Palindromszámok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Palindromszám szócikkből átirányítva)

A palindromszám vagy számpalindrom olyan számot (szűken értelmezve tízes számrendszerbeli természetes számot) jelent, amelynek számjegyeit fordított sorrendben írva az eredeti számot kapjuk vissza. Ilyen szimmetrikus szám például a 16461. Maga a palindrom (régiesebb elnevezéssel palindróma) kifejezés általános értelemben a szójátékoknak, azon belül is az anagrammáknak egy fajtáját jelöli. Ilyen szó például a rotor, amely szó visszafelé olvasva is ugyanaz.

Az első néhány palindromszám (tízes számrendszerben):

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, 212, 222, 232, 242, 252, 262, 272, 282, 292, 303, …

A palindromszámok nagy figyelmet kapnak egyes matematikai feladványokban.[1] Jellemzőek lehetnek például az olyan problémafelvetések, amelynek során olyan számok keresése a cél, amelyek egyrészt valamely jellegzetes, meghatározott tulajdonsággal bírnak és palindromok. Például:

  • palindrom prímek sorozata: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, …
  • palindrom négyzetszámok sorozata: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, …

Buckminster Fuller a Szinergetika című könyvében a palindromszámokat – Az Ezeregyéjszaka meséi című gyűjteményben szereplő mesemondó lány után – Seherezádé-számoknak nevezi.

Könnyen belátható, hogy bármely palindromszám középső (páros számú számjegyből álló palindromszám esetén: középső kettő) számjegyének tetszőleges számú megismétlésével kapott szám szintén palindromszám. Például: 101, 1001, 10001, …

Az egyjegyű számok és az azonos számjegyekből álló számok palindromok. Bármely egész alapú számrendszerben végtelen sok palindromszám van, mert az azonos számjegyekből álló számok minden számrendszerben végtelen sorozatot alkotnak. Ilyenek például a repunitok, amiknek minden jegye 1. Az első néhány repunit 1, 11, 111, …

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Habár többnyire tízes számrendszerben tekintik a palindromszámokat, a palindromtulajdonság bármely egész alapú számrendszerben felírt természetes számra is alkalmazható.

Tekintsük a b alapú számrendszerben felírt n > 0 számot, ahol is k+1 jegyű, és jegyei az ai számok:

n=\sum_{i=0}^ka_ib^i

ahol is 0 ≤ ai < b minden i-re, és ak ≠ 0. Az n szám palindrom akkor és csak akkor, ha ai = aki minden i-re.

A 0 definíció szerint bármely számrendszerben palindromszám.

Egy másik, az előzővel ekvivalens definíció: Legyen rögzítve a tetszőleges b alap. Az n szám palindrom a b alapú számrendszerben, ha:

  • n egyjegyű
  • n kétjegyű, és számjegyei egyenlőek
  • n legalább háromjegyű; az első számjegye egyenlő az utolsóval, és az első és utolsó számjegy elhagyásával kapott szám palindrom.

Palindromszámok a tízes számrendszerben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A második ekvivalens definíció szerint minden egyjegyű szám palindrom. A kétjegyű palindromok száma 9:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

A háromjegyű palindromok száma 90; a szorzatszabállyal az első jegy kilencféle lehet; ez meghatározza a harmadik jegyet. A második jegy az elsőtől függetlenül választható, és ez tízzel szorozza meg a lehetőségek számát:

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, …, 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

Négyjegyű palindrom is 90 van, mert az első két számjegy meghatározza a másik két számjegyet is:

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, …, 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

így 199 palindromszám kisebb, mint 104.

105-ig 1099 létezik,, és a többi 10n hatványra:

1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999, … (A070199 sorozat az OEIS-ben).

A következő táblázatban számelméleti tulajdonságok szerint vannak listázva a palindromszámok:

  101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010
n természetes szám 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999
n páros 5 9 49 89 489 889 4889 8889 48889 88889
n páratlan 5 10 60 110 610 1110 6110 11110 61110 111110
n négyzetszám 4 7 14 15 20 31
n köbszám 3 4 5 7 8
n prím 4 5 20 113 781 5953
n négyzetmentes 6 12 67 120 675 1200 6821 12160 + +
n nem négyzetmentes (μ(n)=0) 4 7 42 79 424 799 4178 7839 + +
n prímnégyzet 2 3 5
n páros sok különböző prím szorzata (μ(n)=1) 2 6 35 56 324 583 3383 6093 + +
n páratlan számú különböző prím szorzata (μ(n)=-1) 4 6 32 64 351 617 3438 6067 + +
n páros, és páratlan sok prímtényezője van 1 2 9 21 100 180 1010 6067 + +
n páros, és páratlan sok különböző prímtényezője van 3 4 21 49 268 482 2486 4452 + +
n páratlan, és páratlan számú prímtényezője van 3 4 23 43 251 437 2428 4315 + +
n páratlan, és páratlan számú különböző prímtényezője van 4 5 28 56 317 566 3070 5607 + +
n páros, négyzetmentes, és előáll páros sok prím szorzataként 1 2 11 15 98 171 991 1782 + +
n páratlan, négyzetmentes, és páros számú prím szorzata 1 4 24 41 226 + + + + +
n páratlan, és két prím szorzata 1 4 25 39 205 303 1768 2403 + +
n páros, és két prím szorzata 2 3 11 64 413 + +
n páros, és három prím szorzatára bomlik 1 3 14 24 122 179 1056 + + +
n páros, és három különböző prím szorzata 0 1 18 44 250 390 2001 + + +
n páratlan, és három prímtényező szorzata 0 1 12 34 173 348 1762 + + +
n Carmichael-szám 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
n, aminek osztóösszeg-függvénye palindrom 6 10 47 114 688 1417 5683 + + +

