Muirhead-egyenlőtlenség

A Muirhead-egyenlőtlenség a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség általánosításaként ismert a matematikában, az előbbinél jóval több esetben használható.

Az „a-közép”

Bármely valós vektor esetén

$a=\left(a_1,\dots,a_n \right)$

az x₁,…,x_n számok „a-közepe” [a] a következő:

$[a]=\frac{1}{n!} \sum_\pi x^{a_1}_{\pi_1}\cdots x^{a_n}_{\pi_n},$

ahol az összeg az {1,…,n} számok minden π permutációjára kiterjed.

Az egyenlőtlenség

Két n-dimenziós vektort, a-t és b-t tekintve, az összeg szimmetriája miatt feltehető, hogy

$a_1\ge a_2\ge \dots \ge a_n$

$b_1\ge b_2\ge \dots \ge b_n.$

Minden x₁,…,x_n nemnegatív szám esetén, [a]≤[b] akkor és csak akkor, ha a következő állítások igazak:

$a_1 \leq b_1$

$a_1+a_2 \leq b_1+b_2$

$a_1+a_2+a_3 \leq b_1+b_2+b_3$

$\qquad\vdots\qquad\vdots\qquad\vdots\qquad\vdots$

$a_1+\cdots +a_{n-1} \leq b_1+\cdots+b_{n-1}$

$a_1+\cdots +a_n=b_1+\cdots+b_n.$

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség származtatása

Legyen a két vektor, a és b, a következő:

$a=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\dots ,\frac{1}{n}\right)$

$b=\left(1,0,0,\dots ,0\right).$

A fenti két vektorra teljesül a Muirhead-egyenlőtlenség, tehát bármilyen nemnegatív szám n-esre igaz, hogy [a]≤[b], hiszen

$a_1 \le b_1$

$a_1+a_2 \le b_1+b_2$

$\qquad\vdots\qquad\vdots\qquad\vdots$

$a_1+a_2+\dots +a_{n-1}\le b_1+b_2+\dots +b_{n-1}$

$a_1+a_2+\dots +a_n=b_1+b_2+\dots +b_n.$

Ekkor tetszőleges x₁,…,x_n nemnegatív számok esetén

$[a]=\frac{1}{n!} \sum_\pi x^{\frac{1}{n}}_{\pi_1}\cdots x^{\frac{1}{n}}_{\pi_n}=\sqrt[n]{x_1 x_2\cdots x_n}$

és

$[b]=\frac{1}{n!} \sum_\pi x^{1}_{\pi_1}x^{0}_{\pi_2}\cdots x^{0}_{\pi_n}=\frac{1}{n} \left(x_1+x_2+\dots +x_n\right),$

hiszen minden x_i-t összeadunk (n-1)!-szor, majd elosztunk n!-ral, így minden számot $\frac{1}{n}$-szer adunk az összeghez. Ezekből következik, hogy

$\sqrt[n]{x_1 x_2\cdots x_n}\le \frac{1}{n} \left(x_1+x_2+\dots +x_n\right).$

További információk

• Combinatorial Theory by John N. Guidi, based on lectures given by Gian-Carlo Rota in 1998, MIT Copy Technology Center, 2002.
• Kiran Kedlaya's guide to solving inequalities at [1].
• Simple explanation with examples
• Reference on PlanetMath (Muirhead's theorem)