Maxwell–Boltzmann-eloszlás

A Maxwell–Boltzmann-eloszlás gázokban lévő részecskék sebességéről szól, ahol a részecskék között nincs állandó kölcsönhatás, szabadon mozognak rövid ütközések között.

A Maxwell–Boltzmann-eloszlás a részecskék sebességét írja le (a sebesség vektor nagyságrendjét) a rendszer hőmérséklete függvényében. Ezt a valószínűségi eloszlást James Clerk Maxwell és Ludwig Boltzmann-ról nevezték el.

Többnyire azt gondolják a Maxwell–Boltzmann-eloszlásról, hogy az csak a molekuláris sebességekről szól, de vonatkozik a sebességek eloszlására, a nyomatékokra, a molekulák momentumának nagyságrendjére, és mindezek különböző eloszlási valószínűségéről is.

Ez a szócikk a sebesség eloszlásáról szól. Az eloszlásban 3 dimenziós vektorok szerepelnek, melyek komponensei függetlenek és normál eloszlásúak (normális eloszlás) '0' középértékkel és a $a$ szórással. Ha $X_i$ eloszlása $X \sim N(0, a^2)$, akkor

$Z = \sqrt{X_1^2+X_2^2+X_3^2}$

a Maxwell–Boltzmann-eloszlást követi $a$ paraméterrel. Az $a$ paramétertől eltekintve, az eloszlás azonos a 3 szabadságfokú khí-eloszlással.

Alkalmazás

A Maxwell–Boltzmann-eloszlást a termodinamikai egyensúly közelében lévő ideális gázokra alkalmazzák nemrelativisztikus sebességeken, ahol a kvantummechanikai hatás elhanyagolható.

A gázok kinetikus elméletének alapjául szolgál, megmagyarázza a gázok alapvető tulajdonságait, mint például a nyomást és a diffúziót.

Levezetés

Maxwell levezetésében eredetileg a három irány egyenlő mértékben szerepelt, de később Boltzmann elhagyta ezt a feltételezést és a kinetikus elméletet használta.

Az energiákat tekintve a Maxwell–Boltzmann-eloszlás leginkább a Boltzmann-eloszlásból ered: (lásd még a Maxwell–Boltzmann-statisztikát a matematikai statisztikából):

$\frac{N_i}{N} = \frac{g_i \exp\left(-E_i/kT \right) } { \sum_{j}^{} g_j \,{\exp\left(-E_j/kT\right)} } \qquad\qquad (1)$

ahol:

• i a mikroállapot
• E_i az i mikroállapot energia szintje
• T a rendszer egyensúlyi hőmérséklete
• g_i az a tényező, mely az azonos energiaállapotban lévő mikroállapotok számát jelzi.
• k a Boltzmann-állandó
• N_i az egyensúlyi T hőmérsékleti állapotban a molekulák száma, i állapotban, melynek energiája E_i, és g_i degenerációban (kvantum állapotok hasonló energia állapotokban).
• N a molekulák teljes száma

A fenti egyenletet néha g_i degenerációs tényező nélkül írják fel . Ez esetben az “i” index egy egyedi állapotot specifikál a g_i állapotok helyett, melyek hasonló E_i energiával rendelkeznek. Mivel a sebesség az energiával kapcsolatos, az (1) számú egyenletet használják a gázmolekulák hőmérséklete és a sebessége közötti kapcsolat levezetésére. Ebben az egyenletben a nevezőt úgy ismerik, mint a kanonikus partíciós függvény.

A momentum vektor eloszlása

Ez a levezetés nagyban különbözik Maxwell azon levezetésétől, amit később Boltzmann kiegészített. Ez Boltzmann 1877-es megközelítéséhez áll közel. Arra az esetre, amikor az ideális gáz alaphelyzetben olyan atomokat tartalmaz, melyek nincsenek egymással kölcsönhatásban, minden energia kinetikus energia formában van jelen, és a g_i, állandó minden i-re. A kinetikus energia és a momentum (lendület) közötti kapcsolat részecskékre:

$E=\frac{p^2}{2m} \qquad\qquad (2)$

ahol p² a momentum vektor négyzete p = [p_x, p_y, p_z]. Ekkor átírhatjuk a (1) egyenletet:

$\frac{N_i}{N} = \frac{1}{Z} \exp \left[ -\frac{p_{i, x}^2 + p_{i, y}^2 + p_{i, z}^2}{2mkT} \right] \qquad\qquad (3)$

Ahol Z a partíció függvény, az (1) egyenlet nevezője. Az “m” a gáz molekuláris tömege, “T” a termodinamikus hőmérséklet és “k” a Boltzmann állandó. N_i/N eloszlás arányos a f_p sűrűségfüggvény-nyel:

$f_\mathbf{p} (p_x, p_y, p_z) = \frac{c}{Z} \exp \left[ -\frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2mkT} \right]. \qquad\qquad (4)$

A c normalizáló állandó meghatározásánál figyelembe veendő, hogy annak a valószínűsége, hogy bármely molekulának van momentuma, =1. Ezért a (4) egyenlet integrálja minden p_x, p_y, and p_z -re 1-nek kell lennie.

