Prüfer-kód
A gráfelméletben egy n csúcsú számozott fa Prüfer-kódja egy n–2 hosszú számsorozat, melyet a későbbiekben részletezett szabály szerint rendelünk a fához. (A kód tulajdonképpen n–1 hosszúságú, csak az utolsó elem elhagyható, mert az mindig n.)
Tartalomjegyzék |
Prüfer-kód hozzárendelése számozott fához [szerkesztés]
Tekintsünk egy tetszőleges fát az {1,2…n} csúcsokon, és rendeljünk hozzá egy számsorozatot a következőképpen: Hagyjuk el a fa elsőfokú csúcsai közül azt, amelyiknek a legkisebb a sorszáma, és közben annak a csúcsnak írjuk fel a sorszámát, amellyel az elhagyott csúcs össze volt kötve. Legyen ez v1. Ezt ismételjük, amíg már csak egy csúcs marad. Nyilvánvaló, hogy ez a csúcs az n-edik sorszámú, hiszen egy fának mindig van legalább 2 elsőfokú csúcsa, és n-nél csak kisebb sorszámú csúcsok vannak, így előbb azokat hagyjuk el. Ezért a számsorozat végén nem is kell szerepelnie, hiszen egyértelmű. Az így kapott v1,v2,…,vn-2 számsorozat a fa Prüfer-kódja.
Algoritmus: Számozott fából Prüfer-kód [szerkesztés]
- Bemenet egy számozott fa (csúcsait az 1, 2, ..., n számokkal címkézzük meg)
- Végezzük el az alábbiakat mindaddig, amíg egyetlen él marad
-
- válasszuk ki a legkisebb számú levelet (fokszáma 1),
- írjuk ki a vele szomszédos csúcs számát,
- töröljük a fából a kiválasztott csúcsot (természetesen a hozzáilleszkedő éllel együtt).
- Az eredményül kapott számok a kiírás sorrendjében képezik a Prüfer-kódot.
A mellékelt ábrán
a legkisebb értékű levél az 1, tehát kiírjuk a 4-et, törüljük az 1-et
most legkisebb értékű levél a 2, kiírjuk a 4-et, töröljük a 2-t,
most legkisebb értékű levél a 3, kiírjuk a 4-et, töröljük a 3-t,
most legkisebb értékű levél a 4, kiírjuk az 5-öt, töröljük a 4-t,
egy él maradt, az (5,6), tehát vége. Eredmény: 4, 4, 4, 5.
Még egy példa:
|
Számozott fából Prüfer-kód C++-ban
/* graf0.be tartalma pl. az ábra szerint: 6 1 4 2 4 3 4 4 5 5 6 */ #include <iostream.h> // számozott fából Prüfer-kód #include <stdlib.h> #include <fstream.h> int n, m, a[50], b[50], fok[50]; ifstream f("graf0.be"); // bemeneti állomány: csúcsok száma // majd élek végpontjai (szóközzel elválasztva) void olvas() // adatok beolvasása { int i; f>>n; m=n-1; for(i=1;i<=n;i++) // fokszámok nullázása fok[i]=0; for(i=1;i<=m;i++) // élek beolvasása, fokszámok kiszámítása { f>>a[i]; f>>b[i]; fok[ a[i] ]++; fok[ b[i] ]++; } } void pruefer() { int i,j,k; for (i=1; i<=n-2; i++) { j=1; while ( (j<=n) && (fok[j]!=1) ) // legkisebb számú levél keresése j++; k=1; while ( (k<=m) && (a[k]!=j) && (b[k]!=j ) ) k++; if (a[k]==j) // kód újabb elemének kiírása cout << b[k] << " "; else cout << a[k] << " "; fok[ a[k] ]--; fok[ b[k] ]--; a[k]=0; b[k]=0; } } void main() { olvas(); cout<<endl; pruefer(); cout<<endl; } |
Számozott fa hozzárendelése Prüfer-kódhoz [szerkesztés]
Az első módszer alapötlete a következő: Hozzáadjuk a Prüfer-kódhoz utolsó elemként az n-et. Kiválasztjuk azt a legkisebb pozitív természetes számot, amelyik nem szerepel a sorozatban (Prüfer-kód, és n). A létrehozandó fában összekötjük ezt a számot a sorozat első elemével. Ezt a legkisebb számot hozzáadjuk a sorozathoz, majd töröljük a sorozat első elemét. Ezt a folyamatot addig folytatjuk, ameddig el nem fogynak az eredeti sorozat elemei.
Algoritmus: Prüfer-kódból számozott fa (1. módszer) [szerkesztés]
- Bemenet: egy n elemű Prüfer-kód, amelyhez hozzáadjuk az n értéket utolsónak.
