MacLaurin egyenlőtlensége

A matematikában MacLaurin egyenlőtlensége, amit Colin Maclaurinről neveztek el, a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségnek egy finomítása. Legyen $a_1,a_2,\ldots,a_n$ pozitív valós szám, $k=1, 2, \dots, n$ , az $S_k$ pedig:

$S_k = \frac{\displaystyle \sum_{ 1\leq i_1 < \ldots < i_k \leq n}a_{i_1} a_{i_2} \cdots a_{i_k}}{\displaystyle {n \choose k}}.$

Ennek a törtnek a számlálója elemi rendű szimmetrikus polinomja k az n változókban $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , vagyis az összeg minden tagját $k$ növekvő rendben számozza meg $a_1,a_2,\ldots,a_n$-t az indexekkel. A feltételben, $S_k$ nevezője a számok binomiális együtthatója.

MacLaurin egyenlőtlensége kijelenti hogy, a következő egyenlőtlenségek lánca igaz:

$S_1 \geq \sqrt{S_2} \geq \sqrt[3]{S_3} \geq \ldots \geq \sqrt[n]{S_n}$

az egyenlőség akkor és csak akkor áll fent, ha minden $a_i$ egyenlő.

$n=2$-re adja a két szám számtani és mértani eszközeinek a szokásos egyenlőtlenségét. MacLaurin egyenlőtlensége jól illusztrálja a történést $n=4$-re:

$\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4} \ge \sqrt{\frac{a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_2a_3+a_2a_4+a_3a_4}{6}} \ge \sqrt[3]{\frac{a_1a_2a_3+a_1a_2a_4+a_1a_3a_4+a_2a_3a_4}{4}} \ge \sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}.$

MacLaurin egyenlőtlenségét bizonyíthatjuk miközben használjuk a Newton egyenlőtlenségeit.

Lásd még

• Newton egyenlőtlenségei
• Muirhead-egyenlőtlenség
• Szimmetrikus közepek közötti egyenlőtlenség