Püthagoraszi hangolás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A püthagoraszi hangolás következetesen kvintekből, a kvintkör szerint felépülő temperálás, amelyben a püthagoraszi kommát egyetlen nem tiszta kvint küszöböli ki, a szintonikus komma pedig a tercek nagy részénél teljesen megmarad. Előnye a tiszta hangoláshoz képest az, hogy több hangnemben is lehet elfogadhatóan játszani, a kiegyenlített hangolástól eltérően pedig tartalmaz tiszta hangközöket, így például a Gisz-Esz kvintet szűkítő változatban az alaphangnemen belül tiszta a nagyszekund, a kvart, a kvint, a kisszeptim és az oktáv. A középhangú temperálás elterjedéséig egyeduralkodó volt e hangolás az európai zenében, csak a terc konszonánssá válása és az ennek nyomán jelentkező új igények tudták a reneszánsz idején visszaszorítani más temperálásokhoz képest.

Általános hangolás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Alapszámítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A püthagoraszi hangsor alapjául a tiszta kvint szolgál, melynek arányszáma 3/2, az ehhez tartozó centérték pedig a következő képlettel számítható ki:

C_{kvint}=1200\cdot\log_2\frac{3}{2}\approx701{,}955

Ebből a kvintből építünk egymásra tizenkettőt, hogy megkapjuk a hangsor elemeit. Mivel azonban 12 tiszta kvint nem egyenlő 7 tiszta oktávval, vagyis

12\cdot701{,}955\ne7\cdot1200

így a kvintkör nem záródik, és fennmarad a püthagoraszi komma, melynek értéke:

K=12\cdot701{,}955-7\cdot1200\approx8423{,}46-8400=23{,}46

Ennek következményeként ezen hangolásban minden hangközből két különböző fajta található, egy kisebb és egy nagyobb, K (23,46 cent) eltéréssel. Szemléletesen ezt úgy magyarázhatjuk, hogy például a C-ről kiindulva az F hangot kétféleképpen kaphatjuk meg: vagy egymásra építünk fölfelé 11 kvintet, vagy pedig C-ről lépünk egy kvintet lefelé. A püthagoraszi komma létezése miatt a két kvart (C-F) nem lesz egyforma, az első esetben a centérték 521,505, a másodikban 498,045 (a különbség 23,46).

Felépítés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A püthagoraszi hangsor kvintekből való építkezését mutatja be a következő táblázat. Az első oszlop tartalmazza a lépésszámot, a második az abszolút centértéket, a harmadik a közös oktávba transzponáltat (matematikailag ezt értelemszerűen úgy kapjuk meg, hogy vesszük az 1200-zal való osztás maradékát), a negyedik pedig a megkapott hangköz kiegészítő hangközét (például a tiszta kvintnél a tiszta kvartot stb.), ami ugyanaz, mintha lefelé kezdtünk volna el a kvintekből építkezni, és amire a következőkben lesz szükségünk a hangközök két különböző fajtájának meghatározásához.

i C = i * Ckvint k1 = C mod 1200 k2 = 1200 – k1
0 0 0 1200 (0)
1 701,955 701,955 498,045
2 1403,91 203,91 996,09
3 2105,865 905,865 294,135
4 2807,82 407,82 792,18
5 3509,775 1109,775 90,225
6 4211,73 611,73 588,27
7 4913,685 113,685 1086,315
8 5615,64 815,64 384,36
9 6317,595 317,595 882,405
10 7019,55 1019,55 180,45
11 7721,505 521,505 678,495
12 8423,46 23,46 1176,54

Hangközök[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti számokat sorrendbe téve meghatározhatjuk a hangközöket, és kiszámíthatjuk eltérésüket a tiszta hangolású hangsor (t) elemeitől:

