Parabola

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Parabola
Ez a szócikk egy matematikai fogalomról szól. A parabola más jelentéséhez kattints ide.

A parabola (a görög παραβολή-ből) egy kúpszelet, melyet körkúp-felület és sík metszésekor kapunk, ha a sík párhuzamos a kúp alkotójával. A parabolát úgy is lehet definiálni, hogy azon pontok mértani helye a síkban, melyek egyenlő távolságra vannak egy adott ponttól (fókuszpont, vagy gyújtópont) és egy ezen a ponton át nem haladó adott egyenestől (direktrix, vezéregyenes).

Különleges eset lép fel, ha a metszősík a kúpfelület érintősíkja. Ebben az esetben a parabola metszesvonal egyenessé fajul.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] Definíciók és áttekintés

A parabola, mint tükör, a fókusz, a direktrix (zöld) és a vezérsugarak (kék)

[szerkesztés] A parabola egyenletei

Descartes-koordinátarendszerben egy, az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabolának egyenlete, melynek csúcsa (h, k), fókuszpontja (h, k + p) és direktrixe y = k - p, ahol p a fókusz távolsága a csúcstól:

(x - h)^2 = 4p(y - k) \,

vagy:

(y - k) = \frac{1}{4p}(x-h)^2 \,

Általánosabban: a parabola olyan görbe, mely a Descartes-féle derékszögű koordinátarnedszerben az alábbi alakú egyenlettel definiálható:

A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0\,

ahol B^2 = 4 AC\,, az összes együttható valós, A és C nem zéró, és ahol több, mint egy megoldás, mely egy (x, y) pontpárt definiál a parabolán, létezik. Az egyenlet nem redukálható, ez azt jelenti, hogy az egyenlet nem szorzata két szükségszerűen független lineáris tényezőnek.

[szerkesztés] Más geometriai definíciók

Diáknóta a paraboláról

A parabolát úgy is lehet definiálni, hogy az egy olyan kúpszelet, melynek excentricitása 1. Ennek következményeképpen minden parabola hasonló egymáshoz. A parabola úgy is meghatározható, hogy azoknak az ellipsziseknek a határesete, melyeknek egyik fókuszpontja rögzített, a másik fókuszt pedig tetszőleges távolságba mozdítjuk el. Ebben az értelmeben parabola elipszisként fogható fel, melynek egyik fókusza a végtelenben van. A parabola a kardioid inverz transzformáltja.

A parabolának egyetlen tükörtengelye van, mely a fókuszán halad át és merőleges a direktrixére. A parabola és tengelye metszéspontját a parabola csúcsának nevezik. Ha a parabolát megforgatjuk tengelye körül, a súrolt felület a forgási paraboloid.

[szerkesztés] Egyenletek

Az egyenletekben szereplő jelölések: (h, k) az ellipszis csúcspontja, p a csúcspont és a fókuszpont közötti távolság (ha a csúcspont a fókusz alatt van vagy, ami ugyanezt jelenti, a direktrix felett, akkor p pozitív egyébként p negatív, hasonlóan vízszintes parabola-tengely esetén p pozitív, ha a csúcpont balra van a fókusztól, vagy ami ugyanazt jelenti, jobbra a direktrixtől.

[szerkesztés] Descartes-koordinátarendszer

[szerkesztés] Függőleges szimmetria-tengely
(x - h)^2 = 4p(y - k) \,
y = a(x-h)^2 + k \,
y = ax^2 + bx + c \,
\mbox{ahol }a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-h}{2p}; \ \ c = \frac{h^2}{4p} + k; \ \
h = \frac{-b}{2a}; \ \ k = \frac{4ac - b^2}{4a}.

Paraméteres egyenletek:

x(t) = 2pt + h; \ \ y(t) = pt^2 + k \,
[szerkesztés] Vízszintes szimmetria-tengely
(y - k)^2 = 4p(x - h) \,
x = a(y - k)^2 + h \,
x = ay^2 + by + c \,
\mbox{ahol }a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-k}{2p}; \ \ c = \frac{k^2}{4p} + h; \ \
h = \frac{4ac - b^2}{4a}; \ \ k = \frac{-b}{2a}.

Paraméteres egyenletek:

x(t) = pt^2 + h; \ \ y(t) = 2pt + k \,

[szerkesztés] Semi-latus rectum és polárkoordináták

Polárkoordináták esetén, ha a parabola fókusza az origóban van, és a csúcsa a negatív x-tengelyen helyezkedik el, az egyenlet:

r (1 - \cos \theta) = l \,

ahol l a semi-latus rectum: a távolság a fókuszponttól a paraboláig a tengelyre merőleges egyenesen mérve.

