Matematikai inga

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Inga
Matematikai inga

Az inga egy tömegközéppontján kívüli pontban felfüggesztett test, mely a gravitáció hatására egy függőleges síkban lengéseket végez. A matematikai inga olyan idealizált inga, mely súlytalan fonálból és rá erősített tömegpontból áll. A valóságos (fizikai) ingákat a matematikai inga csak jó közelítéssel modellezi.

A matematikai inga mozgásegyenlete a tömegpontra ható erők összege:

ml^2\frac{d^2\theta}{dt^2}+\gamma\frac{d\theta}{dt}+mgl\sin\theta=A \cos\omega_Dt

Ahol:

A fenti egyenlet nemlineáris csillapított lengés, vagyis nem harmonikus lengés differenciálegyenlete. Ezt az egyenletet analítikusan nem lehet megoldani akkor sem, ha A=0.

Kis kitérések esetén a szinusz függvényt közelíteni lehet magával a szöggel:

\sin \theta \approx \theta

A fenti közelítést alkalmazva, elhanyagolva a csillapítást és a gerjesztést az egyenlet így írható:

\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac g l \theta=0

Ez az egyenlet egy szabadságfokú csillapítatlan, szabad lengéseket végző lengőrendszer egyenlete, amelynek a megoldása:

 \theta = \theta_0 \cos(\omega t) + \dot {\theta_0\over\omega} \sin(\omega t)

ahol \theta_0\, a kezdeti kitérés, \dot\theta_0 a kezdeti szögsebesség, \omega\, pedig a körfrekvencia:

\omega=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{g}{l}}

A lengés periódusa pedig:

 T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

Az inga mozgásának közelítő megoldásából látszik, hogy kis kitérési szögek esetén a lengések frekvenciája nem függ az inga tömegétől és a lengések amplitúdójától, hanem csak az inga hosszától és a nehézségi gyorsulástól. A közelítés megfelelő, ha a kilengések 8 foknál kisebbek.

Ha a kitérés nagyobb, de nincs sem gerjesztés, sem csillapítás, akkor a lengésidő az alábbi képlettel fejezhető ki:

T = 4\sqrt{l \over g}E\left({\sin\theta_0\over 2}, {\pi \over 2} \right)

ahol E(k,\phi)\, Legendre elsőfajú elliptikus integrálja:

E(k,\phi) = \int\limits^{\phi}_0 {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{\theta}}}d\theta.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]