Hang neve Hangköz neve t k1 t – k1 k2 t – k2
C Prím 0,000 23,460 -23,460 0,000 0,000
Cisz Kisszekund 111,731 113,685 -1,954 90,225 21,506
D Nagyszekund 203,910 203,910 0,000 180,450 23,460
Esz Kisterc 315,641 317,595 -1,954 294,135 21,506
E Nagyterc 386,314 407,820 -21,506 384,360 1,954
F Kvart 498,045 521,505 -23,460 498,045 0,000
Fisz Tritonus 590,224 611,730 -21,506 588,270 1,954
G Kvint 701,955 701,955 0,000 678,495 23,460
Gisz Kisszext 813,686 815,640 -1,954 792,180 21,506
A Nagyszext 884,359 905,865 -21,506 882,405 1,954
B Kisszeptim 996,090 1019,550 -23,460 996,090 0,000
H Nagyszeptim 1088,269 1109,775 -21,506 1086,315 1,954

k1k2 láthatóan minden esetben 23,46, vagyis a püthagoraszi komma. A kisterc és a nagyterc egy-egy változata (294,135 ill. 407,82) 21,506 centtel tér el a tiszta hangolás által megkövetelt értéktől: ez a különbség a szintonikus komma, ami a püthagoraszi hangolást – a terc szerepének felértékelődése miatt – a középkorban használatra alkalmatlanná teszi, és kikényszeríti a tiszta terceket tartalmazó középhangú temperálás megalkotását. Megjegyzendő, hogy a két terc másik két változata csak 1,954-del tér el a tiszta hangolástól, azonban ezen változatokból csupán 3 illetve 4 fordul elő az adott hangsorban, szemben a nem tiszta tercek 8 illetve 9 darabszámával

Hangolás szűkített Gisz-Esz kvinttel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ahhoz, hogy a kvintkör bezáruljon, a kvintlánc egyik helyén a szokásosnál kisebb kvintet, az ún. farkaskvintet kell használni a tiszta kvint helyett. Attól függően, hogy melyik kvintet csökkentjük, kaphatjuk meg a püthagoraszi hangolás különböző változatait. (Nem célszerű ezt a lánc végére, az F-C kvintre hagyni, mert az sok zenében előfordul, melyek így mind hamisan szólnának.) A legelterjedtebb megoldás a Gisz-Esz kvint csökkentése; a továbbiakban ennek tulajdonságait vizsgáljuk, azon megjegyzéssel, hogy az egyéb változatok is nagyon hasonlóak ehhez, csak más helyeken jelennek meg a különböző hangköztípusok.

Felépítés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az általános esethez hasonlóan tiszta kvintekből építjük fel a hangsorunkat, ügyelve arra, hogy a Gisz-Esz kvintben (a 9. lépésben) levonjuk a kommát. Az alábbi táblázat első oszlopa a hang nevét mutatja, a második a lépésszámot, a harmadik az általános hangolás abszolút centértékeit, a negyedik a kommát, amit az Esz-től kezdve alkalmazunk, az ötödik a kommával módosított értékeket, a hatodik pedig ezen utóbbi közös oktávba transzponált változatait vagyis a C1-hez viszonyított hangközértékeket.

Hang neve i C = i * Ckvint komma kabs k = kabs mod 1200
C1 0 0,000 0,000 0,000
G 1 701,955 701,955 701,955
D 2 1403,910 1403,910 203,910
A 3 2105,865 2105,865 905,865
E 4 2807,820 2807,820 407,820
H 5 3509,775 3509,775 1109,775
Fisz 6 4211,730 4211,730 611,730
Cisz 7 4913,685 4913,685 113,685
Gisz 8 5615,640 5615,640 815,640
Esz 9 6317,595 -23,460 6294,135 294,135
B 10 7019,550 -23,460 6996,090 996,090
F 11 7721,505 -23,460 7698,045 498,045
C2 12 8423,460 -23,460 8400,000 0,000

Ezáltal a püthagoraszi kommát a gyakorlatban ritkán használt Gisz-Esz kvintben rejtettük el, így a C körüli hangnemek tisztán szólnak.

Hangközök[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti k értékeket sorba rendezve kapjuk meg az adott hangolás alaphangra emelt hangközeit. Az alábbi táblázatban az első oszlop a hangok míg a második a hangközök neveit adja meg, a harmadik tartalmazza hangközértékeket, a negyedikből pedig az előző hangtól való eltérést olvashatjuk le.