[szerkesztés] A parabola ívhossza

A parabola ívhossza.

A parabola ívhossza az O csúcsponttól az M pontig a következő (p a parabola paramétere):

OM = \sqrt {x\left( {x + \frac{p}{2}} \right)} + \frac{p}{2}{\rm arsh}\sqrt {\frac{{2x}}{p}}
\frac{x}{y} kis értékeire érvényes a következő közelítő formula:
OM \approx y\left[ {1 + \frac{2}{3}\left( {\frac{x}{y}} \right)^2 - \frac{2}{5}\left( {\frac{x}{y}} \right)^4 } \right]

[szerkesztés] Parabolatükör

Ha parabola alakú tükör fókuszába fényforrást helyezünk, a teljes parabola felület a fénysugarakat a tengellyel párhuzamos nyalábban fogja visszatükrözni. Ezt a tulajdonságát használják fényszórók készítésére. Fordítva, ha gyakorlatilag párhuzamos fénnyaláb a tengellyel egyirányban vetődik a parabola alakú tükör felületére, a visszavert sugarak a fókuszban találkoznak. Ha elég nagy a parabola tükör felülete, a Nap összegyűjtött sugarai képesek meggyújtani a fókuszba helyezett gyúlékony anyagot, ezért is hívják a fókuszt gyújtópontnak. A parabolatükröknek ezt a tulajdonságait napkemecék és napkazánok építésénél hasznosítják.

[szerkesztés] Parabola és a fizika

A parabola nagyon sok fizikai jelenségben megtalálható. A legismertebb jelenség a egy test hajításának parabolikus pályája állandó gravitációjú térben, ha nem hat a légellenállás. Ezt a jelenséget Galilei fedezte fel a 17. század elején, amikor kísérleteket végzett golyók lejtőn való legördülésével. A pálya parabola alakját később Isaac Newton igazolta. Kiterjedt test esésekor, például műugró ugrásakor a test bonyolult mozgásokat végezhet, foroghat stb. de a test tömegközéppontja parabolikus pályán mozog. A parabola pálya, mint alegtöbb esetben itt is csak közelítés. A légellenállás torzítja a pálya alakját, de ez kis sebességeknél elhanyagolható. Nagyobb sebességeknél az az elhanyagolás nem megengedett, a ballisztika más hatásokat is figyelembe vesz.

Forgó folyadék parabola alakú felszine.

A kéttestproblémánál például egy kisbolygónak a Nap gravitációs tere következtében fellépő mozgása folyamán is felléphet parabola alakú pálya. Az ilyen parabola alakú pálya speciális eset és ritkán fordul elő a természetben. A hiperbola vagy ellipszis alakú pályák sokkal gyakoribbak. A parabola alakú pálya az előbbiek határesete.

Parabolikus boltívek a moszkvai Arbatszkaja metróállomáson.

A parabola közelítést a függőhidak kábeleinek alakjánál is használják. A kifeszített kötél pontos alakja ugyan láncgörbe szerinti, de kis belógások esetén jó közelítést ad a parabolával való helyettesítés is.

Forgási paraboloidok szintén gyakran előfordulnak a fizikában. A legismertebb példa a parabolikus tükör, mely fényt vagy más elektromágneses sugárzást (például rádióhullámokat) a fókuszpontba gyűjt. A parabolikus tükröt i. e. 3. században Arkhimédész találta fel, aki a legenda szerint parabolikus tükröt szerkesztett, hogy megvédje Siracusa városát a római hajóhad támadása ellen úgy, hogy a nap sugarait a római hajók fedélzetére koncentrálta és így felgyújtotta azokat. A parabolikus tükröt a 17. században távcsövek készítésére is használni kezdték, a legnagyobb csillagászati távcsövek ma is tükrös teleszkópok. Ma parabolikus antennákat használnak elterjedten a mikrohullámú és mesterséges holdakkal folytatott távközlésben.

A forgó folyadék felszíne szintén parabola alakot vesz fel. Ez a jelenség az alapja a folyékony tükör teleszkópok működésének.

[szerkesztés] Lásd még

[szerkesztés] Külső hivatkozások

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Parabola témájú médiaállományokat.

[szerkesztés] Források

  • I.N. Bronstejn-K.A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 6. kiadás (Műszaki könyvkiadó, Budapest 1987.)
  • Pattantyús Gépész és villamosmérnökök kézikönyve 2. kötet Műszaki könyvkiadó, Budapest 1961.)
A lap eredeti címe: „http://hu.wikipedia.org/wiki/Parabola”