Nyújtott exponenciális függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A nyújtott exponenciális függvény az exponenciális függvény kiegészítése egy járulékos paraméterrel, ahol a kiterjesztő paraméter, a β:

\varphi (t) = e^{ - \left( {t /\tau_K } \right)^\beta  }. A legtöbb alkalmazásban a t argumentumnak csak 0 és +∞ között van értelme. β=1 esetén a standard exponenciális függvényt kapjuk. 0 és 1 közötti β értékeknél, a φ(t) - log(t) görbe megnyúlik, kiterjed, innen kapta a nevét. Az összenyomott exponenciális függvény (β>1 esetén) kisebb gyakorlati jelentőséggel bír, egy nevezetes kivétel a β=2, mely a normál eloszlás.

Matematikában a nyújtott exponenciális függvény, a komplementer kumulatív Weibull-eloszlásként ismert.

Továbbmenve, a nyújtott exponenciális függvény, a szimmetrikus alfa-stabil Lévy-eloszlás karakterisztikus függvénye.

Fizikában a nyújtott exponenciális függvényt gyakran használják rendezetlen rendszerek relaxációjának fenomenológiai leírására.

Ezt először Rudolf Kohlrausch vezette be 1854-ben, amikor leírta a kondenzátor kisülését, [1], és ezért ezt Kohlrausch függvénynek is hívják. 1970-ben G. Williams és D.C. Watts a nyújtott exponenciális függvény Fourier-transzformációját alkalmazta a polimerek dielektromos elemzésénél. [2] Ebben a kontextusban a nyújtott exponenciális, vagy annak Fourier transzformáltját Kohlrausch-Williams-Watts (KWW) függvénynek is hívják.

Eloszlás függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fizika néhány területén a nyújtott exponenciális függvény alkalmazása gyakran indokolt, mint például az egyszerű exponenciális bomlás lineáris szuperpoziciója.

Ez igényli a relaxációs idők nem triviális eloszlását, ρ(u), melynek definíciója: e^{ - t^\beta} = \int_0^\infty du\,\rho(u)\, e^{-t/u}. az eloszlás:

G=u \rho (u)\,

A p a következő kifejezésből számítható: :[3] 
\rho (u ) =  -{ 1 \over {\pi u }} \sum\limits_{k = 0}^\infty 
    {{( - 1)^k } \over {k!}}\sin (\pi \beta k)\Gamma (\beta k + 1) u^{\beta k }

A következő két ábra hasonló eredményeket mutat, mind lineáris, mind logaritmikus megjelenítésben. A görbék a Dirac delta függvényhez konvergálnak, melynek u=1- nél van maximum, ahogy a β tart az 1-hez, megfelelve az egyszerű, vagy standard exponenciális függvénynek.

A nyújtott exponenciális függvény lineáris megjelenítése
A nyújtott exponenciális függvény logaritmikus megjelenítése











Átlagos relaxációs idő[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A φ(t) görbe alatti területe értelmezhető az átlagos (középérték) relaxációs időnek: \langle\tau\rangle \equiv \int_0^\infty dt\, e^{ - \left( {t /\tau_K } \right)^\beta  } = {\tau_K  \over \beta }\Gamma ({1 \over \beta }) ahol \Gamma a gamma-függvény. Az exponenciális bomláshoz \langle\tau\rangle=\tau_K

Magasabb momentumok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A nyújtott exponenciális függvény magasabb momentumai :[4] \langle\tau^n\rangle \equiv \int_0^\infty dt\, t^{n-1}\, e^{ - \left( {t /\tau_K } \right)^\beta  } = {{\tau_K }^n  \over \beta }\Gamma ({n \over \beta }). Ez szorosan kapcsolódik az egyszerű exponenciális relaxációs idők momentumaihoz:

\langle\tau^n\rangle = \Gamma(n) \int_0^\infty d\tau\, t^{n}\, \rho(\tau).