Hang neve Hangköz neve k Δk
C Prím 0,000 -
Cisz Kisszekund 113,685 113,685
D Nagyszekund 203,910 90,225
Esz Kisterc 294,135 90,225
E Nagyterc 407,820 113,685
F Kvart 498,045 90,225
Fisz Tritonus 611,730 113,685
G Kvint 701,955 90,225
Gisz Kisszext 815,640 113,685
A Nagyszext 905,865 90,225
B Kisszeptim 996,090 90,225
H Nagyszeptim 1109,775 113,685

Mint kitűnik, a kétféle kisszekund (90,225 illetve 113,685) építi fel a hangsort, más félhangtípus nem fordul elő.

A következő táblázat az összes előforduló hangközt tünteti fel, kiemelten a nagyobb (a fentiekben k1 típusú) és normál módon a kisebb (k2) hangközöket.

- C Cisz D Esz E F Fisz G Gisz A B H
C 0,000 113,685 203,910 294,135 407,820 498,045 611,730 701,955 815,640 905,865 996,090 1109,775
Cisz 1086,315 0,000 90,225 180,450 294,135 384,360 498,045 588,270 701,955 792,180 882,405 996,090
D 996,090 1109,775 0,000 90,225 203,910 294,135 407,820 498,045 611,730 701,955 792,180 905,865
Esz 905,865 1019,550 1109,775 0,000 113,685 203,910 317,595 407,820 521,505 611,730 701,955 815,640
E 792,180 905,865 996,090 1086,315 0,000 90,225 203,910 294,135 407,820 498,045 588,270 701,955
F 701,955 815,640 905,865 996,090 1109,775 0,000 113,685 203,910 317,595 407,820 498,045 611,730
Fisz 588,270 701,955 792,180 882,405 996,090 1086,315 0,000 90,225 203,910 294,135 384,360 498,045
G 498,045 611,730 701,955 792,180 905,865 996,090 1109,775 0,000 113,685 203,910 294,135 407,820
Gisz 384,360 498,045 588,270 678,495 792,180 882,405 996,090 1086,315 0,000 90,225 180,450 294,135
A 294,135 407,820 498,045 588,270 701,955 792,180 905,865 996,090 1109,775 0,000 90,225 203,910
B 203,910 317,595 407,820 498,045 611,730 701,955 815,640 905,865 1019,550 1109,775 0,000 113,685
H 90,225 203,910 294,135 384,360 498,045 588,270 701,955 792,180 905,865 996,090 1086,315 0,000

Értelemszerűen a bal fentről jobb alulra tartó átlók tartalmazzák az azonos típusú hangközöket. Leolvasható például az ábráról, hogy ebben a hangolásban egy darab 521,505 centértékű kvart található (nyilván az Esz-Gisz, a Gisz-Esz kvint fordítottja), a többi mind 498,045 értékű. A számokat viszonyíthatjuk a tiszta hangolású értékekhez is, ekkor kapjuk az alábbi táblát (tk1 ill. tk2 különbségekkel):

- C Cisz D Esz E F Fisz G Gisz A B H
C 0,000 -1,954 0,000 21,506 -21,506 0,000 -21,506 0,000 -1,954 -21,506 0,000 -21,506
Cisz 1,954 0,000 -21,506 23,460 21,506 1,954 0,000 1,954 0,000 21,506 1,954 0,000
D 0,000 -21,506 0,000 -21,506 0,000 21,506 -21,506 0,000 -21,506 0,000 21,506 -21,506
Esz -21,506 -23,460 -21,506 0,000 -1,954 0,000 -1,954 -21,506 -23,460 -21,506 0,000 -1,954
E 21,506 -21,506 0,000 1,954 0,000 -21,506 0,000 21,506 -21,506 0,000 1,954 0,000
F 0,000 -1,954 -21,506 0,000 -21,506 0,000 -1,954 0,000 -1,954 -21,506 0,000 -21,506
Fisz 1,954 0,000 21,506 1,954 0,000 1,954 0,000 -21,506 0,000 21,506 1,954 0,000
G 0,000 -21,506 0,000 21,506 -21,506 0,000 -21,506 0,000 -1,954 0,000 21,506 -21,506
Gisz 1,954 0,000 1,954 23,460 21,506 1,954 0,000 1,954 0,000 -21,506 23,460 21,506
A 21,506 -21,506 0,000 1,954 0,000 21,506 -21,506 0,000 -21,506 0,000 -21,506 0,000
B 0,000 -1,954 -21,506 0,000 -21,506 0,000 -1,954 -21,506 -23,460 -21,506 0,000 -1,954
H -21,506 0,000 21,506 1,954 0,000 1,954 0,000 21,506 -21,506 0,000 1,954 0,000

