Normális szám

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Normális szám a k pozitív egész számhoz viszonyítva olyan valós szám, amelynek k-adostört (pl. tizedestört) alakjának számjegyei a végtelenségig véletlenszerűen váltakoznak. A racionális számok e laza megfogalmazás szerint nem tűnnek normálisnak, hiszen számjegyeik vagy végtelen sok nullával fejeződnek be, vagy egy megadott mintázat szerint ismétlődnek a végtelenségig.

A véletlenszerűség követelménye[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A pontos definíció megadásához először tisztázni kell, hogy mit értsünk azon, hogy a számjegyek véletlenszerűek egy számban. Józan ésszel is belátható, hogy egy szám számjegyeit nem tekinthetjük véletlenszerűeknek azon az alapon, hogy egyenlő gyakorisággal fordulnak elő. Például: 0,123456789*0123456789* szabványos tizedestört alakban az a szám, amelyben a 0123456789 sorozat végtelen sokszor ismétlődik. A számjegyek egyenlő eloszlással szerepelnek, de nyilván nem véletlenszerűen követik egymást. Vegyünk most egy k hosszúságú mintázatot. Ilyen mintázatot 10^k félét lehet alkotni a tízes számrendszerben. Ha ezek a mintázatok 1/10^k relatív gyakorisággal találtatnak a szám számjegyei között és ez bármely mintázatra és bármely k-ra igaz, akkor legalábbis a tízes számrendszert tekintve a számjegyek előfordulását véletlenszerűnek tekinthetjük. Ha ez minden számrendszerben igaz egy adott számra, akkor ezt a számot normális számnak nevezzük.

A normális szám definíciója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A pontos matematikai definíció a következő. Írjuk fel az x számot a b alapú számrendszerben és legyen s_k egy a b alapú számrendszer számjegyeiből alkotott k hosszúságú mintázat (string). Fussunk végig az x első n számjegyén és jelölje N_b(s_k,n) az s_k string előfordulásainak számát. Az x számot a b alapra nézve normálisnak nevezzük, ha minden k-ra és s_k-ra

\lim_{n\to\infty} \frac{N_b(s_k,n)}{n} = \frac{1}{b^{k}}

x normális, ha minden b alapra nézve normális.

Rövid történeti áttekintés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A normális szám fogalmát Émile Borel 1909-ben vezette be. A Borel-Cantelli lemma segítségével bebizonyította, hogy (mértékelméleti értelemben) „majdnem minden valós szám normális”; azaz a nem normális számok halmazának Lebesgue-mértéke 0. Wacław Sierpiński lengyel matematikus mutatott először konkrét példát normális számra.

A Copeland-Erdős szám[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Példaként a 10-es számrendszerben normális számra álljon itt a Copeland-Erdős konstans:

0,235711131719232931374143…

mely a prímszámok egymásutáni leírásával adódik.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "On the Random Character of Fundamental Constant Expansions." Experimental Mathematics 10, 175-190, 2001. online verzió