihetőnek tűnt. [33] Leginkább a harmadik oldal elején található tétel valódiságában kételkedett, a következő volt:

\int_0^\infty \cfrac{1+\left(\cfrac{x}{b+1}\right)^2}{1+\left(\cfrac{x}{a}\right)^2}\, \cdot\,\cfrac{1+\left(\cfrac{x}{b+2}\right)^2}{1+\left(\cfrac{x}{a+1}\right)^2}\;\;\cdots dx = \frac{1}{2}\sqrt{\pi} \frac{\Gamma(a+\frac{1}{2})\Gamma(b+1)\Gamma(b-a+\frac{1}{2})}{\Gamma(a)\Gamma(b+\frac{1}{2})\Gamma(b-a+1)}

Hardyt lenyűgözték Rámánudzsan végtelen sorozatokkal kapcsolatos eredményei is:

1 - 5\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 9\left(\frac{1\times3}{2\times4}\right)^3 - 13\left(\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\right)^3 + ... = \frac{2}{\pi} 1 + 9\left(\frac{1}{4}\right)^4 + 17\left(\frac{1\times5}{4\times8}\right)^4 + 25\left(\frac{1\times5\times9}{4\times8\times12}\right)^4 + ... = \frac{2^\frac{3}{2}}{\pi^\frac{1}{2}\left \lbrace \Gamma\left(\frac{3}{4}\right)\right \rbrace^2}

Az első eredményt már felfedezte egy Bauer nevű német matematikus. A második ismeretlen volt Hardy előtt.

Rámánudzsan egy további állítása a következő volt:

\frac{1}{1-2x+2x^4-2x^9+\cdots}

sorfejtésében xn együtthatója az

\frac{1}{4n}\left(\text{cosh}(\pi\sqrt{n})-\frac{\text{sinh}(\pi\sqrt{n})}{\pi\sqrt{n}}\right)

-hez legközelebb eső egész. Ez jó közelítés a keresett számhoz, de nem olyan jó, mint Rámánudzsan gondolta. Mégis, e merész tippelés termékenynek bizonyult, mert végső soron elvezetett Hardy és Rámánudzsan partíciókkal kapcsolatos eredményeihez.

1913. február 8-án Hardy válaszlevelet küldött Rámánudzsannak, melyben arra kérte őt, hogy a tételei bizonyításait is küldje el neki.[34] Még a levél Indiába érkezése előtt (3 hét) Hardy professzor előkészületeket tett, hogy Cambridge-be utaztassa Rámánudzsant. Rámánudzsan kezdetben nem akart elutazni Indiából, később azonban barátai rábeszéléseinek következtében mégis Londonba utazott.

[szerkesztés] Angliai évek

Rámánudzsan az S. S. Nevasa nevű hajón érkezett Angliába 1913. március 17-én, reggel tízkor.[35] Április 14-én érkezett Londonba E. H. Neville társaságában, aki autóval várta őt megérkezésekor. Négy nappal később Neville Chestertown Road-i házába költöztette, közel Cambridge-hez. Rámánudzsan Littlewood és Hardy professzorok társaságában hamarosan munkához látott. Hat hét múlva elköltözött Neville-től, és Hardy irodájának közelében, a Whewell's Courton bérelt lakást.[36] Az elkövetkező időkben Hardy áttanulmányozta a Rámánudzsan jegyzetfüzetében levő tételeket, melyek közül 120-at már volt alkalma megismerni a neki küldött első levélből. A tételek között akadtak hibásak és már felfedezettek egyaránt.[37]

Az elkövetkező öt évet Rámánudzsan Cambridge-ben töltötte, és számos művet publikált.

1916-ban sikeresen egyetemi diplomát szerzett, 1917-ben pedig beválasztották a Londoni Matematikai Társaság tagjai közé. Ő volt a második indiai származású, és egyben a legfiatalabb, aki a társaság tagja lett.[38]

[szerkesztés] Betegség és visszatérés Indiába

Miután tuberkulózist és a vegetáriánus étrendéből fakadó súlyos vitaminhiányt állapítottak meg nála (az I. világháborúból fakadó gazdasági válság miatt kevés vegetáriánus ételhez jutott hozzá), 1919-ben visszatért Kumbakonamba, Indiába. Nem sokkal ezután 32 évesen meghalt.

[szerkesztés] Személyisége

Rámánudzsant szerény, hallgatag és szégyenlős embernek írták le, kifinomult modorral.[39] Ugyanakkor nagyon érzékeny is volt. Egyszer amikor ebédet készített ismerőseinek, és az egyik vendég visszautasította a főztjét, Rámánudzsan taxiba ült, és Oxfordba ment. Spártai életmódot folytatott, gyakran főzött a szobájában saját maga számára vegetáriánus ételeket.

Nagyon vallásos volt: elmondása szerint az istenek segítették a matematikai tételek felfedezésében.

