Muirhead-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Muirhead-egyenlőtlenség a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség általánosításaként ismert a matematikában, az előbbinél jóval több esetben használható.

Az „a-közép”[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bármely valós vektor esetén

a=\left(a_1,\dots,a_n \right)

az x1,…,xn számok „a-közepe” [a] a következő:

[a]=\frac{1}{n!} \sum_\pi x^{a_1}_{\pi_1}\cdots x^{a_n}_{\pi_n},

ahol az összeg az {1,…,n} számok minden π permutációjára kiterjed.

Az egyenlőtlenség[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két n-dimenziós vektort, a-t és b-t tekintve, az összeg szimmetriája miatt feltehető, hogy

a_1\ge a_2\ge \dots \ge a_n
b_1\ge b_2\ge \dots \ge b_n.

Minden x1,…,xn nemnegatív szám esetén, [a]≤[b] akkor és csak akkor, ha a következő állítások igazak:

a_1 \leq b_1
a_1+a_2 \leq b_1+b_2
a_1+a_2+a_3 \leq b_1+b_2+b_3
\qquad\vdots\qquad\vdots\qquad\vdots\qquad\vdots
a_1+\cdots +a_{n-1} \leq b_1+\cdots+b_{n-1}
a_1+\cdots +a_n=b_1+\cdots+b_n.

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség származtatása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen a két vektor, a és b, a következő:

a=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\dots ,\frac{1}{n}\right)
b=\left(1,0,0,\dots ,0\right).

A fenti két vektorra teljesül a Muirhead-egyenlőtlenség, tehát bármilyen nemnegatív szám n-esre igaz, hogy [a]≤[b], hiszen

a_1 \le b_1
a_1+a_2 \le b_1+b_2
\qquad\vdots\qquad\vdots\qquad\vdots
a_1+a_2+\dots +a_{n-1}\le b_1+b_2+\dots +b_{n-1}
a_1+a_2+\dots +a_n=b_1+b_2+\dots +b_n.

Ekkor tetszőleges x1,…,xn nemnegatív számok esetén

[a]=\frac{1}{n!} \sum_\pi x^{\frac{1}{n}}_{\pi_1}\cdots x^{\frac{1}{n}}_{\pi_n}=\sqrt[n]{x_1 x_2\cdots x_n}

és

[b]=\frac{1}{n!} \sum_\pi x^{1}_{\pi_1}x^{0}_{\pi_2}\cdots x^{0}_{\pi_n}=\frac{1}{n} \left(x_1+x_2+\dots +x_n\right),

hiszen minden xi-t összeadunk (n-1)!-szor, majd elosztunk n!-ral, így minden számot \frac{1}{n}-szer adunk az összeghez. Ezekből következik, hogy

\sqrt[n]{x_1 x_2\cdots x_n}\le \frac{1}{n} \left(x_1+x_2+\dots +x_n\right).

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]