Poincaré-féle követőfüggvény

Az absztrakt matematikában alapvetően a dinamikai rendszerek elméletében, Poincaré-féle követőfüggvény (vagy az első visszatérés függvénye) Henri Poincaré-ról elnevezett leképezés. Ha egy sokaságban egy periodikus pálya metszi a sokaság egy alterét, akkor ezt az alteret az első metszet helyéhez nagyon közel újból metszi. A következő helyet (a megelőző függvényében) nevezik a fenti leképezésnek. Másképpen képzeljünk el egy periodikus pályát azzal a kezdeti feltétellel, hogy a pont kezdetben egy a pályára merőleges síkon (az ún. Poincaré-féle metszeten) volt. Ekkor a pont egy idő múlva – a periódusidőhöz nagyon közeli idő alatt – a kiindulási ponthoz nagyon közel újból metszi a síkot.

A Poincaré-féle követőfüggvény diszkrét dinamikai rendszernek tekinthető, csak eggyel kevesebb dimenzióval rendelkezik, mint az őt definiáló folytonos rendszer volt. Mivel a diszkrét rendszer az eredeti nagyon sok tulajdonságát megőrzi, de egyszerűbb, ezért alkalmas az eredeti rendszer hatékony vizsgálatára. Általában azonban követőrendszert nem könnyű konstruálni kézzelfogható alakban, ezért a módszer csak ad hoc jellegű.

Definíció

Legyen (R, M, Φ) be a egy globális dinamikai rendszer, az időpontok halmaza legyen R (valós számok), M a fázistér, és Φ az időfejlődés függvénye. Legyen γ p ponton keresztülhaladó periodikus pálya és S lokálisan differenciálható és a pályára merőleges metszete Φ-nek p-n keresztül, melyet Poincaré-metszetnek nevezünk.

Legyen U nyílt összefüggő környezete p-nek, a

$P:U\to S$

függvényt γ-hoz tartozó Poincaré-követőfüggvénynek nevezzük ha

• P(p) = p
• P(U) p egy környezete és P:U → P(U) diffeomorfizmus
• minden x pontra U-ban, a pozitív félpálya először metszi S-et P(x)-ben

Differenciálegyenletek követőfüggvénye

A dinamikai rendszer mintapéldái a differenciálegyenletek megoldóoperátorai. Ezekben az esetekben a követőfüggvény még szemléletesebb tartalommal bír.

Legyen

${\dot {x}}=f(x)$

autonóm közönséges differenciálegyenlet, x₀ kezdeti feltétel a t=0-időponthoz. Legyen Γ periodikus pálya ${\mbox{ }}_{\tau _{0}}\,$ > 0 minimális periódussal. Persze ekkor a Φ generált dinamikus rendszerre:

$\Phi (\tau _{0},x_{0})=x_{0}\,$

Legyen a pályára merőleges Poincaré-metszet a

$\Sigma =\{x\in \mathbf {R} ^{n}\mid \langle x-x_{0},f(x_{0})\rangle =0\}$

sík. Mivel f(x_0) a differenciálegyenlet értelmében sebességvektor az x₀ pontban, ezért a Σ tényeleg merőleges a pályára (<,> jelöli a skaláris szorzatot).

Tétel – Létezik x₀-nak olyan U nyílt környezete, és létezik egyetlen olyan ${\mbox{ }}_{\tau }\,$ : U $\to$ R folytonosan differenciálható függvény, hogy

$\Phi (\tau (x),x)\in \Sigma \quad \quad \forall x\in U$

$\tau (x_{0})=\tau _{0}\,$

Bizonyítás. Legyen

$H(\tau ,x)=\langle \Phi (\tau ,x)-x_{0},f(x_{0})\rangle$

ekkor

$\Phi (\tau ,x)\in \Sigma \quad \Longleftrightarrow \quad H(\tau ,x)=0$

Az implicitfüggvény-tétel segítségével kifejezzük a H(τ,x)=0 egyenletből τ-t. Ehhez kell, hogy ${\mbox{ }}_{H'_{\tau }(\tau _{0},x_{0})\neq 0}$ legyen. De ez igaz, mert:

${\frac {\partial H}{\partial \tau }}(\tau _{0},x_{0})=\left.\langle \Phi '(\tau ,x),f(x_{0})\rangle \right|_{\tau =\tau _{0},x=x_{0}}=\langle \Phi '(\tau _{0},x_{0}),f(x_{0})\rangle =\langle f(x_{0}),f(x_{0})\rangle$

ami feltehetően nem nulla.

Tehát létezik egyetlen, a mondott tulajdonságú τ. QED

Definíció. – Ebben az esetben az ${\dot {x}}=f(x)$ differenciálegyenlethez és a Γ, x₀, Σ-hoz tartozó Poincaré-követőfüggvény a

$\Pi :U\cap \Sigma \to \Sigma ,x\mapsto \Phi (\tau (x),x)$

leképezés és az ebből alkotott diszkrét lokális dinamikai rendszer időfejlődése:

$\Psi :\mathbf {Z} \times U\to U,(n,x)\mapsto \Pi ^{n}(x)=\Phi ^{n}(\tau (x),x)$

ahol a kitevőbeli n nem a hatványozás, hanem a Π saját magával n-szer vett függvénykompozíciójának jele.

Stabilitás

A fenti leképezésből diszkrét dinamikai rendszert készíthetünk a következőképpen. Ha

$P:U\to S$

a követőfüggvény, akkor legyen

$P^{0}:=id_{U}$

$P^{n+1}:=P\circ P^{n}$

$P^{-n-1}:=P^{-1}\circ P^{-n}$

és

$P(n,x):=P^{n}(x)$

Ebben az esetben (Z, U, P) diszkrét dinamikai rendszer U-ban, az időfejlődés

$P:\mathbb {Z} \times U\to U$

függvényével. Ebben a rendszerben p definíció szerint fixpont.

A γ stabil (aszimptotikusan stabil) a folytonos rendszerben pontosan akkor, amikor a p fixpont stabil a diszkrétben. A γ stabil a folytonos rendszerben pontosan akkor, amikor a p fixpont stabil (aszimptotikusan stabil) a diszkrétben.

Külső hivatkozások

• Nicholas B. TUFILLARO, Poincaré Map (1997)
• Shivakumar JOLAD, Poincare Map and its application to 'Spinning Magnet' problem (2005)