[szerkesztés] Matematikai felfedezései

Egy Erdős által ránk hagyományozott történet szerint Hardy, a sportember egyszer pontozással értékelte[40][41] a korszak kiemelkedő matematikusait, tehetségük alapján. Saját magának 25, Littlewoodnak 30 pontot, Hilbertnek 80 pontot adott, de a teljes 100 pontot egyedül Rámánudzsan érdemelte ki.

Rámánudzsan matematikai felfedezései szokatlanok voltak – tételeit általában nem bizonyította, csak egyszerűen leírta őket. Számára a szép matematikai formula önálló esztétikai értéket jelentett. Kortársai tisztában voltak nagyságával, de úgy vélték, hogy olyan jellegű eredményeket ért el, amelyek nem teszik lehetővé, hogy a matematika történetében megkapja méltó helyét. Fő támogatója, Hardy így írt Rámánudzsanról annak halála után: „Lehet, hogy a formulák nagy napjai véget értek, és Rámánudzsannak száz évvel korábban kellett volna születnie, de ő volt korának legnagyobb formulaalkotója.” Egyik ilyen érdekes tétele a π megközelítésére felállított végtelen sor:

\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} .

A képlet nagyon gyorsan konvergál, már két tagra 17 pontos jegyet ad.

Egy másik sora 1 / π-re:

{{4}\over{\pi}} = {{1123}\over{882}} - {{22583}\over{882^3}} {{1}\over{2}} {{1\cdot 3}\over{4^2}}+ {{44043}\over{882^5}} {{1\cdot 3}\over{2\cdot 4}} {{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}\over{4^2\cdot 88^2}}\cdots

További példák:

\sum_{k=0}^{\infty}{2k\choose k}{{1}\over{2^{2k}(2k+1)^2}} = {{\pi}\over{2}}\log 2
\sum_{k=0}^{\infty}{2k\choose k}{{3^k}\over{2^{4k}(2k+1)^2}} = {{\pi}\over{3\sqrt{3}}}\log(3) - 2{{\pi^2}\over{27}} + \sum_{k=0}^{\infty}{{1}\over{(3k+1)^2}}
\lim_{x\to\infty}e^{{{x^3}\over{9}}-{x\over{12}}} \prod_{k=1}^{x} \biggl({{k}\over{x}} \biggr)^{k^2} = e^{{{\zeta(3)}\over{4\pi^2}}}

Ugyancsak tőle maradt fenn a következő, előzőleg ismeretlen egyenlőség is:

\left [ 1+2\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n\theta)}{\cosh(n\pi)} \right ]^{-2} + \left [1+2\sum_{n=1}^\infty \frac{\cosh(n\theta)}{\cosh(n\pi)} \right ]^{-2} = \frac {2 \Gamma^4 \left ( \frac{3}{4} \right )}{\pi}

Számos közelítő formulát talált π-re:

\sqrt{2}\frac{9801}{4412}, \biggl(9^2+{{19^2}\over{22}}\biggr)^{{1}\over{4}}=3,14159265262\dots, {{12}\over{\sqrt{190}}}\log\bigl((2\sqrt{2}+\sqrt{10})(3+\sqrt{10})\bigr),
{{12}\over{\sqrt{310}}}\log\biggl({{1}\over{4}}(3+\sqrt{5})(2+\sqrt{2}) (5+2\sqrt{10})+\sqrt{61+20\sqrt{10}}\biggr).

Észrevette, hogy (a transzcendens)

e^{\pi\sqrt{163}}=262537412640768743,99999999999925\dots

meglepően közel van egy egész számhoz. Ennek mélyenfekvő oka az elliptikus görbék és a moduláris csoportok elméletével magyarázható. Az 1998-as Fields-érem átvételekor tartott előadásában Richard Ewen Borcherds azt mondta, minden matematikusnak életében egyszer látnia kell ennek a bizonyítását.

Sok állítást igazolt az n szám partícióit megszámláló p(n) függvényről.

Bevezette és vizsgálta a

q\prod_{n=1}^{\infty}\bigl(1-q^n\bigr)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty} \tau(n)q^n

azonossággal definiált τ(n) számelméleti függvényt. Sejtette, hogy τ multiplikatív, hogy a pn + 1 prímhatványra

τ(pn + 1) = τ(p)τ(pn − 1) − p11τ(pn − 1)

teljesül, és minden p prímre | τ(p) | < 2p11 / 2. Az első két állítást Mordell, az utolsót Deligne bizonyította.

[szerkesztés] Rámánudzsan jegyzetfüzetei

Rámánudzsan két jegyzetfüzetet hagyott hátra: egy 351 oldalas, 16 fejezetre osztott jegyzetfüzetet és egy 256 oldalas füzetet, amely 21 fejezetből állt. Ezenkívül még egy kb. 100 oldalas és egy 33 oldalas befejezetlen jegyzetfüzetet hagyott hátra.