- Végezzük le n-szer a következőket:
-
- meghatározzuk azt a legkisebb pozitív természetes számot, amelyik nem eleme a sorozatnak,
- kössük össze egy éllel az ezzel a számmal jelölt csúcsot a sorozat első elemével,
- töröljük a sorozat első elmét
- Eredmény: a kapott fa
A mellékelt példa esetében a Prüfer-kód: 4,4,4,5. Az algoritmus lépései:
| 4 | 4 | 4 | 5 | 6 | (1,4) él | |||||
| 4 | 4 | 5 | 6 | 1 | (2,4) él | |||||
| 4 | 5 | 6 | 1 | 2 | (3,4) él | |||||
| 5 | 6 | 1 | 2 | 3 | (4,5) él | |||||
| 6 | 1 | 2 | 3 | 4 | (5,6) él |
|
Prüfer-kódból számozott fa (1. módszer) C++-ban
/* graf.be tartalma pl. az ábra szerint: 4 4 4 4 5 */ #include <iostream.h> // Prüfer-kódból számozott fa #include <stdlib.h> #include <fstream.h> int n, m, a[50]; ifstream f("graf.be"); // bemeneti állomány: kód hossza, // majd a kód elemei (szóközzel elválasztva) void olvas() // adatok beolvasása { int i; f>>n; for(i=1;i<=n;i++) f>>a[i]; n++; a[n]=n+1; // utolsó elem hozzáadása } void ellenoriz() // a sorozat ellenõrzése { int i; for(i=1;i<=n;i++) if (a[i]>n+1) { cout<<"A sorozat nem lehet fa "; exit (1); }; } void pruefer() { int i,j, min; m=n; for(i=1;i<=n;i++) { min=0; while(1) { min++; // legkisebbb szám, amely nincs benne az a[i], ..., a[m] sorozatban j=i; while ((j<=m) && (a[j]!=min)) j++; if (j>m) break; } m++; a[m]=min; // legkisebb elem hozzáadása a sorozathoz cout << "(" << min << "," << a[i] << ")"<< endl; // él kiírása } } int main() { olvas(); cout<<endl; ellenoriz(); pruefer(); return 0; } |
A második módszer alapötlete a következő: A Prüfer-kódból kiszámítjuk az egyes csúcsok fokszámát, majd ezek alapján berajzoljuk a fa éleit, mindig levelet (1 fokszámú csúcsot) keresve.
Algoritmus: Prüfer-kódból számozott fa (2. módszer) [szerkesztés]
- Bemenet: Prüfer-kód
- Kiszámítjuk a csúcsok fokszámát a következőképpen:
-
- kezdetben minden fokszám 1, az i csúcs fokszámát jelölje fi,
- a Prüfer-kód minden i elemére, növeljük 1-gyel az fi-t,
- a Prüfer-kód minden i elemére végezzük el:
-
- keressük meg az f sorozat első 1-es elemét, legyen ennek a sorszáma j,
- kössük össze egy éllel az i és j csúcsokat,
- csökkentsük 1-gyel az fi és fj értékeket.
- f-ben két 1-gyel egyenlő elem marad, legyenek ezek fi és fj; kössük össze az i csúcsot a j csúccsal.
- Eredmény: az élekből összeálló fa.
A mellékelt ábra esetében a Prüfer-kód 4,4,4,5, az algoritmus lépései:
A fokszámsorozat: 1,1,1,4,2,1.
Kód: 4,4,4,5
Fokszámsorozat: 1,1,1,4,2,1 él: (1,4)
Kódrész: 4,4,5
Fokszámsorozat: 0,1,1,3,2,1 él: (2,4)
Kódrész: 4,5
Fokszámsorozat: 0,0,1,2,2,1 él: (3,4)
Kódrész: 5
Fokszámsorozat: 0,0,0,1,2,1 él: (4,5)
Kódrész:
Fokszámsorozat: 0,0,0,0,1,1 él: (5,6)
|
Prüfer-kódból számozott fa (2. módszer) C++-ban
/* graf.be tartalma pl. az ábra szerint: 4 4 4 4 5 */ #include <iostream.h> // Prüfer-kódból számozott fa #include <stdlib.h> #include <fstream.h> int n ,m, a[50], fok[52]; ifstream f("graf.be"); // bemeneti állomány: kód hossza, // majd a kód elemei (szóközzel elválasztva) void olvas() // adatok beolvasása { int i; f>>n; for(i=1;i<=n;i++) f>>a[i]; } void ellenoriz() // a sorozat ellenõrzése { int i; for(i=1; i<=n; i++) if (a[i]>n+1) { cout<<"a sorozat nem lehet fa "; exit(1); }; } void fokszam() // kiszámítja minden csúcs fokszámát { int i; for (i=1; i<=n+2; i++) fok[i]=1; for (i=1; i<=n; i++) fok[ a[i] ]++; } void pruefer() { int i,j,k; for (i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=n+2; j++) { if (fok[j]==1) { cout << "(" << j << "," << a[i]<< ")"<< endl; // él kiírása fok[ a[i] ]--; fok[j]--; break; } } k=1; while ( (k<=n+2) && (fok[k]!=1) ) k++; cout << "(" << k << ","; // utolsó él egyik csúcsa k++; while ( (k<=n+2) && (fok[k]!=1) ) k++; cout << k << ")"; // utolsó él másik csúcsa } inr main() { olvas(); cout<<endl; ellenoriz(); fokszam(); pruefer(); cout << endl; return 0; } |
Története [szerkesztés]
A Prüfer-kódot először Heinz Prüfer alkalmazta 1918-ban, melynek segítségével bizonyította a Cayley-formulát.
Források [szerkesztés]
- Prüfer, H. (1918.). „Neuer Beweis eines Satzes über Permutationen”. Arch. Math. Phys. 27, 742–744. o.
- Katona Gyula Y., Recski András, Szabó Csaba: Gráfelmélet, algoritmuselmélet és algebra, Typotex Kiadó, 2002.