Mint leolvasható, a kisterc 3 helyen (Esz-Fisz, F-Gisz, B-Cisz), a nagyterc pedig 4 helyen (Cisz-F, Fisz-B, Gisz-C, H-Esz) majdnem teljesen tiszta (a különbség abszolútértékben 1,954 cent), a többi esetben azonban ennél jóval többel, a szintonikus komma 21,506 centértékével tér el a tiszta hangolás által megkövetelttől.

Skálák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A 12-fokú hangsor minden fokára építhetünk skálát, amelyik a hangolási rendszer függvényében más lesz, mint az eredeti, az alaphangra emelt skála. A püthagoraszi hangolás esetében minél távolabb kerülünk az alaphangtól, annál hamisabb lesz a kapott hangsorunk, vagyis itt a tiszta hangolás egy változatával van dolgunk.

A Gisz-Esz kvintet szűkítő hangolás esetén az alábbi táblázat szerint alakulnak a skálaviszonyok. Az egyes oszlopok azt mutatják, milyen centviszonyban vannak a hangok a kijelölt alaphanghoz képest; például az Esz skálában a kvint a B, az Esz-B hangköz pedig 701,955 értékű kvint (a tábla valójában a hangközöket mutató fentebbi "elforgatása" 45°-kal).

- C Cisz D Esz E F Fisz G Gisz A B H
0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
1 113,685 90,225 90,225 113,685 90,225 113,685 90,225 113,685 90,225 90,225 113,685 90,225
2 203,910 180,450 203,910 203,910 203,910 203,910 203,910 203,910 180,450 203,910 203,910 203,910
3 294,135 294,135 294,135 317,595 294,135 317,595 294,135 294,135 294,135 294,135 317,595 294,135
4 407,820 384,360 407,820 407,820 407,820 407,820 384,360 407,820 384,360 407,820 407,820 384,360
5 498,045 498,045 498,045 521,505 498,045 498,045 498,045 498,045 498,045 498,045 498,045 498,045
6 611,730 588,270 611,730 611,730 588,270 611,730 588,270 611,730 588,270 588,270 611,730 588,270
7 701,955 701,955 701,955 701,955 701,955 701,955 701,955 701,955 678,495 701,955 701,955 701,955
8 815,640 792,180 792,180 815,640 792,180 815,640 792,180 792,180 792,180 792,180 815,640 792,180
9 905,865 882,405 905,865 905,865 905,865 905,865 882,405 905,865 882,405 905,865 905,865 905,865
10 996,090 996,090 996,090 1019,550 996,090 996,090 996,090 996,090 996,090 996,090 1019,550 996,090
11 1109,775 1086,315 1109,775 1109,775 1086,315 1109,775 1086,315 1109,775 1086,315 1109,775 1109,775 1086,315

Ha az alaphangra emelt skálához viszonyítunk, vagyis azt nézzük, mennyire tér el az adott sor az eredetitől, a következő táblát kapjuk:

