Méretkorlátozási axióma

A méretkorlátozási axióma vagy Neumann-axióma az osztályrealista halmazelméletek jellegzetes axiómája. Legáltalánosabb formájában:

Egy osztály akkor és csak akkor valódi osztály, ha ekvivalens bármely valódi osztállyal.

$\forall X \, \forall Y \, ( ( \mathrm{pr}(X) \land \mathrm{pr}(Y) ) \leftrightarrow ( \mathrm{pr}(X) \land X \sim Y ) )$

($\mathrm{pr}(X)$ azt rövidíti, hogy X valódi osztály; $X \sim Y$ pedig azt, hogy X ekvivalens Y-nal, vagyis létezik közöttük bijekció.)

Következmények

A méretkorlátozási axióma nagyon erős állítás. A Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet többi axiómájának jelenlétében következik belőle többek között:

• a behelyettesítési axióma (más néven a pótlás axiómája);
• a globális kiválasztási axióma;
• az unió-axióma.

Másfelől a többi NBG-axióma jelenlétében a behelyettesítési axióma és a globális kiválasztási axióma maga után vonja a méretkorlátozási axiómát.

Változatok

Az axiómát gyakran az alábbi egyszerűbb alakban idézik:

Egy osztály akkor és csak akkor valódi osztály, ha ekvivalens az univerzális osztállyal.

$\forall X \, ( \mathrm{pr}(X) \leftrightarrow X \sim \mathrm{V} ) )$

(ahol $\mathrm{V}$ az univerzális osztály).

Ez a változat csak akkor ekvivalens az előző szakaszban megadottal, ha más axiómákból bizonyítható, hogy az univerzális osztály valódi osztály (lásd: Cantor-paradoxon).