$c = \frac{Z}{(2 \pi mkT)^{3/2}}.\qquad\qquad (5)$

Az (5) egyenletet behelyettesítve a (4) egyenletbe:

$f_\mathbf{p} (p_x, p_y, p_z) = \left( \frac{1}{2 \pi mkT} \right)^{3/2} \exp \left[ -\frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2mkT} \right]. \qquad\qquad (6)$

Látható, hogy az eloszlás három független, normális eloszlású változó, $p_x$, $p_y$, and $p_z$ szorzata, $mkT$ szórásnégyzettel. Ráadásul látható, hogy a momentum nagyságrendjének eloszlása megfelel a Maxwell-Boltzmann-eloszlásnak, $a=\sqrt{mkT}$ mellett. A momentum Maxwell-Boltzmann-eloszlása alapvetően megkapható a H-elmélet felhasználásával egyensúlyi állapotban a kinetikus elmélet keretein belül.

Energia-eloszlás

p² = 2mE esetén, az energia eloszlás:

$f_E\,dE=f_p\left(\frac{dp}{dE}\right)\,dE =2\sqrt{\frac{E}{\pi}} \left(\frac{1}{kT} \right)^{3/2}\exp\left[\frac{-E}{kT}\right]\,dE. \qquad \qquad(7)$

Mivel az energia arányos a három normális eloszlású momentum komponens négyzetével, ez az eloszlás a gamma-eloszlás, és a chi-négyzet eloszlás harmadfokú szabadságfokkal. Az ekvipartíció elmélet szerint, ez az energia egyenletesen oszlik el a három szabadságfok között, így az egy szabadságfokra jutó energia a chi-négyzet eloszlás szerint oszlik el, egy szabadságfokkal:

$f_\epsilon(\epsilon)\,d\epsilon=\sqrt{\frac{\epsilon}{\pi kT}}~\exp\left[\frac{-\epsilon}{kT}\right]\,d\epsilon$

ahol $\epsilon$ egy szabadságfokra jutó energia. Egyenesúlyi állapotban, az eloszlás igaz bármely számú szabadságfokra. Például, ha a részecskék merev dipólusok, három transzlációs szabadságfokkal és kettő járulékos körforgó szabadságfokkal rendelkeznek. Minden egyes szabadságfok energiája a fent említett chi-négyzet eloszlással írható le, és a teljes energia a chi-négyzet eloszlással írható le öt szabadságfokkal. Ennek hatása van a gázok hőkapacitás elméletére.

Sebességvektor eloszlás

A sebességvektor valószínűség sűrűsége f_v arányos a momentum valószínűség sűrűség függvénnyel:

$f_\mathbf{v} d^3v = f_\mathbf{p} \left(\frac{dp}{dv}\right)^3 d^3v$

és ha p = mv , akkor

$f_\mathbf{v} (v_x, v_y, v_z) = \left(\frac{m}{2 \pi kT} \right)^{3/2} \exp \left[- \frac{m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)}{2kT} \right], \qquad\qquad$

mely a Maxwell–Boltzmann sebességvektor eloszlása. Annak valószínűsége, hogy [dv_x, dv_y, dv_z] részecske elemeket találjunk a v = [v_x, v_y, v_z] vektornál elenyésző kicsi

$f_\mathbf{v} \left(v_x, v_y, v_z\right)\, dv_x\, dv_y\, dv_z.$

Mint ahogy a momentum, az eloszlás három független normális elsozlású változó $v_x$, $v_y$, and $v_z$ szorzata, $\frac{kT}{m}$ szórásnégyzettel. Látni kell, hogy a Maxwell-Boltzmann sebességvektor eloszlás a [v_x, v_y, v_z] sebességvektorokra az eloszlások szorzata minden egyes – három –írányra:

$f_v \left(v_x, v_y, v_z\right) = f_v (v_x)f_v (v_y)f_v (v_z)$

Ahol minden egyes irányra az eloszlás:

$f_v (v_i) = \sqrt{\frac{m}{2 \pi kT}} \exp \left[ \frac{-mv_i^2}{2kT} \right]. \qquad\qquad$

A sebességvektor minden komponense normális eloszlású $\mu_{v_x} = \mu_{v_y} = \mu_{v_z} = 0$ középértékkel és a szórás $\sigma_{v_x} = \sigma_{v_y} = \sigma_{v_z} = \sqrt{\frac{kT}{m}}$, így a vektornak egy háromdimenziós normál eloszlása van, ‘multinormál’ eloszlásnak is hívják, $\mu_{\mathbf{v}} = {\mathbf{0}}$ középértékkel és $\sigma_{\mathbf{v}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ szórással.

A sebesség eloszlás

A sebesség skaláris mennyiség.

