Maxwell–Boltzmann-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Maxwell–Boltzmann-eloszlás gázokban lévő részecskék sebességéről szól, ahol a részecskék között nincs állandó kölcsönhatás, szabadon mozognak rövid ütközések között.

A Maxwell–Boltzmann-eloszlás a részecskék sebességét írja le (a sebesség vektor nagyságrendjét) a rendszer hőmérséklete függvényében. Ezt a valószínűségi eloszlást James Clerk Maxwell és Ludwig Boltzmann-ról nevezték el.

Többnyire azt gondolják a Maxwell–Boltzmann-eloszlásról, hogy az csak a molekuláris sebességekről szól, de vonatkozik a sebességek eloszlására, a nyomatékokra, a molekulák momentumának nagyságrendjére, és mindezek különböző eloszlási valószínűségéről is.

Ez a szócikk a sebesség eloszlásáról szól. Az eloszlásban 3 dimenziós vektorok szerepelnek, melyek komponensei függetlenek és normál eloszlásúak (normális eloszlás) '0' középértékkel és a a szórással. Ha X_i eloszlása X \sim N(0, a^2), akkor

Z = \sqrt{X_1^2+X_2^2+X_3^2}

a Maxwell–Boltzmann-eloszlást követi a paraméterrel. Az a paramétertől eltekintve, az eloszlás azonos a 3 szabadságfokú khí-eloszlással.

Alkalmazás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Maxwell–Boltzmann-eloszlást a termodinamikai egyensúly közelében lévő ideális gázokra alkalmazzák nemrelativisztikus sebességeken, ahol a kvantummechanikai hatás elhanyagolható.

A kinetikus gázelmélet alapjául szolgál, megmagyarázza a gázok alapvető tulajdonságait, mint például a nyomást és a diffúziót.

Levezetés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Maxwell levezetésében eredetileg a három irány egyenlő mértékben szerepelt, de később Boltzmann elhagyta ezt a feltételezést és a kinetikus elméletet használta.

Az energiákat tekintve a Maxwell–Boltzmann-eloszlás leginkább a Boltzmann-eloszlásból ered: (lásd még a Maxwell–Boltzmann-statisztikát a matematikai statisztikából):


\frac{N_i}{N} = \frac{g_i \exp\left(-E_i/kT \right) } { \sum_{j}^{} g_j \,{\exp\left(-E_j/kT\right)} }
\qquad\qquad (1)

ahol:

  • i a mikroállapot
  • Ei az i mikroállapot energia szintje
  • T a rendszer egyensúlyi hőmérséklete
  • gi az a tényező, mely az azonos energiaállapotban lévő mikroállapotok számát jelzi.
  • k a Boltzmann-állandó
  • Ni az egyensúlyi T hőmérsékleti állapotban a molekulák száma, i állapotban, melynek energiája Ei, és gi degenerációban (kvantum állapotok hasonló energia állapotokban).
  • N a molekulák teljes száma

A fenti egyenletet néha gi degenerációs tényező nélkül írják fel . Ez esetben az “i” index egy egyedi állapotot specifikál a gi állapotok helyett, melyek hasonló Ei energiával rendelkeznek. Mivel a sebesség az energiával kapcsolatos, az (1) számú egyenletet használják a gázmolekulák hőmérséklete és a sebessége közötti kapcsolat levezetésére. Ebben az egyenletben a nevezőt úgy ismerik, mint a kanonikus partíciós függvény.

A momentum vektor eloszlása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a levezetés nagyban különbözik Maxwell azon levezetésétől, amit később Boltzmann kiegészített. Ez Boltzmann 1877-es megközelítéséhez áll közel. Arra az esetre, amikor az ideális gáz alaphelyzetben olyan atomokat tartalmaz, melyek nincsenek egymással kölcsönhatásban, minden energia kinetikus energia formában van jelen, és a gi, állandó minden i-re. A kinetikus energia és a momentum (lendület) közötti kapcsolat részecskékre:


E=\frac{p^2}{2m}
\qquad\qquad (2)

ahol p² a momentum vektor négyzete p = [pxpypz]. Ekkor átírhatjuk a (1) egyenletet:


\frac{N_i}{N} = 
\frac{1}{Z} 
\exp \left[
-\frac{p_{i, x}^2 + p_{i, y}^2 + p_{i, z}^2}{2mkT}
\right]
\qquad\qquad (3)

Ahol Z a partíció függvény, az (1) egyenlet nevezője. Az “m” a gáz molekuláris tömege, “T” a termodinamikus hőmérséklet és “k” a Boltzmann állandó. Ni/N eloszlás arányos a fp sűrűségfüggvény-nyel:


f_\mathbf{p} (p_x, p_y, p_z) =
\frac{c}{Z} 
\exp \left[
-\frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2mkT}
\right].
\qquad\qquad (4)

A c normalizáló állandó meghatározásánál figyelembe veendő, hogy annak a valószínűsége, hogy bármely molekulának van momentuma, =1. Ezért a (4) egyenlet integrálja minden px, py, and pz -re 1-nek kell lennie.

