Q-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában és a statisztikában a Q-függvény a normális eloszlás farok valószínűsége. [1][2]

Q-függvény

Más szavakkal, Q(x) annak a valószínűsége, hogy egy normális eloszlású változó nagyobb értéket vesz fel, mint x. Egy másik definíció szerint a kumulatív eloszlás függvény egyszerű transzformáltja. [3] A normális eloszlás kumulatív eloszlási függvényéhez való kapcsolata miatt, a Q-függvény a hibafüggvény – mely fontos függvény a fizikában és a matematikában - kifejezéseivel is leírható.

Definíció és fő tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Formálisan, a Q-függvény definíciója:


Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int \limits _x^\infty \exp\Bigl(-\frac{u^2}{2}\Bigr) \, du.

így:

Q(x) = 1 - Q(-x) = 1 - \Phi(x)\,\!,

ahol \Phi(x) a normal Gauss eloszlás kumulatív eloszlás függvénye. A Q-függvény a hiba-függvény, vagy a komplementer hiba-függvény kifejezéseivel is leírható, [2]


Q(x) =\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2} \operatorname{erf} \Bigl( \frac{x}{\sqrt{2}} \Bigr)=\tfrac{1}{2}\operatorname{erfc}(\frac{x}{\sqrt{2}}).

A Q-függvény egy alternatív formája, mely jobban használható: [4]


Q(x) = \frac{1}{\pi} \int \limits _0^{\frac{\pi}{2}} \exp \left( - \frac{x^2}{2 \sin^2 \theta} \right) d\theta.

Ez a kifejezés csak pozitív x -ekre érvényes, de alkalmazható a Q(x) = 1 - Q(-x)\,\! kifejezéssel együtt, a negatív értékekre. Ez a forma előnyös a véges integrálási tartományban.

Határok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Q-függvény nem egy elemi függvény. A határai


\frac{x}{1+x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} < Q(x) < \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-x^2/2}, \qquad x>0,

növekvő módon szorosak nagy x-ekre

A v=u^2/2 behelyettesítést alkalmazva, és definiálva \varphi(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2},, a felső határ a következőképpen származtatható:


\begin{align}
Q(x)
&=\int_x^\infty\varphi(u)\,du\\
&<\int_x^\infty\frac ux\varphi(u)\,du
=\int_{x^2/2}^\infty\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\,dv
=-\biggl.\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\biggr|_{x^2/2}^\infty
=\frac{\varphi(x)}{x}.
\end{align}

Hasonlóan a \scriptstyle\varphi'(u)\,{=}\,-u\,\varphi(u)-t, és a hányadosszabályt használva


\begin{align}
\Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)Q(x)
&=\int_x^\infty \Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)\varphi(u)\,du\\
&>\int_x^\infty \Bigl(1+\frac1{u^2}\Bigr)\varphi(u)\,du
=-\biggl.\frac{\varphi(u)}u\biggr|_x^\infty
=\frac{\varphi(x)}x.
\end{align}

Q(x) -re megoldva, adódik az alsó határ.

A Q-függvény Chernov-korlátja:


\begin{align}
Q(x)\leq \frac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}, \qquad x>0
\end{align}

Értékek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Q-függvényt számos matematikai szoftver csomag közvetlenül számítja, mint például a Matlab, és a Mathematica. Néhány Q-függvény érték az alábbiakban látható:

Q(0.0) = 0.500000000
Q(0.1) = 0.460172163
Q(0.2) = 0.420740291
Q(0.3) = 0.382088578
Q(0.4) = 0.344578258
Q(0.5) = 0.308537539
Q(0.6) = 0.274253118
Q(0.7) = 0.241963652
Q(0.8) = 0.211855399
Q(0.9) = 0.184060125

Q(1.0) = 0.158655254
Q(1.1) = 0.135666061
Q(1.2) = 0.115069670
Q(1.3) = 0.096800485
Q(1.4) = 0.080756659
Q(1.5) = 0.066807201
Q(1.6) = 0.054799292
Q(1.7) = 0.044565463
Q(1.8) = 0.035930319
Q(1.9) = 0.028716560

Q(2.0) = 0.022750132
Q(2.1) = 0.017864421
Q(2.2) = 0.013903448
Q(2.3) = 0.010724110
Q(2.4) = 0.008197536
Q(2.5) = 0.006209665
Q(2.6) = 0.004661188
Q(2.7) = 0.003466974
Q(2.8) = 0.002555130
Q(2.9) = 0.001865813

Q(3.0) = 0.001349898
Q(3.1) = 0.000967603
Q(3.2) = 0.000687138
Q(3.3) = 0.000483424
Q(3.4) = 0.000336929
Q(3.5) = 0.000232629
Q(3.6) = 0.000159109
Q(3.7) = 0.000107800
Q(3.8) = 0.000072348
Q(3.9) = 0.000048096
Q(4.0) = 0.000031671

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Reiman istván: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kft. 2011 ISBN 9789632793009  
  • Gerőcs L. - Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010 ISBN 9789630584883  

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]