Az egyszerű exponenciális relaxációs idők első logaritmikus momentum: \langle\ln\tau\rangle = \left( 1 - { 1 \over \beta } \right) {\rm Eu} + \ln \tau_K ahol Eu az Euler állandó, azaz az Euler-féle szám [5]

Fourier Transzformáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A spektroszkópia eredményeinek, vagy a rugalmatlan szórás leírásához, a nyújtott exponenciális függvény szinusz - vagy koszinusz Fourier transzformációjára van szükség.

Ezt numerikus integrálással vagy sorozatokkal lehet kiszámítani. .[6] A sorozatok alkalmazásának speciális esete a Fox-Wright függvény.

Gyakorlati okokból, a Fourier transzformációt a Havriliak-Negami függvénnyel lehet közelíteni. [7]


Történelem és további alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A nyújtott exponenciális függvényt Rudolf Kohlrausch német fizikus vezette be 1854-ben, amikor leírást készített a kondenzátor kisüléséről, dielektrikumnak üveget használt.

A következő dokumentált felhasználás Friedrich Kohlrauschtól származik, aki a torziós relaxációt írta le. Friedrich Kohlrausch, Rudolf Kohlrausch fia volt.

A. Werner 1907-ben a komplex lumineszcens lebomlás leírására használta a nyújtott exponenciális függvényt.

1949-ben Theodor Förster a fluoreszkálás bomlási törvényénél alkalmazta.

A fizikában a Naprendszer kis sugárzó testei távolodási sebességének leírására is alkalmazzák a nyújtott exponenciális függvényt[8], valamint diffúzió-súlyozott MRI jeleknél, az agyban.[9]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Baeurle, S.A., Hotta, A. and Gusev, A.A: "A new semi-phenomenological approach to predict the stress relaxation behavior of thermoplastic elastomers". (hely nélkül): Polymer 46. 2005. 4344–4354. o.  

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Kohlrausch, R. (1854.). „Theorie des elektrischen Rückstandes in der Leidner Flasche”. Annalen der Physik und Chemie (Poggendorff) 91, 56–82, 179–213. o.  .
  2. Williams, G. and Watts, D. C. (1970.). „Non-Symmetrical Dielectric Relaxation Behavior Arising from a Simple Empirical Decay Function”. Transactions of the Faraday Society 66, 80–85. o. DOI:10.1039/tf9706600080.  .
  3. Lindsey, C. P. and Patterson, G. D. (1980.). „Detailed comparison of the Williams-Watts and Cole-Davidson functions”. Journal of Chemical Physics 73, 3348–3357. o. DOI:10.1063/1.440530.  . For a more recent and general discussion, see Berberan-Santos, M.N., Bodunov, E.N. and Valeur, B. (2005.). „Mathematical functions for the analysis of luminescence decays with underlying distributions 1. Kohlrausch decay function (stretched exponential)”. Chemical Physics 315, 171–182. o. DOI:10.1016/j.chemphys.2005.04.006.  .
  4. I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, fourth edition. Academic Press, 1980. Integral 3.478.
  5. Zorn, R. (2002.). „Logarithmic moments of relaxation time distributions”. Journal of Chemical Physics 116, 3204–3209. o. DOI:10.1063/1.1446035.  
  6. Dishon et al. 1985.; Wuttke http://arxiv.org/abs/0911.4796v1
  7. Alvarez, F., Alegría, A. and Colmenero, J. (1991.). „Relationship between the time-domain Kohlrausch-Williams-Watts and frequency-domain Havriliak-Negami relaxation functions”. Physical Review B 44, 7306–7312. o. DOI:10.1103/PhysRevB.44.7306.  
  8. Dobrovolskis, A., Alvarellos, J. and Lissauer, J. (2007.). „Lifetimes of small bodies in planetocentric (or heliocentric) orbits”. Icarus 188, 481–505. o. DOI:10.1016/j.icarus.2006.11.024.  
  9. Bennett, K. et al. (2003.). „Characterization of Continuously Distributed Water Diffusion Rates in Cerebral Cortex with a Stretched Exponential Model”. Magn. Reson. Med. 50, 727–734. o. DOI:10.1002/mrm.10581.