c = \frac{Z}{(2 \pi mkT)^{3/2}}.\qquad\qquad (5)

Az (5) egyenletet behelyettesítve a (4) egyenletbe:


f_\mathbf{p} (p_x, p_y, p_z) =
\left( \frac{1}{2 \pi mkT} \right)^{3/2}
\exp \left[
-\frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2mkT}
\right].
\qquad\qquad (6)

Látható, hogy az eloszlás három független, normális eloszlású változó, p_x, p_y, and p_z szorzata, mkT szórásnégyzettel. Ráadásul látható, hogy a momentum nagyságrendjének eloszlása megfelel a Maxwell-Boltzmann-eloszlásnak, a=\sqrt{mkT} mellett. A momentum Maxwell-Boltzmann-eloszlása alapvetően megkapható a H-elmélet felhasználásával egyensúlyi állapotban a kinetikus elmélet keretein belül.

Energia-eloszlás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

p² = 2mE esetén, az energia eloszlás:


f_E\,dE=f_p\left(\frac{dp}{dE}\right)\,dE =2\sqrt{\frac{E}{\pi}} \left(\frac{1}{kT} \right)^{3/2}\exp\left[\frac{-E}{kT}\right]\,dE. \qquad 
\qquad(7)

Mivel az energia arányos a három normális eloszlású momentum komponens négyzetével, ez az eloszlás a gamma-eloszlás, és a chi-négyzet eloszlás harmadfokú szabadságfokkal. Az ekvipartíció-tétel szerint, ez az energia egyenletesen oszlik el a három szabadságfok között, így az egy szabadságfokra jutó energia a chi-négyzet eloszlás szerint oszlik el, egy szabadságfokkal:[1]

f_\epsilon(\epsilon)\,d\epsilon=\sqrt{\frac{\epsilon}{\pi kT}}~\exp\left[\frac{-\epsilon}{kT}\right]\,d\epsilon

ahol \epsilon egy szabadságfokra jutó energia. Egyenesúlyi állapotban, az eloszlás igaz bármely számú szabadságfokra. Például, ha a részecskék merev dipólusok, három transzlációs szabadságfokkal és kettő járulékos körforgó szabadságfokkal rendelkeznek. Minden egyes szabadságfok energiája a fent említett chi-négyzet eloszlással írható le, és a teljes energia a chi-négyzet eloszlással írható le öt szabadságfokkal. Ennek hatása van a gázok hőkapacitás elméletére.

Sebességvektor eloszlás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A sebességvektor valószínűség sűrűsége fv arányos a momentum valószínűség sűrűség függvénnyel:


f_\mathbf{v} d^3v = f_\mathbf{p} \left(\frac{dp}{dv}\right)^3 d^3v

és ha p = mv , akkor


f_\mathbf{v} (v_x, v_y, v_z) =
\left(\frac{m}{2 \pi kT} \right)^{3/2}
\exp \left[-
\frac{m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)}{2kT}
\right],
\qquad\qquad

mely a Maxwell–Boltzmann sebességvektor eloszlása. Annak valószínűsége, hogy [dvxdvydvz] részecske elemeket találjunk a v = [vxvyvz] vektornál elenyésző kicsi


f_\mathbf{v} \left(v_x, v_y, v_z\right)\, dv_x\, dv_y\, dv_z.

Mint ahogy a momentum, az eloszlás három független normális elsozlású változó v_x, v_y, and v_z szorzata, \frac{kT}{m} szórásnégyzettel. Látni kell, hogy a Maxwell-Boltzmann sebességvektor eloszlás a [vxvyvz] sebességvektorokra az eloszlások szorzata minden egyes – három –írányra:


f_v \left(v_x, v_y, v_z\right) = f_v (v_x)f_v (v_y)f_v (v_z)

Ahol minden egyes irányra az eloszlás:


f_v (v_i) =
\sqrt{\frac{m}{2 \pi kT}}
\exp \left[
\frac{-mv_i^2}{2kT}
\right].
\qquad\qquad

A sebességvektor minden komponense normális eloszlású \mu_{v_x} = \mu_{v_y} = \mu_{v_z} = 0 középértékkel és a szórás \sigma_{v_x} = \sigma_{v_y} = \sigma_{v_z} = \sqrt{\frac{kT}{m}}, így a vektornak egy háromdimenziós normál eloszlása van, ‘multinormál’ eloszlásnak is hívják,  \mu_{\mathbf{v}} = {\mathbf{0}} középértékkel és \sigma_{\mathbf{v}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} szórással.

A sebesség eloszlás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A sebesség skaláris mennyiség.