[szerkesztés] Rámánudzsanról fennmaradt történet

Mikor egyszer Hardy és Rámánudzsan Londonban taxin utazott, Hardy a taxi távozása után vette észre, hogy aktatáskáját a kocsiban felejtette. Kéziratok lévén a táskában, ez kétségbeejtette, de Rámánudzsan megnyugtatta, hogy a taxi száma 1729. Hardy igen örült ennek, de nem hagyta nyugodni a kérdés, hogyan lehetett megjegyezni egy ilyen érdektelen számot. Nem érdektelen ez a szám, felelte Rámánudzsan: ez a legkisebb olyan egész szám, amely kétféleképpen bontható fel két köbszám összegére:

1729 = 13 + 123 = 93 + 103.

[szerkesztés] Rámánudzsan válogatott publikációi

A könyv először 1927-ben jelent meg, Rámánudzsan halála után. 37 matematikai szaklapban megjelent írásait tartalmazza.

  • Notebooks (2 Volumes), S. Ramanujan, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1957.

Ez a könyv eredeti fényképmásolatokat tartalmaz Rámánudzsan jegyzetfüzeteiről.

  • The Lost Notebook and Other Unpublished Papers, by S. Ramanujan, Narosa, New Delhi, 1988.

[szerkesztés] Ajánlott irodalom

[szerkesztés] Magyarul

[szerkesztés] Angolul

[szerkesztés] Jegyzetek

  1. ^ Berndt, Bruce C. (2001). Ramanujan: Essays and Surveys. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, p9. o. ISBN 0-8218-2624-7. 
  2. ^ Berndt, Bruce C. (2005). Ramanujan's Notebooks Part V. SpringerLink, p4. o. ISBN 0-387-94941-0. 
  3. ^ (1999. August) „Rediscovering Ramanujan”. Frontline 16 (17): 650. Elérés ideje: 2007. június 23.. 
  4. ^ Kanigel, Robert (1991). The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan. New York: Charles Scribner's Sons, p11. o. ISBN 0-684-19259-4. 
  5. ^ Kanigel (1991), pp. 17-18
  6. ^ Kanigel (1991), pp. 12.
  7. ^ Kanigel (1991), pp. 13.
  8. ^ Kanigel (1991), pp. 14.
  9. ^ Kanigel (1991), pp. 25.
  10. ^ Kanigel (1991), pp. 25.
  11. ^ Hardy, G. H. (1999). Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 2.. o. ISBN 0-8218-2023-0. 
  12. ^ Berndt, Bruce C., Robert A. Rankin (2001). Ramanujan: Essays and Surveys. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 9.. o. ISBN 0-8218-2624-7. 
  13. ^ Kanigel (1991), pp. 27.
  14. ^ Kanigel (1991), pp. 39.
  15. ^ Kanigel (1991), pp. 90
  16. ^ Kanigel (1991), pp. 28.
  17. ^ Kanigel (1991), pp. 48-49.
  18. ^ Kanigel (1991), pp. 55-56.
  19. ^ Kanigel (1991), pp.71.
  20. ^ Ramanujan, Srinivasa (1968).szerk.: P. K. Srinivasan: Ramanujan Memorial Number: Letters and Reminiscences. Madras: Muthialpet High School, Vol. 1, pp. 100.. o. 
  21. ^ Kanigel (1991), p73.
  22. ^ Kanigel (1991), pp. 74-75.
  23. ^ Ranganathan, S. R. (1967). Ramanujan: The Man and the Mathematician. Bombay: Asia Publishing House, p23. o. 
  24. ^ Srinivasan (1968), Vol. 1, p99.
  25. ^ Kanigel (1991), pp. 77.
  26. ^ Srinivasan (1968), Vol. 1, p86.
  27. ^ Neville, Eric Harold (1921. January). „The Late Srinivasa Ramanujan”. Nature 106 (2673): 661-662. Elérés ideje: 2007. június 29.. 
  28. ^ Ranganathan (1967), p24.
  29. ^ Kanigel (1991), p86.
  30. ^ Letter from M. J. M. Hill to a C. L. T. Griffith (a former student who sent the request to Hill on Ramanujan's behalf), 28 November 1912.
  31. ^ Kanigel (1991), p170-171.
  32. ^ Snow, C. P. (1966). Variety of Men. New York: Charles Scribner's Sons, p30-31. o. 
  33. ^ Hardy, G. H. (1920. June). „Obituary, S. Ramanujan”. Nature 105: 494. Elérés ideje: 2007. június 30.. 
  34. ^ Letter, Hardy to Ramanujan, 8 February 1913.
  35. ^ Kanigel (1991), pp. 196.
  36. ^ Kanigel (1991), pp. 202.
  37. ^ Hardy, G. H. (1940). Ramanujan. Cambridge: Cambridge University Press, pp. 10. o. 
  38. ^ Kanigel (1991), pp. 295.
  39. ^ Ramanujan's Personality.
  40. ^ K. Alladi: Contemporary collaborator, The Hindu, 2003. december 21.
  41. ^ M.K. Singal: Srnivasa Ramanujan

[szerkesztés] A világhálón elérhető cikkek

A lap eredeti címe: „http://hu.wikipedia.org/wiki/R%C3%A1m%C3%A1nudzsan_Sr%C3%ADniv%C3%A1sza”
Személyes eszközök