- C Cisz D Esz E F Fisz G Gisz A B H
Prím 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
Kisszekund 0,00 -23,46 -23,46 0,00 -23,46 0,00 -23,46 0,00 -23,46 -23,46 0,00 -23,46
Nagyszekund 0,00 -23,46 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -23,46 0,00 0,00 0,00
Kisterc 0,00 0,00 0,00 23,46 0,00 23,46 0,00 0,00 0,00 0,00 23,46 0,00
Nagyterc 0,00 -23,46 0,00 0,00 0,00 0,00 -23,46 0,00 -23,46 0,00 0,00 -23,46
Kvart 0,00 0,00 0,00 23,46 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
Tritonus 0,00 -23,46 0,00 0,00 -23,46 0,00 -23,46 0,00 -23,46 -23,46 0,00 -23,46
Kvint 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -23,46 0,00 0,00 0,00
Kisszext 0,00 -23,46 -23,46 0,00 -23,46 0,00 -23,46 -23,46 -23,46 -23,46 0,00 -23,46
Nagyszext 0,00 -23,46 0,00 0,00 0,00 0,00 -23,46 0,00 -23,46 0,00 0,00 0,00
Kisszeptim 0,00 0,00 0,00 23,46 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 23,46 0,00
Nagyszeptim 0,00 -23,46 0,00 0,00 -23,46 0,00 -23,46 0,00 -23,46 0,00 0,00 -23,46

Az oszlopokat és sorokat a skála felépítésének megfelelően újrarendezve még világosabban láthatjuk, hogyan válnak egyre hamisabbá a hangsorok az alaphangtól távolodva, illetve azt, milyen hatása van a kvintszűkítésnek:

- C Cisz D Esz E F Fisz G Gisz A B H
Prím 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
Kvint 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -23,46 0,00 0,00 0,00
Nagyszekund 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -23,46 -23,46 0,00 0,00 0,00
Nagyszext 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -23,46 -23,46 -23,46 0,00 0,00 0,00
Nagyterc 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -23,46 -23,46 -23,46 -23,46 0,00 0,00 0,00
Nagyszeptim 0,00 0,00 0,00 0,00 -23,46 -23,46 -23,46 -23,46 -23,46 0,00 0,00 0,00
Tritonus 0,00 0,00 0,00 -23,46 -23,46 -23,46 -23,46 -23,46 -23,46 0,00 0,00 0,00
Kisszekund 0,00 0,00 -23,46 -23,46 -23,46 -23,46 -23,46 -23,46 -23,46 0,00 0,00 0,00
Kisszext 0,00 -23,46 -23,46 -23,46 -23,46 -23,46 -23,46 -23,46 -23,46 0,00 0,00 0,00
Kisterc 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 23,46 23,46 23,46
Kisszeptim 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 23,46 23,46 0,00
Kvart 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 23,46 0,00 0,00

Jól megfigyelhetően minden egyes kvintlépés egy újabb hanggal teszi hamisabbá a teljes hangsort, egészen a farkaskvint alkalmazásáig, amikor megfordul a folyamat. A szűkítést tulajdonképpen úgy is értelmezhetjük, mint azon határt, ameddig felfelé illetve lefelé építjük a hangsort. A jelenlegi példában így a Gisz hangig haladunk felfelé, illetve az Esz-ig lefelé, a kettő pedig intervallumként farkaskvintet ad.

Összefoglalás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti konkrét példához hasonlóan el lehet végezni a más kvintet szűkítő püthagoraszi hangolások elemzését is. Mindegyik változatnál azt kapjuk eredményül, hogy 90,225 és 113,685 centértékű kisszekundok építik fel a hangsort, a skálák pedig a szűkítésig növekvő, majd onnantól csökkenő mértékben térnek el az eredetitől.

A hangolás láthatóan az alaphanghoz közeli hangnemeket preferálja, vagyis nem lehet benne minden skálát még hozzávetőlegesen sem hasonlóan eljátszani. Bár tartalmaz tiszta hangközöket, de a szintonikus komma kiküszöböletlensége miatt a reneszánsz és újkor zenéje elfordult tőle, s át kellett adnia helyét más temperálásoknak, hogy mára már pusztán kuriózumként, érdekességként szerepeljen a zenei lexikonokban és összefoglalókban.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Német leírás a püthagoraszi hangolásról

  • zene Zeneportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap