Normális szám

Normális szám a k pozitív egész számhoz viszonyítva olyan valós szám, amelynek k-adostört (pl., tizedestört) alakjának számjegyei a végtelenségig véletlenszerűen váltakoznak. A racionális számok e laza megfogalmazás szerint nem tünnek normálisak, hiszen számjegyeik vagy végtelen sok nullávál fejeződnek be, vagy egy megadott mintázat szerint ismétlődnek a végtelenségig.

A véletlenszerűség követelménye

A pontos definció megadásához először tisztázni kell, hogy mit értsünk azon, hogy a számjegyek véletlenszerűek egy számban. Józan ésszel is belátható, hogy egy szám számjegyeit nem tekinthetjük véletlenszerűeknek azon az alapon, hogy egyenlő gyakorisággal fordulnak elő. Például: 0,123456789*0123456789* szabványos tizedestört alakban az a szám, amelyben a 0123456789 sorozat végtelen sokszor ismétlődik. A számjegyek egyenlő eloszlással szerepelnek, de nyilván nem véletlenszerűen követik egymást. Vegyünk most egy $k$ hosszúságú mintázatot. Ilyen mintázatot $10^k$ félét lehet alkotni a tízes számrendszerben. Ha ezek a mintázatok $1$/$10^k$ relatív gyakorisággal találtatnak a szám számjegyei között és ez bármely mintázatra és bármely $k$-ra igaz, akkor legalábbis a tízes számrendszert tekintve a számjegyek előfordulását véletlenszerűnek tekinthetjük. Ha ez minden számrendszerben igaz egy adott számra, akkor ezt a számot normális számnak nevezzük.

A normális szám definíciója

A pontos matemaikai definíció a következő. Írjuk fel az $x$ számot a $b$ alapú számrendszerben és legyen $s_k$ egy a $b$ alapú számrendszer számjegyeiből alkotott $k$ hosszúságú mintázat (string). Fussunk végig az $x$ első $n$ számjegyén és jelölje $N_b(s_k,n)$ az $s_k$ string előfordulásainak számát. Az $x$ számot a $b$ alapra nézve normálisnak nevezzük, ha minden $k$-ra és $s_k$-ra

$\lim_{n\to\infty} \frac{N_b(s_k,n)}{n} = \frac{1}{b^{k}}$

$x$ normális, ha minden $b$ alapra nézve normális.

Rövid történeti áttekintés

A normális szám fogalmát Émile Borel 1909-ben vezette be. A Borel-Cantelli lemma segítségével bebizonyította, hogy (mértékelméleti értelemben) „majdnem minden valós szám normális”; azaz a nem normális számok halmazának Lebesgue-mértéke 0. Wacław Sierpiński lengyel matematikus mutatott először konkrét példát normális számra.

A Copeland-Erdős szám

Példaként a 10 számrendszerben normális számra álljon itt a Copeland-Erdős konstans:

0,235711131719232931374143…

mely a prímszámok egymásutáni leírásával adódik.

Forrás

Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "On the Random Character of Fundamental Constant Expansions." Experimental Mathematics 10, 175-190, 2001. online verzió