Modulus (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A modulus az algebrai struktúrák egy fajtája, a vektortér fogalmának általánosítása, gyengítése, amely bizonyos vektortéraxiómák elhagyásával keletkezik. Egy gyűrű feletti modulus viszonya a gyűrűhöz ahhoz hasonlít, mint egy test feletti vektortér viszonya a testhez. Az algebrában a modulusoknak számos alkalmazása van többek közt a csoportelméletben, a gyűrűelméletben és az algebrai geometriában.

A modulust egy olyan vektortérként foghatjuk fel, ahol a skalárok nem testet, hanem csak gyűrűt alkotnak.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen adva egy R gyűrű, és legyen (M,+) Abel-csoport. Tegyük fel, hogy létezik egy * :R\times M\mapsto M "szorzás" művelet (ez fogja a vektorok skalárral való szerepét kapni, egymás mellé írással jelöljük). Az M-et bal oldali R-modulusnak nevezzük, ha az előbbi műveletek teljesítik a következő kritériumokat:

Legyenek r,s\in R és n,m\in M. Ekkor:

  • r(n+m)=rn+rm
  • (r+s)n=rn+sn
  • r(sn)=(rs)n

Ha R egységelemes gyűrű, akkor M-et unitér modulusnak nevezzük, ha

  • 1n=n

Hasonlóan értelmezzük a jobb oldali modulust, ekkor a szorzás a másik oldalról történik. Vannak kétoldali modulusok, ezek egyszerre bal és jobb oldali modulusok, tehát a jobb oldali szorzás ugyanaz, mint a bal oldali szorzás (szokás ezt bimodulusnak is nevezni).

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen A egy Abel-csoport. Ez modulussá tehető \mathbb{{Z}} felett a következő szorzásművelettel. Legyen a\in A, n\in\mathbb{{Z}} és ekkor n*a=a*n=a+\dots +a n-szer. Ha n negatív, akkor értelem szerint a^{-1}-nek kell az n-szeres összegét venni, ha pedig n=0, akkor 0*a=1_{A}. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez valóban modulus.

Legyen R=\mathbb{{R}}^{n\times n}, tehát az n\times n-es valós mátrixok (az összeadással és a mátrixszorzással, mint művelettel), és legyen M=\mathbb{{R}}^{n}, és értelmezzük a szorzást így: X\in R, v\in M esetén X*v=Xv, tehát a közönséges mátrix-vektor szorzás. Ez egy bal oldali modulus, de nem kétoldali, ugyanis általában Xv\not =vX.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Kiss Emil (2007): Bevezetés az algebrába. Typotex Kft. [1]
  • Kiss Emil: Bevezetés az absztrakt algebrába [2]