Más számrendszerekben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Palindromszámok más számrendszerben is értelmezhetők. Például a kettes számrendszerben:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, …

tízes számrendszerbeli alakban 0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, … (A006995 sorozat az OEIS-ben). A Mersenne-prímek a kettes számrendszerbeli palindrom prímszámok részsorozatát alkotják.

Általában az egyik számrendszerben palindrom szám nem palindrom egy másik számrendszerben; például 1646110 = 404D16. Az alsó index a számrendszereket jelöli. Vannak olyan számok, amik több számrendszerben is palindromok. Ilyen például a 10510: 12214< = 1518 = 7714 = 5520 = 3334.

Az 1991 tízes és tizenhatos számrendszerben is palindrom: 7C7.

A tizennyolcas számrendszerben hét néhány hatványa palindrom:

73 =     111
74 =     777
76 =   12321
79 = 1367631

A huszonnégyes számrendszerben 5 első nyolc hatványa palindrom:

51 =          5
52 =         11
53 =         55
54 =        121
55 =        5A5
56 =       1331
57 =       5FF5
58 =      14641
5A =     15AA51
5C =    16FLF61

Tetszőleges n szám palindrom minden olyan b alapú számrendszerben, ahol b ≥ n + 1, (egyjegyű) és az n‒1 alapú számrendszerben (11). Azokat a számokat, amik nem palindromok a 2 ≤; b < n ‒ 1 alapú számrendszerek egyikében sem, szigorúan nempalindrom számnak nevezik.

Repunitok, azaz csupa 1 számjegyekből álló számok négyzetre emelésével is lehet palindromszámokat kapni. Így például tízes számrendszerben:

1 × 1 = 1
11 × 11 = 121
111 × 111 = 12321
1111 × 1111 = 1234321
11111 × 11111 = 123454321
111111 × 111111 = 12345654321
1111111 × 1111111 = 1234567654321
11111111 × 11111111 = 123456787654321
111111111 × 111111111 = 12345678987654321

Nagyobb alapú számrendszerben tovább lehet folytatni.

Egy hasonló tulajdonság az, amikor egy szám megfordul, ha átváltják egy másik számrendszerbe.

A következő táblázat felsorolja azokat a számokat, amikről ismert, hogy tízes számrendszerből egy másik számrendszerbe írva megfordulnak:

Alap Tízes számrendszerben Más számrendszerben
4 13 31
7 23 32
46 64
2.116 6.112
15.226 62.251
8 (Oktal) 1.524.765 5.674.251
9 445 544
313.725 527.313
3.454.446 6.444.543
12 315.231 132.513
13 43 34
86 68
774 477
16 (Hexadezimal) 53 35
371 173
5141 1415
99.481 18.499
19 21 12
42 24
63 36
84 48
441 114
882 288
7.721 1.277
9.471 1.749
21 551 155
912 219
22 73 37
511 115
25 83 38
28 31 13
62 26
93 39
961 169
37 41 14
82 28
46 51 15
55 61 16
64 71 17
73 81 18
82 91 19

Lychrel-sejtés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Lychrel-sejtés egy egyszerűnek látszó probléma. Egy nempalindrom számot megfordítanak, és összeadnak. Ha az eredmény nem palindrom, akkor megfordítják, és összeadják az eredetivel. Ezt ismétlik, amíg palindromszámot nem kapnak. Ez a Lychrel-algoritmus. A sejtés az, hogy bármely kezdőértékkel indulva az algoritmus véget ér.

Vannak számok, amikre az algoritmus sokáig fut, mielőtt véget ér. Ilyen például a 196, ami egymilliárd iteráció után sem ad palindromszámot. Azok a számok, amikre az algoritmus bizonyítottan nem áll meg, a Lychrel-számok.

Elnevezésük más nyelveken[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A spanyol capicúa szó katalán eredetű, amiben a "cap" szó fejet, a "cúa" farkat jelent. Az "i" (és) szócska összekapcsolja a kettőt. Ezt a szót a spanyolból átvette a portugál is, és az egész spanyol világ, és a köznyelvben többnyire ezt, és nem a palindrom szót használják.

Források, jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Az eredeti angol nyelvű szövegben a en:recreational mathematics kifejezéssel éltek.

Palindromic Numbers to 100,000 from Ask Dr. Math

Ez a szócikk részben vagy egészben a Palindromic number című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.