Piramisszámok

A negyedik piramisszám a 30, mert 1+4+9+16=30

Piramisszámnak (vagy n. piramis számnak) nevezzük az első n darab pozitív egész szám négyzetösszegét, más szóval az első n négyzetszám összegét.

Az elnevezést a fogalom geometriai jelentése motiválja, mert pontosan piramisszám számosságú gömbből lehet olyan piramist építeni, melynek alapja $n \times n$ méretű négyzet.

Képletek

Az n. piramisszám formális definíciója a következő:

$P_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \cdots + n^2$

amely a tömörebben is kifejezhető a Σ szimbólummal:

$P_n = \sum^n_{i=1} i^2$

Nem csak összegként, hanem zárt alakban is kifejezhető:

$P_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Tulajdonságok

A piramisszámok kapcsolatban állnak a binomiális együtthatókkal is a következőképpen:

$P_n = {{n + 2} \choose 3} + {{n + 1} \choose 3}$

Az 1-en kívül csak egy olyan szám van, amely egyben piramisszám és négyzetszám is, és ez a szám a 4900, amely a 70. négyzetszám és a 24. piramisszám. Ezt a tényt G. N. Watson-nak sikerült belátnia 1918-ban.

Az első néhány

Az első néhány piramisszám a következő:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, …