Páraxióma

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A páraxióma a halmazelmélet rendszereinek tipikus axiómája:

Ha x és y halmazok, akkor létezik egy olyan z halmaz, amelynek x és y eleme, más eleme viszont nincs.
\forall x \forall y \exists z \forall u \, ( u \in z \leftrightarrow ( u=x \lor u=y ) )

Egy másik tipikus halmazelméleti axióma, az extenzionalitási axióma biztosítja, hogy adott x-hez és y-hoz egyetlen ilyen z párhalmaz létezik. A párhalmaz bevett jelölése: \{ x,y\}. Speciális esetként x és y lehet ugyanaz a halmaz is; az axióma tehát az egyelemű halmazok létezését is szavatolja. Ezeket \{ x\}-szel jelöljük.

Változatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A komprehenziós séma lehetővé teszi a páraxióma következő gyengítését:
\forall x \forall y \exists z \forall u \, ( ( u=x \lor u=y ) \rightarrow u \in z )
A párhalmaz létezését tetszőleges x, y és megfelelő z esetén az \{ u\in z | \, u=x \lor u=y \} komprehenzió biztosítja.
Ha x és y halmazok, akkor a \{ x,y\} osztály is halmaz.
\forall x \forall y \, \mathrm{m}(\{ x,y\})
(\mathrm{m} az osztályrealista halmazelméletek halmazpredikátuma.)

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A páraxióma megtalálható volt már Ernst Zermelo 1908-as axiómarendszerében is, az elemi halmazok axiómája (Axiom der Elementarmengen) részeként. Rendszerint szerepel a standard Zermelo-Fraenkel axiómarendszerben is; valamint ennek variánsaiban és a különféle osztályrealista halmazelméletekben.

Párhalmaz és rendezett pár[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy halmaz elemeinek nincs sorrendje; \{ x,y\} ugyanaz a halmaz, mint \{ y,x\}. Mégis általában csak a párhalmaz fogalmára támaszkodva tudjuk definiálni a rendezett párokat. A legelterjedtebb meghatározás Kazimierz Kuratowskitól származik 1921-ből:

\langle x,y \rangle = \Big\{ \{ x \} , \{ x,y \} \Big\}

A páraxióma kiküszöbölése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A legtöbb halmazelméleti axiómarendszerben a páraxióma bizonyítható; így csak kényelmi okokból szokták szerepeltetni. Közismert például az alábbi bizonyítás a standard Zermelo-Fraenkel halmazelméletben:

Létezik legalább egy x halmaz. (Ez logikai igazság: \exists x \, x=x.) A komprehenziós axiómaséma értelmében létezik az \{ y \in x|\, y\neq y\} halmaz is. Mivel minden azonos önmagával (ez is logikai igazság: \forall x x=x), ez \emptyset, az üres halmaz. A hatványhalmaz-axióma miatt létezik \{ \emptyset\} és \Big\{\emptyset ,\{\emptyset\}\Big\} is. Az utóbbi kételemű halmaz. Így a pótlás axiómasémája értelmében minden párhalmaz létezik. ■

Ez a bizonyítás nem alkalmazható a Zermelo-halmazelméletben, mert ott hiányzik a pótlás axiómasémája.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Thomas Jech: Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer, 2003.
  • Jean van Heijenoort: From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press, 1967.