Poincaré-féle követőfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az absztrakt matematikában alapvetően a dinamikai rendszerek elméletében, Poincaré-féle követőfüggvény (vagy az első visszatérés függvénye) Henri Poincaré-ról elnevezett leképezés. Ha egy sokaságban egy periodikus pálya metszi a sokaság egy alterét, akkor ezt az alteret az első metszet helyéhez nagyon közel újból metszi. A következő helyet (a megelőző függvényében) nevezik a fenti leképezésnek. Másképpen képzeljünk el egy periodikus pályát azzal a kezdeti feltétellel, hogy a pont kezdetben egy a pályára merőleges síkon (az ún. Poincaré-féle metszeten) volt. Ekkor a pont egy idő múlva – a periódusidőhöz nagyon közeli idő alatt – a kiindulási ponthoz nagyon közel újból metszi a síkot.

A Poincaré-féle követőfüggvény diszkrét dinamikai rendszernek tekinthető, csak eggyel kevesebb dimenzióval rendelkezik, mint az őt definiáló folytonos rendszer volt. Mivel a diszkrét rendszer az eredeti nagyon sok tulajdonságát megőrzi, de egyszerűbb, ezért alkalmas az eredeti rendszer hatékony vizsgálatára. Általában azonban követőrendszert nem könnyű konstruálni kézzelfogható alakban, ezért a módszer csak ad hoc jellegű.


Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen (R, M, Φ) be a egy globális dinamikai rendszer, az időpontok halmaza legyen R (valós számok), M a fázistér, és Φ az időfejlődés függvénye. Legyen γ p ponton keresztülhaladó periodikus pálya és S lokálisan differenciálható és a pályára merőleges metszete Φ-nek p-n keresztül, melyet Poincaré-metszetnek nevezünk.

Legyen U nyílt összefüggő környezete p-nek, a

P: U \to S

függvényt γ-hoz tartozó Poincaré-követőfüggvénynek nevezzük ha

  • P(p) = p
  • P(U) p egy környezete és P:UP(U) diffeomorfizmus
  • minden x pontra U-ban, a poztív félpálya először metszi S-et P(x)-ben

Differenciálegyenletek követőfüggvénye[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az xi Poincaré-függvény

A dinamikai rendszer mintapéldái a differenciálegyenletek megoldóoperátorai. Ezekben az esetekben a követőfüggvény még szemléletesebb tartalommal bír.

Legyen

\dot{x}=f(x)

autonóm közönséges differenciálegyenlet, x0 kezdeti feltétel a t=0-időponthoz. Legyen Γ periodikus pálya \mbox{ }_{\tau_0}\, > 0 minimális periódussal. Persze ekkor a Φ generált dinamikus rendszerre:

\Phi(\tau_0,x_0)=x_0\,

Legyen a pályára merőleges Poincaré-metszet a

\Sigma=\{x\in \mathbf{R}^n\mid \langle x-x_0,f(x_0)\rangle=0\}

sík. Mivel f(x_0) a differenciálegyenlet értelmében sebességvektor az x0 pontban, ezért a Σ tényeleg merőleges a pályára (<,> jelöli a skaláris szorzatot).

Tétel – Létezik x0-nak olyan U nyílt környzete, és létezik egyetlen olyan \mbox{ }_{\tau}\, : U \to R folytonosan differenciálható függvény, hogy

\Phi(\tau(x),x)\in \Sigma\quad\quad\forall x\in U
\tau(x_0)=\tau_0\,

Bizonyítás. Legyen

H(\tau,x)=\langle \Phi(\tau,x)-x_0,f(x_0)\rangle

ekkor

\Phi(\tau,x)\in \Sigma \quad\Longleftrightarrow\quad H(\tau,x)=0

Az implicitfüggvény-tétel segítségével kifejezzük a H(τ,x)=0 egyenletből τ-t. Ehhez kell, hogy \mbox{ }_{H'_{\tau}(\tau_0,x_0)\ne 0} legyen. De ez igaz, mert:

\frac{\partial H}{\partial \tau}(\tau_0,x_0)=\left.\langle \Phi'(\tau,x),f(x_0)\rangle\right|_{\tau=\tau_0,x=x_0}=\langle \Phi'(\tau_0,x_0),f(x_0)\rangle=\langle f(x_0),f(x_0)\rangle

ami feltehetően nem nulla.

Tehát létezik egyetlen, a mondott tulajdonságú τ. QED

Definíció. – Ebben az esetben az \dot{x}=f(x) differenciálegyenlethez és a Γ, x0, Σ-hoz tartozó Poincaré-követőfüggvény a

\Pi:U \cap\Sigma\to \Sigma, x\mapsto\Phi(\tau(x),x)

leképezés és az ebből alkotott diszkrét lokális dinamikai rendszer időfejlődése:

 \Psi:\mathbf{Z}\times U\to U, (n,x)\mapsto\Pi^{n}(x)=\Phi^n(\tau(x),x)

ahol a kitevőbeli n nem a hatványozás, hanem a Π saját magával n-szer vett függvénykompozíciójának jele.

Stabilitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti leképezésből diszkrét dinamikai rendszert készíthetünk a következőképpen. Ha

P: U \to S

a követőfüggvény, akkor legyen

P^0 := id_U
P^{n+1} := P \circ P^n
P^{-n-1} := P^{-1} \circ P^{-n}

és

P(n, x) := P^{n}(x)

Ebben az esetben (Z, U, P) diszkrét dinamikai rendszer U-ben, az időfejlődés

P: \mathbb{Z} \times U \to U

függvényével. Ebben a rendszerben p definíció szerint fixpont.

A γ stabil (aszimptotikusan stabil) a folytonos rendszerben pontosan akkor, amikor a p fixpont stabil a diszkrétben. A γ stabil a folytonos rendszerben pontosan akkor, amikor a p fixpont stabil (aszimptotikusan stabil) a diszkrétben.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]