Maxwell-Boltzmann molekuláris sebesség eloszlás

Az ábra néhány nemesgáz sebességének valószínűségi sűrűségfüggvényét ábrázolja 25 °C hőmérsékleten. Az y tengelyen s/m a paraméter, így a görbe alatti terület dimeziónélküli. Általában a molekulák sebessége éredekel bennünket és nem a komponenseinek vektorai. A Maxwell–Boltzmann-eloszlás a sebességvektor eloszlásából következik. A sebesség:

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}

és a térfogat növekménye:

 dv_x\, dv_y\, dv_z = v^2 \sin \phi\, dv\, d\theta\, d\phi

ahol a \theta és a \phi a vektor azimút és útszög (a vektor eltérési szöge) jellemzői. A normál valószínűség sűrűség függvény integrálása, a sebesség behelyettesítve a vektor komponenesek négyzetének összegével, adja a valószínűség sűrűség függvényt a sebességre:

 f(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}\left(\frac{m}{kT}\right)^3}\, v^2 \exp \left(\frac{-mv^2}{2kT}\right)

Ez az egyenlet egyszerűen a Maxwell eloszlás a=\sqrt{\frac{kT}{m}}. szórás paraméterrel.[2].

Rendszerint sokkal jobban érdekelnek bennünket a mennyiségek, például a részecskék átlagos sebessége, mint az aktuális eloszlásuk. Az átlagos sebesség, a legvalószínűbb sebesség a Maxwell eloszlásból számítható.

Relatív sebesség eloszlása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A relativ sebesség : u = {v \over v_p}, ahol v_p = \sqrt { \frac{2kT}{m} } = \sqrt { \frac{2RT}{M} } a legvalószínűbb sebesség. Relatív sebesség eloszlás lehetővé teszi különböző gázok összehasonlítását, függetlenül a hőmérséklettől és a molekuláris súlytól.

A tipikus sebesség[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gyakorlatban az eloszlásnál érdekesebb lehet az átlagos sebesség.

A leginkább valószínű sebesség vp, az a sebesség, melyet bármely molekula leginkább felvesz (azonos tömeg esetén), és mely megfelel a f(v) maximum értékének. Ennek kiszámításához, a kiindulás:\frac{df(v)}{dv} =  0 és megoldjuk v-re:

v_p = \sqrt { \frac{2kT}{m} } = \sqrt { \frac{2RT}{M} }

Ahol R a gáz állandó és M = NA, m az anyag moláris tömege. A diatomos nitrogén esetében (N2,mely a levegő fő komponense) szobahőmérsékleten: v_p = 422 m/s Az átlagos sebesség a sebesség eloszlás matematikai átlaga:

 \langle v \rangle = \int_0^{\infty} v \, f(v) \, dv= \sqrt { \frac{8kT}{\pi m}}= \sqrt { \frac{8RT}{\pi M}} = \frac{2}{\sqrt{\pi}} v_p

Az effektív sebesség, vrms, az átlagos sebesség négyzetgyöke:

v_\mathrm{rms} = \left(\int_0^{\infty} v^2 \, f(v) \, dv  \right)^{1/2}= \sqrt { \frac{3kT}{m}}= \sqrt { \frac{3RT}{M} } = \sqrt{ \frac{3}{2} } v_p

A tipikus sebesség:

 0.886 \langle v \rangle = v_p < \langle v \rangle < v_\mathrm{rms} = 1.085 \langle v \rangle.

A relatív sebesség eloszlása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Maxwell-Juttner sebesség eloszlás elektron gázra, különböző hőmérsékleteken

Amikor a gáz forrosódik és a kT közelít vagy meghaladja a mc²-t a \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2} valószínűség eloszlása a relativisztikus Maxwelliánus gáznál, a Maxwell–Juttner eloszlás szerinti: [3]:

 f(\gamma) = \frac {\gamma^2 \beta }{\theta K_2(1/\theta)} 
\mathrm{exp} 
\left(
- \frac {\gamma}{\theta} 
\right)
\qquad (11)

ahol: \beta = \frac {v}{c}=\sqrt{1-1/\gamma^2}, \theta=\frac{kT}{mc^2}, és a K_2 a módosított másodrendű Bessel függvény.

A momentummal kifejezve:

 f(p) = \frac{1}{4 \pi m^3 c^3 \theta K_2(1/\theta)} \mathrm{exp}\left( -\frac{\gamma(p)}{\theta}\right)

Ahol: \gamma(p) = \sqrt{1+\left(\frac{p}{mc}\right)^2}.

A Maxwell–Juttner egyenlet kovariáns, és a gáz hőmérséklete nincs hatással a gáz sebességére.[4]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Statistical thermodynamics: fundamentals and applications. Cambridge University Press (2005). ISBN 0-521-84635-8 , Appendix N, page 434
  2. http://mathworld.wolfram.com/MaxwellDistribution.html Maxwell distribution
  3. Synge, J.L. The Relativistic Gas, Series in physics. North-Holland. Sablon:LCCN (1957) 
  4. (2009.) „On the Manifestly Covariant Juttner Distribution and Equipartition Theorem”. arXiv:0910.1625v1. Hozzáférés ideje: 2011. október 22.