Maxwell-Boltzmann molekuláris sebesség eloszlás

Az ábra néhány nemesgáz sebességének valószínűségi sűrűségfüggvényét ábrázolja 25 °C hőmérsékleten. Az y tengelyen s/m a paraméter, így a görbe alatti terület dimeziónélküli. Általában a molekulák sebessége éredekel bennünket és nem a komponenseinek vektorai. A Maxwell–Boltzmann-eloszlás a sebességvektor eloszlásából következik. A sebesség:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

és a térfogat növekménye:

$dv_x\, dv_y\, dv_z = v^2 \sin \phi\, dv\, d\theta\, d\phi$

ahol a $\theta$ és a $\phi$ a vektor azimút és útszög (a vektor eltérési szöge) jellemzői. A normál valószínűség sűrűség függvény integrálása, a sebesség behelyettesítve a vektor komponenesek négyzetének összegével, adja a valószínűség sűrűség függvényt a sebességre:

$f(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}\left(\frac{m}{kT}\right)^3}\, v^2 \exp \left(\frac{-mv^2}{2kT}\right)$

Ez az egyenlet egyszerűen a Maxwell eloszlás $a=\sqrt{\frac{kT}{m}}$. szórás paraméterrel..

Rendszerint sokkal jobban érdekelnek bennünket a mennyiségek, például a részecskék átlagos sebessége, mint az aktuális eloszlásuk. Az átlagos sebesség, a legvalószínűbb sebesség a Maxwell eloszlásból számítható.

Relatív sebesség eloszlása

A relativ sebesség : $u = {v \over v_p}$, ahol $v_p = \sqrt { \frac{2kT}{m} } = \sqrt { \frac{2RT}{M} }$ a legvalószínűbb sebesség. Relatív sebesség eloszlás lehetővé teszi különböző gázok összehasonlítását, függetlenül a hőmérséklettől és a molekuláris súlytól.

A tipikus sebesség

A gyakorlatban az eloszlásnál érdekesebb lehet az átlagos sebesség.

A leginkább valószínű sebesség v_p, az a sebesség, melyet bármely molekula leginkább felvesz (azonos tömeg esetén), és mely megfelel a f(v) maximum értékének. Ennek kiszámításához, a kiindulás:$\frac{df(v)}{dv} = 0$ és megoldjuk v-re:

$v_p = \sqrt { \frac{2kT}{m} } = \sqrt { \frac{2RT}{M} }$

Ahol R a gáz állandó és M = N_A, m az anyag moláris tömege. A diatomos nitrogén esetében (N₂,mely a levegő fő komponense) szobahőmérsékleten: $v_p = 422$m/s Az átlagos sebesség a sebesség eloszlás matematikai átlaga:

$\langle v \rangle = \int_0^{\infty} v \, f(v) \, dv= \sqrt { \frac{8kT}{\pi m}}= \sqrt { \frac{8RT}{\pi M}} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} v_p$

Az effektív sebesség, v_rms, az átlagos sebesség négyzetgyöke:

$v_\mathrm{rms} = \left(\int_0^{\infty} v^2 \, f(v) \, dv \right)^{1/2}= \sqrt { \frac{3kT}{m}}= \sqrt { \frac{3RT}{M} } = \sqrt{ \frac{3}{2} } v_p$

A tipikus sebesség:

$0.886 \langle v \rangle = v_p < \langle v \rangle < v_\mathrm{rms} = 1.085 \langle v \rangle.$

A relatív sebesség eloszlása

Maxwell-Juttner sebesség eloszlás elektron gázra, különböző hőmérsékleteken

Amikor a gáz forrosódik és a kT közelít vagy meghaladja a mc²-t a $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ valószínűség eloszlása a relativisztikus Maxwelliánus gáznál, a Maxwell–Juttner eloszlás szerinti: :

$f(\gamma) = \frac {\gamma^2 \beta }{\theta K_2(1/\theta)} \mathrm{exp} \left( - \frac {\gamma}{\theta} \right) \qquad (11)$

ahol: $\beta = \frac {v}{c}=\sqrt{1-1/\gamma^2},$ $\theta=\frac{kT}{mc^2},$ és a $K_2$ a módosított másodrendű Bessel függvény.

A momentummal kifejezve:

$f(p) = \frac{1}{4 \pi m^3 c^3 \theta K_2(1/\theta)} \mathrm{exp}\left( -\frac{\gamma(p)}{\theta}\right)$

Ahol: $\gamma(p) = \sqrt{1+\left(\frac{p}{mc}\right)^2}$.

A Maxwell–Juttner egyenlet kovariáns, és a gáz hőmérséklete nincs hatással a gáz sebességére.

Kapcsolódó szócikkek

• Maxwell–Boltzmann-statisztika
• Boltzmann-eloszlás
• Maxwell-sebességeloszlás
• Boltzmann-tényező
• Rayleigh-eloszlás
• Ideális gáz
• James Clerk Maxwell
• Ludwig Boltzmann
• Kinetikus elmélet
• Ekvipartíció-elmélet
• Lendület
• Matematikai statisztika
• Chi-négyzet eloszlás
• Normális eloszlás
• Szórás
• Partíciós függvény
• Gáztörvény
• Gamma-eloszlás